彈性薄殼動力學比擬的曲面論基礎*

薛 紜, 陳立群

(1.上海應用技術大學 機械工程學院, 上海 201418;2.哈爾濱工業大學(深圳)理學院 力學系, 廣東 深圳 518055)

0 引 言

隨著近代科學技術的發展,超細長一維彈性體和超薄大幅的二維彈性體力學受到研究者們的關注.其變形特征是彈性小應變在細長或寬幅方向累積成大位移,同時伴隨著有限運動.前者如脫氧核糖核酸(DNA),后者如航天器大型太陽帆板等[1-2].這給力學建模提出新的問題,成為彈性桿和彈性板殼力學近代發展的方向之一.彈性細桿力學的基礎是1859年Kirchhoff等建立的彈性細桿靜力學理論[3],其核心是根據平衡微分方程與剛體動力學方程在數學形式上的相似性提出的Kirchhoff動力學比擬方法.剛體動力學的概念和方法得到了全新的應用.在平截面假設下,以中心線的弧坐標為自變量,截面的姿態坐標和“角速度”概念用以描述彈性細桿的位形和變形,后者稱為彎扭度[4].為連續的彈性細桿提供了一個新的離散化方法,其平衡位形成為一個3自由度力學系統,方便處理小應變大位移問題,已成為描述彈性細桿復雜位形的有力工具[5].分析力學的概念和方法[6]、非完整力學[7-8]、對稱性和守恒量理論[9]、Lyapunov穩定性[10-11],甚至混沌[12]等動力學概念和方法都可移植或應用到彈性細桿靜力學,并賦予新的含義.姿態坐標和彎扭度使曲線微分幾何的基本概念有了新的表達,并成為Kirchhoff動力學比擬方法的數學基礎.

鑒于Kirchhoff動力學比擬方法在彈性細桿力學建模和分析中的優勢,以及彈性薄殼中面可認為是彈性細桿中心線的二維擴展,自然希望將此方法推廣到彈性薄殼,形成廣義的Kirchhoff動力學比擬方法.這就需要經典的曲面論作為其數學基礎.經典曲面論的第一和第二類基本量是用點的矢徑及其偏導數表達,作為可變形物體,曲面位形在運動學意義上是無窮維的[13].引入剛體動力學方法,將彈性薄殼離散化無疑具有理論和實際意義.

研究表明,彈性薄殼的位形、變形和平衡條件都與剛體運動“等同”[14].在直法線假設下,以變形前中面的坐標為自變量,用剛性正交軸系的姿態坐標及其彎扭度,以及Lamé系數描述變形后中面的位形,彈性薄殼力學的基本概念都可以得到很好表達.這種表達方法對變形和運動具有連貫性和統一性.彈性薄殼轉化為有限維力學系統,為大幅彈性薄殼的卷揉變形和運動描述提供了新方法和思路.

基于廣義Kirchhoff動力學比擬方法,考慮變形后的曲面,針對非正交網格,建立兩個剛性正交軸系,引入剛體的姿態坐標,用彎扭度和Lamé系數描述曲面的位形和基本概念,包括曲面的第一、第二基本二次型,法曲率及其主方向和主曲率等[15].

約定指標取值為i,j=1,2;k=1,2,3.

1 曲面上的正交軸系

(1)

(2)

(a)曲面上點的矢徑 (b)兩個正交軸系的相對位置

(3)

對曲面上任意的曲線qi=qi(q),沿q坐標線的弧長微分記為dS.切矢量Tq、Lamé系數Tq和弧長微分dS依次為

(4)

(5)

將式(3)的第1式代入式(5),化作

(6)

由此得到其弧長的微分關系為

(7)

或

(8)

(9)

2 曲面的彎扭度

(10)

(11)

(12)

彎扭度的分量形式記為

(13)

兩軸系的彎扭度分量有如下關系:

(14)

由矢徑對q1,q2偏導次序的可交換性得到對彎扭度和Lamé系數的約束方程:

(15)

此約束是運算和變形規則導致,稱之為內約束.

3 軸系姿態的Euler角和曲面偏微分方程

建立慣性參照系Oξηζ,軸系(ei1,ei2,ei3)相對慣性參照系(eξ,eη,eζ)的姿態有多種表達方法,如Euler四元數、李群李代數等[17-20],本文用大家熟知的Euler角,見圖2.

圖2 軸系(ei1, ei2, ei3)姿態的Euler角

基的變換關系用矩陣表示為[4,14,18]

Q2=ΦQ1,

(16)

(17)

Euler角存在奇點θ=nπ,n=0,1,…,此時,z軸和ζ軸重合導致角ψ和φ不能區分.

由剛體動力學知,用Euler角表達的彎扭度ωij在基(ei1,ei2,ei3)下的矩陣式為[4,14,18]

(18)

在慣性參照系Oξηζ中,曲面上一點P的直角坐標為

ξ=ξ(q1,q2),η=η(q1,q2),ζ=ζ(q1,q2).

(19)

式(1)給出曲面的偏微分方程的矢量形式[14]:

(20)

(21)

可見,軸系的姿態是由以q1,q2為自變量的姿態坐標ψ,θ,φi確定.再加上Lamé系數和邊界條件就能夠確定曲面形態.

4 曲面的基本二次型和彎扭度表達

曲面第一基本二次型I1為[15]

I1=(dS)2=(Tqdq)2=E(dq1)2+2Fdq1dq2+G(dq2)2,

(22)

式中E=T1·T1=(T1)2,F=T1·T2=T1T2cosφ,G=T2·T2=(T2)2為曲面的第一類基本量.曲面第二基本二次型為

(23)

(24)

用角α和Tqdq表達中面的第二基本二次型I2.將式(8)代入式(23),得到

(25)

5 曲面的法曲率及其主曲率和主方向

曲面的法曲率κn用第一和第二基本二次型表示為[15]

(26)

由式(22)和式(25),化作法曲率的彎扭度表達式:

(27)

式中

(28)

對曲面上給定的點和方向,彎扭度和Lamé系數都是確定的,不同方向的法曲率是α的函數.令

(29)

導出關于法曲率的駐值方程,即主方向方程

acos(2α)+bsin(2α)=0.

(30)

解得

(31)

得到的兩個根代表互相垂直的兩個主方向:

(32)

將這兩個根依次代入式(27),得到兩個主曲率,記為κn1,κn2:

(33)

可以證明,這兩個主曲率一個為極大,另一個為極小.

在曲面微分幾何中,主曲率和主方向用第一和第二類基本量表示為[15]

(34)

對應的主方向為

(35)

其中由式(8)得

(36)

將第一和第二基本量代入式(34)和式(35),結果是一致的.

6 沿主方向的彎扭度及其在主方向的投影

(37)

(38)

(39)

其中參數a,b由式(28)定義,用到了關系式(37).將主方向表達式(31)代入式(39),并注意到約束方程式(15)的第3式,得到

(40)

這是主方向的彎扭度特征.同理可得到

(41)

這個結論與坐標線為曲率線的條件[15]

F=0,M=0

(42)

(43)

同理,有

(44)

結果與式(33)一致.這也進一步明確了彎扭度的幾何意義.

7 算 例

討論半徑為R的半球面.球面用球坐標(q1,q2,R)表示,其中廣義弧坐標q1和q2分別為球面的經度和緯度坐標,如圖3所示.曲面上點的矢徑為

R=Rcosq2(eξcosq1+eηsinq1)+Reζsinq2.

(45)

(46)

式中er=eξcosq1+eηsinq1.Lamé系數Ti和坐標線的弧長微分dSi分別為

T1=Rcosq2,T2=R, dS1=Rcosq2dq1, dS2=Rdq2.

(47)

ω11=ω21=eζ,ω12=ω22=eξsinq1-eηcosq1,

(48)

或

(49)

(50)

解得

(51)

由式(47)知,球面的Lamé系數和彎扭度滿足約束方程(50).但是反之不然.亦即,對于球面的彎扭度,滿足約束方程的Lamé系數,未必是球面的.顯然,本例中對應球面的Lamé系數是T2=R.

(52)

將式(35)代入式(20),得到曲面微分方程

(53)

(54)

T1由式(51)確定.不同的T2值對應不同半徑的球面,取T2=R時就回到式(45).

球面的第一和第二類基本量為

E=R2cos2q2,F=0,G=R2,

(55)

(56)

將式(47)、(49)和式(52)中的相關量代入式(28),得到

(57)

式(27)給出法曲率為常值κn=-1/R.顯然球面大圓弧的曲率為1/R,表明I2<0.

8 結 語

本文用正交軸系的姿態坐標和彎扭度表達了曲面微分方程、第一和第二基本二次型、法曲率及其主曲率和主方向.表明了這一方法對描述曲面局部形態的可行性和正確性.可以斷言,這一方法同樣可以用來表達曲面的Rodrigues方程、Weingarten公式和Gauss公式以及曲面論的基本方程[15].從而為彈性薄殼廣義Kirchhoff動力學比擬方法奠定曲面理論基礎.

本方法的優勢還將體現在對曲面隨時間變形和運動的描述上,使正交軸系隨空間的運動和隨時間的運動在數學形式上等同.