把握數量關系，培養模型意識

王欣　繆宇虹

摘要：蘇教版小學數學六年級上冊《解決問題的策略》單元安排了兩道例題，引導學生初步學會使用假設策略。在第一課時（例1）的教學以“初步學會使用假設策略”為重點的基礎上，第二課時（例2）的教學以“進一步把握數量關系，培養模型意識”為重點：引導學生回顧舊知，關注問題中的數量關系；探索新知，分析問題中的數量關系；基于從舊知到新知的變化，引出更多的變化，在比較中把握“變中不變”的數量關系本質。

關鍵詞：小學數學；模型意識；數量關系；假設策略

一、教前思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）將《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”）提出的10個核心詞之一的“模型思想”演化為“模型意識”和“模型觀念”，分別作為小學階段和初中階段遞進培養的核心素養表現。

“模型意識主要是指學生對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋。”［1］可見，數學模型是指問題中一般化（普適）、可遷移（解決一類問題）的數學本質——普遍規律或通用性質。廣義地看，它是針對所有問題的；狹義地看，則是針對實際問題的。

為了更好地落實模型意識的培養，新課標在小學階段“數與代數”領域的課程內容中，突出了“數量關系”主題（將2011年版課標設置的“探索規律”“式與方程”“正比例、反比例”三個主題整合為“數量關系”主題——將“方程”和“反比例”內容調整到初中階段），其重點便在于用數和符號表達現實情境中數量之間的關系和規律，進而用數學模型解決實際問題［2］；同時，強調了“總量=分量+分量”和“總價=單價×數量”“路程=速度×時間”等數量關系的實際應用［3］。由此，也為初中階段應用“方程”（等量關系的進一步形式化表示，關鍵在于用字母表示未知數，進而用程序化的解方程方法解得未知數）、“不等式”（由相等關系到不等關系）和“函數”（由常量關系到變量關系）等模型解決實際問題，培養模型觀念打好基礎。［4］

具體來看，本課時的教學，首先引導學生回顧舊知，關注問題中的數量關系；其次引導學生探索新知，分析問題中的數量關系；最后基于從舊知到新知的變化，引出更多的變化，引導學生在比較中，把握“變中不變”的數量關系本質，從而培養學生的模型意識。

二、教學過程

（一）回顧舊知，關注數量關系，為模型意識的培養做好鋪墊

師上節課我們學習了什么內容？

生用假設法解決實際問題。

師課后，我們完成了相應的復習題。（出示復習題：“在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。大盒裝的球是每個小盒的3倍。大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？”）誰來說一下你是怎么做的？

生我是假設全是小盒來做的：80÷（1×3+5）＝10（個），10×3＝30（個），所以，每個小盒里裝了10個球，大盒里裝了30個球。

師在假設之前，你做了什么？

生分析數量關系。

師很好！本題中有怎樣的數量關系？

生1個大盒和5個小盒一共裝了80個球;大盒裝的球是每個小盒的3倍。

師不錯。第一個數量關系中有兩個量，即大盒裝多少個球和每個小盒裝多少個球是未知的。所以，我們利用第二個數量關系，即倍數關系把什么假設成什么？

生把1個大盒假設成3個小盒。

師這樣，兩個未知量就變成一個未知量了。同時，什么變了，什么不變？

生總盒數變了，總球數不變。

在學習新知前，引導學生回顧舊知，一方面，幫助學生激活已有經驗，促使學生體會到問題中的數量關系是使用假設策略的根本原因，從而為后面分析數量關系、提煉數量關系埋下伏筆；另一方面，通過相似的問題情境，為后續改變條件，引出新的問題（教材例2），進而比較問題，溝通知識之間的聯系，凸顯數學本質，培養模型意識做好鋪墊。

（二）探索新知，分析數量關系，初步建立數學模型

師如果把這里的倍數關系“大盒裝的球是每個小盒的3倍”改成相差關系“大盒比每個小盒多裝8個球”，其他條件不變，你還會解決嗎？

（教師出示教材例2：“在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。大盒比每個小盒多裝8個。大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？”學生獨立思考，小組交流完成。）

師數量關系變化了，還可以用假設策略解決嗎？你是怎樣分析的？

生可以用假設策略。我是畫示意圖來分析的：（展示畫法，如圖1）1個大圓代表1個大盒，1個小圓代表1個小盒；假設都是小盒，把1個大圓換成1個小圓，這時總球數要減8個，即6個小盒里的總球數是80-8=72（個）。

師畫圖分析數量關系及其轉化，直觀、清晰、好懂，給你點贊！現在數量關系變成什么了？本題能夠解答了嗎？

生（80-8）÷（1+5）=12（個），這是每個小盒裝球的個數；12+8=20（個），這是大盒裝球的個數。我講完了，大家有什么不明白的地方嗎？

生為什么要用80-8？

生因為1個大盒比1個小盒多裝8個球，所以1個大盒去掉8個球才能轉化成1個小盒，這樣總球數也要減8。

生除數為什么是5+1？

生因為原來的1個大盒轉化成了1個小盒，就可以和原來的5個小盒加在一起。

師說得真不錯！利用假設策略，也可以把本題中的兩個未知量變成一個未知量。假設后，本題中什么變了，什么不變？

生總球數變了，減少了；總盒數不變。

師是的。通過假設轉化，我們把復雜的數量關系變成了簡單的數量關系，問題就很容易解決了。（稍停）剛剛這種解法是把1個大盒假設為1個小盒？還有其他假設方法嗎？

生我是畫線段圖來分析的，而且，我把5個小盒假設為5個大盒。（展示畫法，如圖2）長線段表示大盒裝球的個數，短線段表示小盒裝球的個數，虛線段表示大盒比每個小盒多裝球的個數。如果把5個小盒換成5個大盒，總球數要增加5個8，即40。這時，數量關系變為：6個大盒一共裝80+40=120（個）球。所以，可以先用120÷6=20算出大盒裝球的個數，再用20-8=12算出小盒裝球的個數。

師這樣假設后，本題中什么變了，什么不變？

生總球數變了，增加了；總盒數不變。

師很好！他不僅改變了假設方法，而且更換了分析工具。那么，請大家來比一比。先比較示意圖工具和線段圖工具，你更喜歡哪一個？為什么？

生線段圖。更簡潔，數量關系更清楚。

師再比較假設為小盒的方法和假設為大盒的方法，你更喜歡哪一種？為什么？

生假設為小盒。計算更簡捷。

通過原有問題的條件變化，自然引出新的問題。在解決教材例2的過程中，提示“數量關系變化了”，引導學生充分分析數量關系，初步建立數學模型；并通過追問，引導學生進一步體會到假設策略建立在數量關系的基礎上，轉化了數量關系，才使得問題很容易解決，從而初步培養模型意識（體會模型作用）。同時，在分析數量關系時，針對小學生的思維特點，選取學生作品，發揮示意圖、線段圖等圖形表征的直觀作用。此外，通過不同假設方法的比較，讓學生體會數量關系及其轉化是解決問題的關鍵。

（三）變化比較，提煉數量關系，充分體會數學模型

師現在，我們來回顧一下：上節課的復習題和本節課的例題有什么關系？

生把倍數關系“大盒裝的球是每個小盒的3倍”改成相差關系“大盒比每個小盒多裝8個球”，上節課的復習題就變成本節課的例題了。

師很好！那我們來比一比這兩道題的解決過程，什么是變化的？什么是不變的？

生上一題，我們利用倍數關系“大盒裝的球是每個小盒的3倍”把1個大盒假設成3個小盒，轉化后總球數不變，總盒數變了；本題，我們利用相差關系“大盒比每個小盒多裝8個球”把1個大盒假設成1個小盒，或把5個小盒假設成5個大盒，轉化后總球數變了，總盒數不變。

生兩道題都是利用一個數量關系把兩個未知量轉化成一個未知量，從而使復雜的問題變簡單，再利用另一個數量關系解決問題。

生它們都使用了假設的策略。

師很好！現在，我們再來變一變：（出示圖3）仔細觀察，我們把“1個大盒和5個小盒”變成“2個大盒和4個小盒”，怎么解決？

生還是假設都是小盒……

師假設后，本題中什么變了，什么不變？

生總球數變了，減少2個8；總盒數不變。

師可以假設都是大盒嗎？什么變了，什么不變？

生可以。總球數變了，增加4個8；總盒數不變。

師變為“3個大盒和3個小盒”呢？“4個大盒和2個小盒”呢？……

……

師誰來總結一下你發現的規律？

生都可以用假設法解決。把幾個大盒轉化成幾個小盒，總球數就減少幾個8；把幾個小盒轉化成幾個大盒，總球數就增加幾個8。

師也就是說，在相差關系中，如果把大數假設成小數，總量就會減少，如果把小數假設成大數，總量就會增加。（稍停）我們變化了問題中的數量關系以及具體數量，現在我們來變一變問題情境。

（教師出示練習題：“一天，1位老師帶著5個學生去公園游玩。買了一張成人票和5張兒童票，一共用去80元。每張成人票比每張兒童票貴8元。一張成人票多少元？一張兒童票呢？）

師與本課的例題相比，這道練習題什么變了，什么沒變？

生大盒子變成成人票，小盒子變成兒童票，盒子中的球變成票的價格，其他都沒變。

師沒錯，其他數量關系乃至具體數量都沒變。所以，本題怎么解答？

生假設都買的兒童票……（80-8）÷（1+5）=12（元），12+8=20（元）。

生假設都買的成人票……（80+8×5）÷（1+5）=20（元），20-8=12（元）。

師經過了這么多的變化，我們能不能再總結一下這類問題及其解法“變中不變”的共同規律？

（教師引導學生得出：已知兩個每份量的倍比關系或和差關系、兩個份數以及兩個總量的和，要求兩個每份量，可以把一個每份量假設為另一個每份量，并確定相應的總量和份數，然后利用“每份量=總量÷份數”解決問題。）

師總結出這樣的關于問題特征和解題方法的規律后，就可以用它來解決更多看似不同、實則相通的問題了。這樣的一般性數量關系及相應的解法常被稱為一種數學模型。

基于從舊知到新知的變化，引出新知更多的變化。由此，通過多維的比較，引導學生尋找變中不變的本質，從而提煉出共同的數量關系以及相應的解題方法，形成數學模型。同時，引導學生將有關的數學模型遷移到更多實際問題的分析與解決中，從而充分體會數學模型的價值，將模型意識內化于心。

參考文獻：

［1］［3］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：10，21.

［2］［4］ 呂世虎，顏飛.新課標“數與代數”內容分析：從結構到要求［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（11）：912，1013.

［5］ 史寧中.數學課程標準修訂與核心素養［J］.教育研究與評論，2022（5）：27.

［6］ 單墫.單墫數學與教育文選［M］.上海：華東師范大學出版社，2021：613.