北京市第十二中學(xué)(100071) 周 瑾 劉 剛

1. 試題與解答

2. 推廣

由以上性質(zhì)可以得到圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì):

性質(zhì)4已知L是圓錐曲線ω的一條對稱軸,E是L上不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn),E關(guān)于圓錐曲線ω的極線是l1,直線l2與L垂直,過點(diǎn)E作與L不重合的直線l交圓錐曲線ω于點(diǎn)A,B(A,B異于l2,L與ω的交點(diǎn)),交l1于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作l2的垂線,垂足為Q,直線AQ交L于點(diǎn)C,直線BQ交L于點(diǎn)D,則E是線段CD的中點(diǎn).

證明如圖,以橢圓為例,連接QE, 因?yàn)镋關(guān)于圓錐曲線ω的極線是l1, 所以P,B,E,A是調(diào)和點(diǎn)列, 即QP,QB,QE,QA是調(diào)和線束. 因?yàn)長//PQ,L∩QA=C,L∩QE=E,L∩QB=D,所以E是線段CD的中點(diǎn).