解決高中數學恒成立問題的策略選擇

陳亦勇

高中數學恒成立問題是高中教學中的一個重要問題，同時每年的高考也是一個必考的考點，它既是可以對學生單獨知識考點，也可以是把函數、方程等高中數學的重點問題聯合一起考查，故此學生對學習過程中普遍覺得困難頗大。這就要求教師從學生的現狀出發，然后根據實際問題采用相對應的方法來解題。以下介紹幾種常見的解決高中數學中“恒成立”問題的手段。

一、函數性質法

函數性質法，往往是根據題意首先構造一個函數，再根據這個函數的性質來解題，強化“數”與“形”結合并互相轉化的數學思想。

例1.若對于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立，求x的取值范圍。

分析：本題可以構造一次函數，利用一次函數思想，從一次函數性質出發求解。

解：若對于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立，即mx2-mx+m-6<0恒成立，所以（x2-x+1）m-6<0恒成立，令函數f（m）= （x2-x+1）m-6， m∈[-2，2]，因為（x2-x+1）＝（x-1/2）2+3/4>0恒成立，所以函數? ? f（m）= （x2-x+1）m-6， 在m∈[-2，2]上單調遞增，所以只需要函數的最大值小于0即可，所以f（2）= （x2-x+1）×2-6<0，即x2-x-2<0，解得-1

對于此類恒成立問題，教師要引導學生這樣思考：把二次不等式轉化為一般的函數，最后再根據函數圖像的單調性來處理。采用這種方法，關鍵在于把不等式、方程與函數之間關系靈活運用，并會相互轉化，突出解題采用的方法。

二、分離參數法

分離參數法就是把參數分離出來以后，用變量和相對應的函數來觀察主變量的大小的變化，從而判別參數的取值范圍。因此它是一種比較獨特的解法。

例２.若關于x的不等式 x2-2mx+1>0在[1/2，2]內恒成立，求實數m的取值范圍。

分析：本題求字母m的范圍，可以在不等式中對字母m與變量x左右分離，再求解。

解：關于x的不等式x2-2mx+1>0在[1/2，2]內恒成立，即m0，解得1

在二次不等式恒成立問題中，若原問題中限制自變量x在某個指定范圍內取值，則最好先分離參數，然后構造新函數，這樣解決問題比較方便。

三、判別式法

判別式法就是運用一元二次方程當中的判別式來解決其他的數學問題的方法。利用判別式及它的推廣可以求某些參數的值或取值范圍。

例3.已知函數f（x）=x2-（m+5）x+2（m+5）在其定義域內恒為非負，求關于x的方程2x/（m+1）=|m-2|+1的根的取值范圍。

分析：本題可以用二次函數中的判別式求出m的取值范圍，再確定2m的范圍，進而由值域求出定義域的取值范圍。

解：因為f（x）=x2-（m+5）x+2（m+5）在其定義域內恒為非負，則Δ=（m+5）2-8（m+5）≤0，解得-5≤m≤3。

方程化為：2x=（m+1）（|m-2|+1）。當-5≤m≤2時，2x=（m+1）（2-m+1），所以2x=-m2+2m+3=-（m-1）2+4，所以2x≤4，x≤2。當2

此種方法利用了二次函數恒為非負數或恒為非正數時，Δ≤0，求出m的范圍。

四、主參換位法

有一些包含參數的不等式恒成立問題，我們在把參數分離的時候是非常復雜，非常困難的，要求出某些函數的最大值或最小值的時候也有很大的難度，那么我們只有變換問題思考的方向：就是將所求的參數和主元的位置調過來，然后利用其他的已知條件解答出來。

例4.若不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范圍。

解：原不等式化為關于m的不等式（x2-1）m-2x+1<0。設f（m）=m（x2-1）-2x+1，則要使f（m）<0，|m|≤2恒成立，只要f（-2）<0，f（2）<0，即-2（x2-1）-2x+1<0， 2（x2-1）-2x+1<0，解得（-1+ √7）/2

這道題主要是用參數作為自變量而建立了一個新的函數，將常見的不等式問題變為函數在所在的區間上的值域問題。

責任編輯 徐國堅