發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)，化歸求解

徐墨言

今天，老師帶領(lǐng)我們認(rèn)識(shí)了一個(gè)新朋友——二元一次方程。不過(guò)，我覺(jué)得它的名字特別親切。因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)它和一元一次方程是“親戚”。它們都是“一次”的“整式方程”，只是從“一個(gè)未知數(shù)”變成了“兩個(gè)未知數(shù)”而已。

那么，對(duì)于這種方程，我們?cè)趺辞蠼饽兀课艺伊艘粋€(gè)二元一次方程2x+y=10嘗試了一下。

我發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=0時(shí)，y=10；當(dāng)x=1時(shí)，y=8；當(dāng)x=2時(shí)，y=6；當(dāng)x=3時(shí)，y=4……我把y寫成用含x的代數(shù)式表示的形式：y=10-2x，發(fā)現(xiàn)x可以取無(wú)數(shù)個(gè)值，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的y就有無(wú)數(shù)個(gè)。也就是說(shuō)，這個(gè)方程竟然有無(wú)數(shù)個(gè)解！

為什么一元一次方程有唯一解，而它卻有無(wú)數(shù)個(gè)解呢？我又觀察了起來(lái)，原來(lái)，它有兩個(gè)未知數(shù)，卻只有一個(gè)等量關(guān)系，所以無(wú)法確定兩個(gè)未知數(shù)的值。

那如果再給一個(gè)關(guān)于x、y的等量關(guān)系呢？我又寫了一個(gè)二元一次方程：x-y=2。

倘若x和y同時(shí)滿足上述兩個(gè)方程，是否就能確定x、y的值呢？我陷入了迷茫。

怎么辦呢？我想到老師教的“化歸”思想——遇到難解的問(wèn)題，可以試試將其轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，想辦法將生疏化為熟悉。

那我熟悉什么呢？這兩個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，如果是一元一次方程就好了。我豁然開朗，將從第一個(gè)方程得到的y=10-2x代入第二個(gè)方程中，看，第二個(gè)方程變成了x-（10-2x）=2，這不就是一個(gè)一元一次方程嘛！解得x=4，再代入y=10-2x中，解得y=2。這里的x和y是唯一確定的。

看來(lái)，如果兩個(gè)未知數(shù)滿足兩個(gè)不一樣的等量關(guān)系，它們的值就是唯一確定的！我回頭梳理了求解的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)如果x、y同時(shí)滿足兩個(gè)不同的二元一次方程，可以將其中一個(gè)方程變形成用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，再將其代入另一個(gè)方程中，就可以將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解了。

我繼續(xù)思考，如果方程有三個(gè)未知數(shù)呢？我認(rèn)為，它們應(yīng)該同時(shí)滿足三個(gè)不同的等量關(guān)系，類似地，可以將“三元”化為“二元”，再將“二元”化為“一元”，應(yīng)該也是可以求解的。

說(shuō)干就干，我寫了三個(gè)方程：x+y+z=8、2x-y+z=5、x+y-2z=-7。觀察這三個(gè)方程，與y相關(guān)的項(xiàng)比較簡(jiǎn)單，我決定先把y去掉。根據(jù)第一個(gè)方程，可得y=8-x-z，將其分別代入第二個(gè)和第三個(gè)方程，可得3x+2z=13和8-3z=-7，其中就有一個(gè)一元一次方程，可求得z=5。將z=5代入3x+2z=13，可得x=1。再將x、z的值代入y=8-x-z，可得y=2。我求出來(lái)了！

從“一元”到“二元”，再到“三元”，我們學(xué)習(xí)的方程越來(lái)越復(fù)雜，可是在求解時(shí)，抓住它們之間的聯(lián)系，從“三元”到“二元”，再到“一元”，輕輕松松就求出了解。“化歸”思想真是神奇啊！

教師點(diǎn)評(píng)

化歸是一種重要的思想方法，它的基本功能是將生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。它需要學(xué)習(xí)者會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，事物之間相互關(guān)聯(lián)、相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，能善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題得以解決。小作者善于思考，發(fā)現(xiàn)了二元一次方程與一元一次方程的聯(lián)系，并主動(dòng)關(guān)聯(lián)至三元一次方程組，利用“消元”，解決了多元一次方程求解的問(wèn)題，這是多么了不起的發(fā)現(xiàn)！不妨讓我們進(jìn)一步思考，對(duì)于“一元一次方程”，如果改變的不是“元”，而是“次數(shù)”呢？比如，是否有“一元二次方程”？如果有，這樣的方程你能舉出例子并嘗試求解嗎？試一試吧，你一定能行！

（指導(dǎo)教師：孫潔）