中型固體運載火箭內外彈道聯合優化設計方法研究

化 金，張艷玲，王宗強，石寶蘭，洪 蓓

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引言

目前我國小型固體運載火箭以其可靠性高、機動性強、操作簡便的特點，應用于快速響應應急發射和小衛星商業發射。為了滿足日益擴大的商業衛星發射市場的需求，須要開展中型固體運載火箭的研制和應用，填補我國小型固體運載火箭和中型液體運載火箭之間運載能力的空白[1-2]。

與液體運載火箭相比，小型固體運載火箭以較大的起飛推重比快速爬升高度，減少重力損失。然而隨著火箭的起飛規模成倍增加，大型固體發動機受結構、生產、運輸、起吊等多種條件限制，推力提升空間有限[3-4]，導致中型固體運載火箭的起飛推重比下降，重力損失增加，性能下降。

固體運載火箭一二級分離采用熱分離的方式，一二級分離點高度是影響火箭方案設計的重要指標。因為分離高度越低，風干擾越大，二級起控的難度也越大。已有的長征11號小型固體運載火箭，其Ⅰ級發動機裝藥量約占全箭起飛質量的65%，二級起控高度約33 km。相比之下，正在研制的某中型固體運載火箭Ⅰ級發動機裝藥量僅占全箭起飛質量的50%，二級起控高度才26 km，這對于火箭的二級控制能力是不小的挑戰。

改善二級起控的環境，可通過調整一級飛行段彈道，提高一二級分離點高度的方式，但是此種做法使火箭飛行高度增加，而轉彎減小，同樣帶來重力損失增加，隨之帶來運載能力降低的風險。學者黃體圣等[5]指出傳統的固體運載器總體方案設計方法將發動機設計與之解耦，采用平均推力曲線的形式進行總體參數優化設計。這種方法帶來的結果為發動機性能最優而運載器性能不一定最優。針對典型的三級固體運載器，黃體圣研究了內外彈道聯合優化設計方法，仿真結果表明，Ⅰ級發動機采用“前高后低”的內彈道曲線構型可使運載器射程增加約4%。

學者梁欣欣等[6]針對典型三級固體運載器大氣飛行段開展分析，利用自適應差分進化法對發動機內彈道曲線進行離散優化，以運載器的射程為優化目標。研究結果表明內彈道及外彈道聯合優化，可進一步改善固體運載器的整體性能和飛行環境；內彈道曲線優化形式并非傳統認為的平均推力形式；“前高后低”雙推力的內彈道曲線形式對于提高三級固體運載器的射程和改善飛行環境具有積極意義。

已有文獻多針對三級固體運載器內外彈道多學科優化開展研究，優化目標為運載器的射程最大。相較之下，四級固體運載火箭飛行彈道設計更加復雜，不僅設計變量個數增加，終端約束也從運載器落地的一維增加到進入目標軌道的四維。因此本文針對四級串聯構型的中型固體運載火箭，研究在終端約束和過程約束下的內外彈道聯合優化設計方法，并分析Ⅰ級發動機采用“前高后低”雙推力內彈道形式在改善二級起控環境的同時減少運載能力損失的效果。

1 外彈道計算模型

外彈道計算數學模型的輸入為飛行程序角，輸出為全彈道參數，主要包括火箭動力學模型、空氣動力學模型、地球及大氣模型、發動機模型和飛行程序角模型[7]。本文研究過程中考慮地球為旋轉橢球，采用標準大氣模型，在發射坐標系內建立固體運載火箭三自由度質點彈道模型。四級固體運載火箭從起飛到星箭分離采用一二級連續助推+三級滑行+三級動力飛行+四級滑行+四級動力飛行+末速修正的飛行彈道模式[8-9]，其中末速修正段采用無動力飛行，不影響火箭的運載能力，忽略這段的彈道計算，飛行俯仰程序角設計如圖1所示。

圖1 四級固體運載火箭飛行程序角、程序攻角設計曲線Fig.1 Four-stage solid launch vechile flight program angle and program attack angle curve

一級飛行段垂直起飛后采用攻角轉彎，攻角最大值為αM，然后重力轉彎。二級飛行段采用俯仰程序角下壓，下壓斜率為Kd2。三級滑行段保持定軸飛行，滑行時間為Thx3。三級動力段再次俯仰程序角下壓，下壓斜率為Kd3。四級滑行段的滑行時間為Thx4，四級動力段保持俯仰程序角為FICX4的定軸飛行。

2 內彈道計算模型

固體發動機內彈道曲線設計的本質是對發動機燃面變化規律進行設計，設計參數包含翼個數、翼類型、翼高、翼寬、翼傾角等[5]，在中型固體運載火箭的總體方案論證中可采用簡化的內彈道形式，本文研究單平均推力和雙平均推力兩種發動機的內彈道形式。單推力形式忽略其上升段和下降段，推力曲線如圖2(a)所示，其中T1為發動機工作時間，Pe為平均推力大小。雙平均推力模型簡化為“前高后低”的“雙臺階”形式，推力曲線如圖2(b)所示，其中Pe為“前高后低”的大推力段平均推力，K為小推力段平均推力與推力段平均推力的比例(0≤K≤1)，TP為雙推力的轉換時間(0≤TP≤T1)。

(a)單平均推力內彈道形式示意圖

較大的起飛推重比會帶來較小的重力損失，所以Pe保持中型固體運載火箭Ⅰ級發動機設計條件下的最大推力，只研究推力比K和推力轉換時間TP對于火箭性能的影響。運載火箭總體方案論證時，關注固體發動機的裝藥量、推力、總沖、比沖、質量比等參數。本文研究過程中假設兩種推力形式下的發動機裝藥量和總沖相同，由于發動機最大推力相同，工作壓強相同，可忽略推力參數變化對發動機比沖、質量比的影響。

3 聯合優化設計方法

內外彈道聯合優化以火箭的運載能力最大為優化目標，公式如下

minJ(u)=-mp

式中，mp為有效載荷質量。

以外彈道計算模型中的彈道參數和發射方位角A0為優化變量，公式如下

u=[A0,αM,Kd2,Thx3,Kd3,FICX4,Thx4]T

為使優化算法更好收斂，將目標軌道參數半長軸af、偏心率ef和軌道傾角if轉換為星箭分離時刻的彈道特征點參數飛行高度Hf、當地彈道傾角Θf、絕對速度Vaf和軌道傾角if。終端約束公式如下

考慮工程實現性，固體運載火箭動力飛行段的軸向飛行過載較大，所以普遍選擇三級滑行時拋整流罩，此時軸向飛行過載為0，根據衛星對熱環境的要求設置拋整流罩時刻的自由分子加熱熱流上限為Qf。在Ⅱ級發動機性能大致確定的情況下，一二級分離點的動壓反映二級起控的環境，動壓越小，氣動干擾越小，二級起控越有利。設一二級分離點動壓約束為q12f，則過程約束為

Q≤Qf
q12≤q12f

綜上，單推力和雙推力的內外彈道聯合優化模型分別如下

固體運載火箭的彈道優化問題抽象為終端時刻自由、終端狀態固定且帶有過程約束的多階段、非線性最優控制問題。工程中常用間接法將連續的彈道優化轉化為離散化的參數優化問題，采用非線性規劃算法求解[10-12]。在選擇合適的優化初值前提下，使用序列二次規劃(Sequential Qua-dratic Programming，SQP)算法可快速收斂且計算精度較高。

4 仿真結果及分析

本文以某中型固體運載火箭總體參數為例，目標軌道為高度500 km太陽同步軌道進行仿真分析，約束條件如表1所示，運載能力與該型火箭的指標相減，進行數據處理(下同)。在Ⅰ級發動機采用單推力內彈道形式下，進行優化計算得到運載能力隨一二級分離點動壓約束變化的曲線如圖3所示。

表1 優化約束Tab.1 Optimization constraints

圖3 單推力內彈道形式的運載能力Fig.3 Payload of single thrust propulsion

從圖3可以看出隨著一二級分離點動壓約束不斷加嚴，單推力內彈道形式的運載能力明顯下降，當q12f從24 kPa減小至16 kPa時，運載能力降低了50 kg。原因在于，為達到一二級分離點動壓約束，須要減小一級轉彎攻角，提高一二級分離點高度。一級轉彎不足，導致重力損失增加，運載能力降低。

Ⅰ 級發動機采用“前高后低”雙推力內彈道形式，推力比分別設為0.5，0.7，0.9和0.95，轉換時間分別設為T1-5，T1-10，T1-15和T1-20，排列組合為16組“前高后低”雙推力的內彈道形式。進行優化計算得到運載能力隨一二級分離點動壓約束變化的曲線如圖4的(a)～(d)所示。

(a)q12f=24 kPa約束下運載能力比較

從計算結果可以看出相同的一二級分離動壓約束下，當“前高后低”雙推力內彈道的轉換時間一定時，隨著小推力與大推力的推力比逐漸增加，運載能力先增加后減小。算例中，當推力比為0.5時，雙推力轉換時間越晚，運載能力越大，但隨著推力比的增加，雙推力轉換時間對運載能力的影響越小。與單推力內彈道形式相比，“前高后低”雙推力內彈道形式的運載能力并沒有隨著一二級分離動壓約束的加嚴而明顯下降，并且兩種內彈道下的運載能力差距在逐漸增加。這是因為前半段的大推力保證較大的推重比，快速沖出大氣層，減少運載能力的損失。后半段的推力降低，延長Ⅰ級發動機的工作時間，在不降低一級轉彎攻角的前提下，提高一二級分離點高度，從而改善二級起控條件。

使用SQP算法進行雙推力內外彈道聯合優化設計得到優化解如表2所示。從計算結果可知，針對相同的一二級分離點動壓約束q12f，不同的推力比K和推力轉換時間TP優化初值組合，雖然得到最優解不唯一，但是優化結果的運載能力相近。并且運載能力數值接近上文16組“前高后低”雙推力的內彈道形式的運載能力優化結果，說明在多個終端約束和多個過程約束下采用SQP算法進行雙推力內外彈道聯合優化設計是有效可行的。

表2 雙推力內彈道形式的聯合優化結果Tab.2 United optimization result of ″first-high-second-low″ thrust propulsion

5 結論

本文針對四級串聯的固體運載火箭分別建立Ⅰ級發動機采用“前高后低”雙推力形式和單推力形式的內外彈道聯合優化設計模型，采用SQP算法在目標軌道終端約束、一二級分離點動壓和拋罩熱流密度過程約束下進行優化分析。研究結果表明相比單推力內彈道形式，中型固體火箭Ⅰ級發動機采用“前高后低”雙推力內彈道形式，能夠在改善二級起控環境的同時減少運載能力的損失。