探究算理的一致性　培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力

張志紅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022版）指出：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來(lái)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)?！焙诵乃仞B(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，作為落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體，計(jì)算教學(xué)一直都是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和核心內(nèi)容。計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)在于幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力、培養(yǎng)推理意識(shí)。

一、小數(shù)除法的難點(diǎn)及解決策略

計(jì)算教學(xué)中，小數(shù)除法是教師教起來(lái)堵點(diǎn)最多，學(xué)生學(xué)起來(lái)難度最大的一個(gè)內(nèi)容。首先，在加、減、乘、除四則運(yùn)算中，除法計(jì)算是最復(fù)雜的。其次，學(xué)習(xí)小數(shù)除法必須要有下列基礎(chǔ)：明確除法的兩種含義，平均分和包含分；明確整數(shù)除法的算理，掌握計(jì)算法則并能熟練計(jì)算。學(xué)生在二年級(jí)認(rèn)識(shí)了除法的含義，在三年級(jí)下冊(cè)和四年級(jí)上冊(cè)分別學(xué)習(xí)了除數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)的整數(shù)除法。無(wú)論哪個(gè)內(nèi)容，都是當(dāng)時(shí)的難點(diǎn)。

在人教版的教材中，小數(shù)除法單元的內(nèi)容編排如圖1所示。

教學(xué)的核心內(nèi)容是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”和“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”。從圖1可以看出，教材通過創(chuàng)設(shè)情境，根據(jù)小數(shù)的意義將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法；在整數(shù)部分除完以后，在被除數(shù)小數(shù)部分的末尾添“0”繼續(xù)除；整數(shù)部分不夠商“1”要商“0”占位；根據(jù)商不變性質(zhì)把一個(gè)數(shù)除以小數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)除以整數(shù)。幾個(gè)環(huán)節(jié)看似完美組合，實(shí)際上學(xué)生的認(rèn)知是零散的、片段式的，每一個(gè)內(nèi)容都可能成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

如何理順小數(shù)除法的學(xué)習(xí)過程，達(dá)到既定的學(xué)習(xí)目標(biāo)呢？我們要從除法“分”的本質(zhì)出發(fā)，以計(jì)數(shù)單位為“分”的對(duì)象，用“接著分”的方式貫通小數(shù)除法和整數(shù)除法的算理。打通了算理的“任督二脈”，能夠大幅降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。在此基礎(chǔ)上指導(dǎo)學(xué)生掌握小數(shù)除法的基本計(jì)算方法，并能根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活選擇計(jì)算方法，最終培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

二、以“接著分”貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法的算理

二年級(jí)初識(shí)除法，學(xué)習(xí)了除法的兩個(gè)含義——“平均分”和“包含分”。無(wú)論是對(duì)除法意義的理解，還是學(xué)習(xí)除法的計(jì)算方法，只要緊緊抓住這兩個(gè)“分”，就能破解除法學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”，我們可以用“平均分”來(lái)解釋除法的計(jì)算過程，并表現(xiàn)為豎式的形式。

根據(jù)一般認(rèn)知，分東西肯定是先分整盒，再分單支。7盒平均分成3份，每份分2盒；將剩下的1盒與8支合在一起，18支鉛筆平均分成3份，每份分6支（如圖2所示）。

脫離分實(shí)物，就可以把分的對(duì)象直接看作計(jì)數(shù)單位，寫成除法豎式如圖3所示。

四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，同樣可以用“平均分”來(lái)理解算理，并表現(xiàn)為豎式的形式。計(jì)算442÷34，就是把442平均分成34份。4個(gè)百平均分成34份，每一份不夠1個(gè)百；44個(gè)十平均分成34份，每份有1個(gè)十，在十位商1；分走了34個(gè)十，剩下的10個(gè)十和2個(gè)一合起來(lái)是102，平均分成34份，每份有3個(gè)一，在個(gè)位商3，正好分完。

學(xué)習(xí)小數(shù)除法前，就可以從喚起學(xué)生整數(shù)除法算理的記憶開始。比如計(jì)算279÷6（如圖4所示）。

明確了除法計(jì)算就是將計(jì)數(shù)單位從大到小依次平均分的過程后，就可以提出新的問題：還能繼續(xù)分嗎？因?yàn)榇藭r(shí)學(xué)生對(duì)“計(jì)數(shù)單位”的學(xué)習(xí)已經(jīng)從整數(shù)部分?jǐn)U充到小數(shù)部分，可以把“3個(gè)一”看作“30個(gè)十分之一”，當(dāng)然可以繼續(xù)分下去。把30個(gè)十分之一，平均分成6份，每份有5個(gè)十分之一，在商的十分位上寫“5”（如圖5所示）。

沒有“新知轉(zhuǎn)化為舊知”的過程，不需要單位換算這樣的腳手架，只要將沒有分完的較大的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化為較小的計(jì)數(shù)單位，就能繼續(xù)分下去。通過這樣的處理，小數(shù)除法依然是一個(gè)“新內(nèi)容”，小數(shù)除法的算理卻是一個(gè)“舊知識(shí)”，難度自然大幅減少。

三、以“夠不夠分”破解小數(shù)除法計(jì)算中的典型問題

解決了小數(shù)除法的算理，并不意味著學(xué)生就能順利計(jì)算小數(shù)除法題。小數(shù)點(diǎn)位置的確定、試商的難度、計(jì)算過程復(fù)雜等都會(huì)影響計(jì)算的正確率。學(xué)生計(jì)算5.88÷0.56正確率較低，下面兩種錯(cuò)誤就比較常見（如圖6所示）。其實(shí)問題是一致的，當(dāng)28除以56，不夠商“1”時(shí)，沒有在個(gè)位商“0”占位。

這種商中間的“0”漏掉的情況，在第一階段學(xué)完除數(shù)是整數(shù)的除法后，就安排了類似的練習(xí)（如圖7所示），為什么學(xué)完了整個(gè)內(nèi)容還有高頻率的類似錯(cuò)誤？關(guān)鍵在于算理不清。我們可以從“夠不夠分”的角度幫助學(xué)生解決問題。如14.21÷7，第1次14個(gè)一平均分成7份，每一份有2個(gè)一，在個(gè)位商1；第2次2個(gè)十分之一平均分成7份，每一份夠不夠1個(gè)十分之一呢？顯然不夠，就要在十分位上商0。每計(jì)算一步，都是將計(jì)數(shù)單位進(jìn)行平均分，都可以問一問“夠不夠分”。有問有答，有思有果，商中間的“0”就不會(huì)遺漏。很多計(jì)算中的典型問題不能簡(jiǎn)單地歸因?yàn)閷W(xué)生計(jì)算不細(xì)致，大多數(shù)不細(xì)致背后的原因是算理不清。

四、以“還可以怎樣……”優(yōu)化計(jì)算策略，發(fā)展學(xué)生思維

數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，以適應(yīng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展和學(xué)生自我成長(zhǎng)的需要。學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法，不僅要知道“怎樣算”“為什么這樣算”，更要學(xué)會(huì)思考“還可以怎樣算”“怎樣算更好”，也就是要形成運(yùn)算能力，能夠根據(jù)條件尋找簡(jiǎn)潔、高效的運(yùn)算方法。

培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，教師要“心里有數(shù)”，要有“我是用數(shù)學(xué)教學(xué)生的”的思想認(rèn)識(shí)，通過知識(shí)的教學(xué)來(lái)提升學(xué)生的思維水平。只有認(rèn)識(shí)到位了，才不會(huì)緊盯著計(jì)算結(jié)果是否正確，而是以足夠的耐心傾聽學(xué)生的想法，關(guān)注想法背后的原因。

培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，要善于挖掘習(xí)題的附加值。不僅要做完這個(gè)題、做對(duì)這個(gè)題，還要想一想，還可以怎樣算？還可以提出哪些有價(jià)值的問題？

現(xiàn)在的教材很少出現(xiàn)“用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題”的要求。一方面是學(xué)生的發(fā)展水平不一，不做統(tǒng)一要求；另一方面是有能力的學(xué)生要學(xué)會(huì)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)特點(diǎn)、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生在學(xué)完了小數(shù)除法的知識(shí)后，教材安排了下面這一組計(jì)算題（如圖8所示）。

學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)后，教師可以根據(jù)反饋交流的情況進(jìn)行引導(dǎo)：“還有更簡(jiǎn)便的算法嗎？”“42÷28”“19.8÷3.3”可以利用商不變的性質(zhì)將題目化簡(jiǎn)為“6÷4” “6.6÷1.1”，豎式計(jì)算就可以轉(zhuǎn)化為口算；“2.5×3.6”“18×0.45”則可以先分解再組合，達(dá)到巧算的目的。教學(xué)過程中，我們倡導(dǎo)每個(gè)學(xué)生呈現(xiàn)最真實(shí)的思維狀態(tài)，用自己的方法去解決問題，更要通過不同方法的比較，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)潔、優(yōu)化的思維意識(shí)和水平。

一道題的價(jià)值有多大，取決于教師對(duì)題目的研究深度。教師要看到出題者背后的想法，要考慮還可以從哪些方面引導(dǎo)學(xué)生思考呢。學(xué)生學(xué)完除數(shù)是整數(shù)的除法后，安排了這樣一個(gè)練習(xí)（如圖9所示）。

題目的初衷并不是簡(jiǎn)單地根據(jù)計(jì)算結(jié)果概括出結(jié)論，而是基于除法的意義解釋結(jié)論。但是學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)小數(shù)除法，絕大部分學(xué)生都是通過計(jì)算來(lái)確定這個(gè)題的商是否小于1，只有少數(shù)學(xué)生會(huì)觀察被除數(shù)和除數(shù)的大小，思考整數(shù)部分“夠不夠”商1，從而快速做出判斷。此時(shí)教師首先要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，哪種方法的效率更高；其次進(jìn)行歸納，為什么能這么快地確定它的商小于1。既尊重學(xué)生現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)水平，又達(dá)成了題目既定的目標(biāo)。再次，商小于1的有4道算式，另外4道算式的商都大于1，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考商大于1的算式有什么共同點(diǎn)？什么情況下商等于1呢？最后，引導(dǎo)學(xué)生用估算的策略來(lái)確定商的范圍。比如76.5÷45的商肯定大于1，會(huì)小于幾呢？只有思路打開了，學(xué)生才會(huì)積極主動(dòng)去思考問題；只有經(jīng)常主動(dòng)思考問題，思維能力才能得到發(fā)展。

五、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)是思維的載體，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)最終指向的都是學(xué)生的思維能力。面對(duì)計(jì)算教學(xué)這樣的基礎(chǔ)內(nèi)容，教師要有更高的站位，從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，以計(jì)數(shù)單位為核心，探究同一種運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。運(yùn)算本質(zhì)一致的認(rèn)識(shí)不僅能有效降低學(xué)習(xí)難度，提升學(xué)習(xí)效果，還能加深學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。