解兩類含參數的復合不等式有解與恒成立問題

江西省貴溪市第四中學(335400) 吳善祥

1 問題呈現

筆者在高三的一堂課上,講解了下面一道題.

題目關于x的不等式x2?2ax>4 ?a2在區間[0,1]內恒成立,求實數a的取值范圍.

筆者提供的解法如下:

解(x?a)2?4 > 0,令f(x) = (x?a)2?4,由題意知f(x) > 0 在區間[0,1]內恒成立,所以或即或解得a< ?2 或a> 3, 因此實數a的取值范圍為(?∞,?2)∪(3,+∞).

但課堂上有一個學生舉手示意他有另一種解法,想拿出來分享. 該學生的解法如下:

解x2?2ax> 4 ?a2?(x?a)2> 4?ax+2, 由題意知ax+2 在區間[0,1] 內恒成立, 所以ax+2 在區間[0,1] 內恒成立, 所以a< (x?2)min=?2 或a> (x+2)max= 3, 因此實數a的取值范圍為(?∞,?2)∪(3,+∞).

這位學生分享完他的解答之后,便向大家拋出了他那雙期待點贊的眼神.

筆者沒有著急給出評價, 只是問該學生從“ax+2 在區間[0,1]內恒成立”到“ax+2 在區間[0,1]內恒成立”是否是用到了“af(x)在區間D內恒成立”等價于“af(x)在區間D內恒成立”. 學生立馬給出了肯定的回答.

問題“af(x)在區間D內恒成立”是否直接等價于“af(x)在區間D內恒成立”呢?

2 問題探究

下面, 就來探討一下“af(x)在區間D內恒成立”能否直接等價于“af(x)在區間D內恒成立”.

“af(x) 在區間D內恒成立”表示的是“在區間D內af(x)至少有一個成立”,一般情況下并不等價于“af(x)在區間D內恒成立”. 如圖1, 當nf(x)在區間[x1,x2]內至少有一個成立,即af(x)在區間[x1,x2]內恒成立,但af(x)在區間[x1,x2]內也不恒成立. 所以,對于“af(x)在區間D內恒成立”這類問題,一般不直接求解. 而是將其轉化為否定形式,即轉化為“g(x)≤a≤f(x)在區間D內有解”,求此時參數a的取值集合,其補集即為所求.

圖1

“g(x)≤a≤f(x)在區間D內有解”又如何解決呢? 是否直接等價于“g(x)min≤a≤f(x)max”呢? 下面做進一步的探究.

首先, 在區間D內g(x)min和f(x)max都不一定存在,所以“g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內有解”直接等價于“g(x)min≤a≤f(x)max”是不嚴謹的. 其次, 就算在區間D內g(x)min和f(x)max存在,“g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內有解”也不一定等價于“g(x)min≤a≤f(x)max”.如圖2, 在區間[x1,x3] 內,f(x)max=m,g(x)min=n. 當p

圖2

g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內有解, 務必確保f(x) ≥g(x),由f(x) ≥g(x)在區間D內解出一個區間C,在區間C求g(x)的最小值g(x)min和f(x)的最大值f(x)max. 否則,x的取值區間有可能就被放大了,從而導致g(x)的最小值可能被縮小,f(x)的最大值可能被放大.

通過上面的研究,便得到解決“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內有解”這類題型的一般步驟如下:

第一步,控制區間: 在區間D內解不等式f(x) ≥g(x),設其解集為C;

第二步,求出最值: 在區間C內,如果g(x)存在最小值,f(x)存在最大值,那么求g(x)的最小值g(x)min和f(x)的最大值f(x)max;

第三步,得出結論:g(x)min≤a≤f(x)max.

對于f(x)和g(x)在區間內最值不存在的情況,一般可以考慮趨向于某個常數或者無窮大來處理此類問題. 后文碰到此類情況,類似處理,不再贅述.

現在回到前面的題目,便可以得到此題的另一種正確解法:

解法2x2?2ax>4?a2?(x?a)2>4?ax+2,由題意知ax+2 在區間[0,1]內恒成立,其否定形式為:x?2 ≤a≤x+2 在區間[0,1]內有解,由得0 ≤x≤1,在區間[0,1]內,(x?2)min= ?2,(x+2)max= 3,所以當x?2 ≤a≤x+2在區間[0,1]內有解時,?2 ≤a≤3,因此原題中a的取值范圍是(?∞,?2)∪(3,+∞).

上面在由條件f(x) ≥g(x)控制的區間C內去求g(x)的最小值和f(x)的最大值,其實都是在區間C是連續區間的情況下探討的. 如果區間C是多個連續小區間的并集,那么只要在每個小區間上分別去求參數a的取值范圍,最后將它們取并集即為所求.

直到現在, 估計大家還有一個疑問, 既然“af(x)在區間D內恒成立”不一定等價于“af(x)在區間D內恒成立”,那為什么那位同學算到的最終結果又是正確的呢?

此時,再來一題,看計算的結果是否一樣.

例1若a<6x?2 或a>x+2 在x∈[0,1]內恒成立,則實數a的取值范圍是____.

錯解因為a< 6x?2 或a>x+ 2 在x∈[0,1]內恒成立, 所以a< 6x?2 區間x∈[0,1] 內恒成立或a>x+2 區間x∈[0,1]內恒成立,所以a< (6x?2)min=?2 或a> (x+2)max= 3, 因此實數a的取值范圍為(?∞,?2)∪(3,+∞).

3 拓展延伸

上面已經探討了“af(x) 在區間D內恒成立”問題和“g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內有解”問題, 接下來在上面的基礎上, 將問題延伸到“a≤g(x) 或a≥f(x)在區間D內有解”和“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內恒成立”繼續探究, 以期解決“a≤g(x) 或a≥f(x)”和“g(x) ≤a≤f(x)”這兩類含參數的不等式有解與恒成立問題.

3.1 g(x)≤a≤f(x)在區間D內恒成立

類似于解決“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內有解”問題,很多學生容易得出“g(x) ≤a≤f(x)在區間D內恒成立”的解題步驟:

第一步,控制區間: 在區間D內解不等式f(x) ≥g(x),設其解集為C;

第二步,求出最值: 在區間C內,如果g(x)存在最大值,f(x)存在最小值,那么求g(x)的最大值g(x)max和f(x)的最小值f(x)min;

第三步,得出結論:g(x)max≤a≤f(x)min.

從正確與否的角度來看, 這種解題步驟是沒有問題的. 但從解題步驟的簡潔性來說, 這種解題步驟還有待簡化. “g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內恒成立”已經確保了“f(x) ≥g(x) 在區間D內恒成立”. 所以, 第一步在區間D內不等式f(x) ≥g(x) 的解集C毫無疑問就等于D. 因此,在區間D內,若f(x)存在最小值,g(x)存在最大值, 則“g(x) ≤a≤f(x) 在區間D內恒成立”直接等價于“g(x)max≤a≤f(x)min”,無需由f(x) ≥g(x)在區間D內重新控制一個約束區間,給計算帶來沒有必要的麻煩.

例2若關于x的不等式|a?3x?1| ≤2x2在區間[1,2]內恒成立,則實數a的取值范圍是____.

解|a?3x?1| ≤2x2??2x2+ 3x+ 1 ≤a≤2x2+ 3x+ 1. 在區間[1,2] 內,(?2x2+3x+1)max= 2,(2x2+3x+1)min=6. 因此a的取值范圍是[2,6].

3.2 a≤g(x)或a≥f(x)在區間D內有解