對一道拋物線平行弦模考題的探究

廣東省中山市桂山中學(528463) 蔡曉波

一、題目再現

題目(深圳市2021 屆高三第二次調研考試第21 題)在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,P是直線x= ?2上的動點, 過P作兩條相異直線l1和l2, 其中l1與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,l2與C交于M,N兩點,記l1、l2和直線OP的斜率分別為k1,k2和k3.

(1)當P在x軸上,且A為PB中點時,求|k1|;

(2)當AM為?PBN的中位線時,請問是否存在常數μ,使得? 若存在,求出μ的值;若不存在,請說明理由.

評注該題屬于壓軸題,具有一定的難度. 第一問較為簡單,其解答從略. 我們著重對第2 問進行解法與結論的探究.

二、解法探究

圖1

圖2

評注這是深圳二模當時給出的官方答案,該解題過程的主要難點在于有一定的計算量,而計算量來自于直線代入拋物線以及由方程①②③得出的過程,而這些計算量皆是由直線l1,l2方程的復雜性引起的. 為了降低復雜度,我們不難想到如果以P為原點重新建立直角坐標系,則直線l1,l2的方程可以簡化,因此我們可得如下解法2.

解法2設P(?2,y0),以P為新坐標原點O′,過P平行于x軸且與x軸同向為x′軸,平行于y軸且與y軸同向為y′軸如圖2 建立新的直角坐標系x′O′y′,易知拋物線C的方程為: (y+y0)2= 4(x?2),原來的坐標原點O(2,?y0),P(0,0)

評注解法2 利用坐標的平移變換使得計算量下降,當直線方程過于復雜(尤其是過普通點的點斜式方程時),則代入曲線時會帶來不少的計算量,而坐標的平移變換會讓直線便為過原點的直線,從而使得直線易于代入曲線方程.

實際上, 由AM為?PBN的中位線我們不難得到AM//BN,結合點差法的思想,我們不難得到如下更加巧妙的解法:

評注解法3 利用了中點弦問題中常用的點差法思想,避免了直線代入曲線方程的復雜計算,此解法具有一定的巧妙性.

三、拋物線平行弦的若干結論

上述解法3 中,我們不難發現,如果把題目中的“AM為?PBN的中位線”改為“AM//BN”結論仍然成立.

那么對于本題,如果把“AM為?PBN的中位線”改為“AM//BN”,對任意的拋物線結論是否依然成立呢? 本題的本質又是什么呢? 筆者探究得出一些結論.

在給出相關結論之前,我們先來看2 個引理:

引理1在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,A,B,M,N為拋物線C:y2= 2px上不相同的四點, 且AM//BN,設AM,BN的中點分別為D,E,則直線DE垂直于y軸.

類似于解法3 的證明過程可得引理1 的證明,故這里不再贅述.

引理2在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,P是不在拋物線C:y2= 2px上的任意一點, 過P做直線l交拋物線于A,B兩點, 且, 則有且僅有另外一條不同于l的直線l1,使得l1交C于M,N,且.

證明設點P的坐標為(x0,y0), 類似于上述解法2以P為新坐標原點O′重新建立直角坐標系可得: 拋物線C的方程為: (y+y0)2= 2p(x+x0), 原來的坐標原點O(?x0,?y0),P(0,0). 依題意可知直線l的斜率不可能為0,故設直線l的方程為:x=my,A(x1,y1),B(x2,y2), 因為,故y1=ty2. 由可得:

利用韋達定理可得關于m的方程:

由P是不在拋物線C上可知t0,故方程⑥為關于m的二次方程,此時.

(1)當P在拋物線C的內側時,顯然,此時A,B必在點P兩側,故t<0,又因為t?1,故?>0.

(2)當P在拋物線C的外側時,顯然,此時A,B必在點P同側,故t>0,故?>0.

因此方程⑤有且僅有兩個解, 因此存在一個不同于m的另一個解,即有且僅有另外一條不同于l的直線l1,使得l1交C于M,N,且.

結論1在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,P(x0,y0)是不在拋物線C:y2= 2px上的動點,過P作兩條相異直線l1和l2,其傾斜角的余切值分別為m1,m2,其中l1與拋物線C交于A,B兩點,l2與C交于M,N兩點(P不為AB或MN的中點),則AM//BN或AN//BM的充要條件是:.

證明以P為新坐標原點O′,類似于上述解法2 以P為新坐標原點O′重新建立直角坐標系可得: 拋物線C的方程為: (y+y0)2= 2p(x+x0), 直線l1和l2的方程分別為x=m1y,x=m2y(平移坐標系不改變直線的傾斜角).

結合解法2 和引理2 的分析過程不難得出必要性的證法,故這里不再贅述.

在結論1,我們不難發現,當y0為定值時,此時m1+m2也為定值,由此可得相關推論,另外,如果進一步讓還可以得到m1+m2=1 的更加特殊的推論,相關推論請讀者自行總結.

在結論1 中,當P的橫坐標時,則,而具有明顯的幾何意義,它就是OP的斜率,因此我們可得如下推論:

推論1在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,P是不在y軸上且不在拋物線C:y2=2px上的動點,過P作兩條相異直線l1和l2,其斜率分別為k1,k2,其中l1與拋物線C交于A,B兩點,l2與C交于M,N兩點(P不為AB或MN中點),點P的橫坐標為x0,則AM//BN或AN//BM的充要條件是:.

在推論1 中,如果令x0=?2,p=2,則其必要性便為深圳市2021 屆高三第二次調研考試第21 題的結論.

對于推論1 中,如果l2垂直于x軸時,此時m2為0,則可以得到更加特殊的推論,相關推論由筆者自己總結.

結論1 中,P不為AB中點且不為MN中點,因為由引理2 證明過程可知,當P是為AB或MN中點時l1與l2重合,那么當P為AB中點時有何類似于結論1 的結論呢? 探究可得:

結論2直線l交拋物線C:y2= 2px于A,B不同兩點,且直線l的傾斜角的余切值為m,P為A,B的中點,且P的縱坐標為y0,則.

該結論較易證明,這里不再贅述. 結論2 可以看成是對結論1 的補充,也可以看成是結論1 的極限情況.

結論1 告訴我們, 拋物線中任意兩條平行弦可以構成一個梯形, 該梯形的兩條腰所在的直線的傾斜角的余切值之和與弦中點縱坐標成正比, 比例系數為; 顯然,該梯形的兩條對角線所在的直線的傾斜角的余弦值也滿足這個關系. 梯形的兩條腰會交于一點,兩條對角線也會交于一點,且由引理1 結合平面幾何知識可知這兩個交點的縱坐標與弦中點縱坐標是相等的,那么這兩個交點的橫坐標有什么關系呢? 筆者探究之得出如下結論:

圖3

結論3在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,A,B,M,N為拋物線C:y2= 2px上不相同的四點, 且AM//BN,設直線AB與MN于P,AN與BM于Q,P,Q的橫坐標分別為xP,xQ,P的縱坐標為y0,則.

根據結論3,我們容易得到如下推論:

推論2在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,A,B,M,N為拋物線C:y2= 2px上不相同的四點,AM//BN且AM不垂直于x軸, 設直線AB與MN于P,AN與BM于Q,若直線OP與OQ的傾斜角的余切值分別為m1,m2,P的縱坐標為y0,則.

對于推論2中, 我們不難發現, 若y0為定值a時, 則m1+m2為定值,此時點P恒在定直線y=a上運動,故可以另一個推論,該推論由讀者自己完成,這里不再贅述.

推論2 與結論1 的必要性從形式上看十分相似,很好的體現了數學美;結合這2 個結論,我們可得如下結論:

結論4在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,A,B,M,N為拋物線C:y2= 2px上不相同的四點,AM//BN且AM不垂直于x軸, 設直線AB與MN于P,AN與BM于Q, 若直線OP,OQ,AB,MN,AN,BM的傾斜角的余切值分別為m1,m2,m3,m4,m5,m6, 則有m1+m2=4(m3+m4+m5+m6).

相關證明過程由讀者完成.