點目標假設下的二維精度體系研究

王 智，王 鵬，何 磊，白文露，夏 川

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引言

飛行器落點散布由一系列彼此獨立的隨機干擾因素引起。雖無法事先確定每種干擾因素的具體數值，但其均符合一定的統計特性。按照概率論中心極限定理[1-3]：對于大量隨機變量之和，如果每個隨機變量對總和的作用是微小的，且彼此不相關，則此和式近似于正態分布。因此，可以認為落點偏差的概率分布遵循正態分布規律。

在點目標假設下，表征飛行器二維精度的常用指標是均方根誤差和圓概率偏差。在不同的應用場景，二維精度指標需用概率偏差表示。

本文在點目標的假設下，應用概率論正態分布理論，在二維圓概率偏差線性公式的基礎上，給出了基于縱橫向均方根誤差分段的圓概率偏差精確公式，同時對二維精度指標體系及相互轉換關系進行了研究。

1 落點散布坐標系

要描述飛行器落點C圍繞目標點T的分布，須要明確落點偏差量的表示方法，規定落點散布平面為目標點T處的水平面，以T為原點Oc，用發射點O矢徑ro與目標點T矢徑rt所組成的平面與散布平面的截線順飛行方向為ΔL軸，即縱向，從O點指向T點的方向為正；在散布平面內與T點相垂直的方向為ΔH軸，即橫向，指向ΔL軸右方為正。飛行器落點C在落點散布坐標系Oc-ΔLΔH中的ΔL，ΔH即為縱向落點偏差和橫向落點偏差，如圖1所示。

圖1 落點散布坐標系示意圖Fig.1 Schematic diagram of falling point dispersion coordinate system

2 二維精度指標體系及相互關系

2.1 均方根誤差

若瞄準點為目標中心，則其縱向ΔL、橫向ΔH分布規律的二維正態分布為

(1)

式中，μΔL，μΔH為系統性偏差；σΔL，σΔH為隨機誤差和均方根誤差；ρ為縱橫向相關系數，0≤ρ<1。

考慮沒有系統性誤差，即μΔL=μΔH=0，并且縱橫向獨立，則(ΔL，ΔH)的密度函數分別為

(2)

(3)

假定σΔL=σΔH=σ，即落點為圓散布，此時有

(4)

ΔL和ΔH的聯合概率密度函數分布如圖2所示。

圖2 聯合概率密度圖Fig.2 Joint probability density

2.2 概率偏差

隨機變量ΔL，ΔH的概率偏差BΔL，BΔH也稱為公算偏差。公算偏差BΔL，BΔH對稱于散布中心，落點出現于其中的概率等于0.5區間長度的一半，即

P{|ΔL|

(5)

P{|ΔH|

(6)

根據拉普拉斯函數

(7)

則有

(8)

(9)

由拉普拉斯表可知[4]

(10)

(11)

2.3 圓概率偏差

圓概率偏差(Circular Error Probable，CEP)是以散布中心為圓心，以R為半徑畫圓，飛行器落在該圓內的概率為50%，此R亦稱為半數必中圓半徑。

滿足下式的R即為CEP

P=

=0.5

(12)

在點目標假設的條件下，以瞄準點為圓心，假設落點偏差服從正態分布且縱橫向獨立，即ρ=0，則CEP可表示為[5-8]

=0.5

(13)

2.4 指標體系相互關系

當落點散布具有圓散布特性，即

(14)

則有[9]

(15)

進而有

CEP=1.177 4σ=1.745 6B

(16)

式(16)為圓散布情況下圓概率偏差CEP、均方根誤差σ和概率偏差B之間的相互轉化關系。

在滿足一定計算精度的情況下，為快速計算CEP，可建立CEP的擬合公式[10-11]。通過數值計算確定CEP與σΔL，σΔH的擬合關系如下

CEP=

(17)

式中

σmin=min(σΔL,σΔH)
σmax=max(σΔL,σΔH)

(18)

CEP與σmin/σmax的關系如圖3所示。圖中紅色實線為σmin/σmax∈(0，1)時CEP/σmax與σmin/σmax的關系曲線，藍色虛線為σmin/σmax∈(0，0.3)時采用線性擬合公式CEP=0.562σmax+0.615σmin所得的CEP/σmax與σmin/σmax的關系曲線。

圖3 CEP與σmin/σmax關系曲線圖Fig.3 The relationship between CEP and σmin/σmax

從圖3可見，在0<σmin/σmax≤0.3時，采用線性擬合公式較采用二次曲線擬合公式會產生較大的誤差，且隨著σmin/σmax減小，計算誤差增大，最大時誤差可達17%。因此為準確表征CEP，應采用分段擬合公式，即在0<σmin/σmax≤0.3時采用二次曲線擬合公式，在0.3<σmin/σmax<1時采用線性擬合公式。

CEP與概率偏差的擬合關系如下

CEP=

(19)

式中

Bmin=min(BΔL,BΔH)
Bmax=max(BΔL,BΔH)

(20)

CEP與Bmin/Bmax的關系如圖4所示。圖中紅色實線為Bmin/Bmax∈(0，1)時CEP/Bmax與Bmin/Bmax的關系曲線，藍色虛線為Bmin/Bmax∈(0，0.3)時采用線性擬合公式CEP=0.833 2Bmax+0.911 8Bmin所得的CEP/Bmax與Bmin/Bmax的關系曲線。

圖4 CEP與Bmin/Bmax關系曲線圖Fig.4 The relationship between CEP and Bmin/Bmax

從圖4可見，在0

3 結論

本文首先給出了點目標假設下均方根誤差、概率偏差和圓概率偏差的定義和計算公式，然后通過理論推導和數值計算給出了二維精度指標相互轉換的擬合公式，實現二維精度的快速評估計算。