厘清背景 明晰本源 培養思維品質
——以圓錐曲線中一類動圓過雙定點問題為例

廣東省惠州仲愷中學(516229) 陳偉流

《普通高中數學課程標準》(2017 年版2020 年修訂)在教學建議中強調: 教師要加強學習方法指導,幫助學生養成良好的數學學習習慣,敢于質疑、善于思考,理解概念、把握本質,數形結合、明晰算理,厘清知識的來龍去脈,建立知識之間的關聯[1]. 由此可見,教學實踐中必須注重并落實知識背景,數學本源等教與學的雙向工作,引導學生秉承整體關聯的理念進行解題,研題,形成透過現象看本質的高觀點整體認知思維,從而才能培養并提升關鍵能力、核心素養等方面的學科思維品質.

一、試題剖析

評析本題以直線與橢圓位置關系為載體,以定點,數量積為定值的呈現形式考查運算求解,邏輯思維及數學建模等關鍵能力,反映了數學運算,邏輯推理,數學抽象等核心素養的測量導向,在難度系數上歸屬中檔題水平. 但實際教學中,多數學生卻因概念背景模糊,模型觀念單薄,運算能力低弱而屢屢在解析幾何試題的情境中出現卡點棄答,無法獲得良好的解題認知能力,欠缺透析一題看一類本質的數學抽象思維.

解題中發現,P,Q兩點的縱坐標乘積為定值,而P,Q由直線AM,AN所生成,lMN過橢圓的右焦點(定點), 因右頂點A的特殊性, 進一步探索知:kAM·kAN= ?(e+1)2(e為橢圓的離心率), 所以筆者初斷這是存在定點S滿足的根源所在;而,動弦PQ攜定點張直角,以線段PQ為直徑的圓恒過定點是形異質同的多種外在形式,在邏輯上抽象為類題歸一并入同一探索主線.

二、背景探索

三、發散推廣

四、應用提升

題1(2023 屆廣西梧州柳州統考理科第20 題)在直角坐標系xOy中,動點M到定點F(1,0)的距離比到y軸的距離大1.

(1)求動點M的軌跡方程;

(2)當x≥0 時,記動點M的軌跡為曲線C,過F的直線與曲線C交于P,Q兩點,直線OP,OQ與直線x= 1 分別交于A,B兩點,試判斷以AB為直徑的圓是否經過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.

五、結束語

高考解析幾何試題多次以經典的高等幾何知識為命題依據,極具豐富的研究價值,如2022 年全國高考試題便以經典的手電筒模型,圓錐曲線垂徑定理,米勒最大張角問題,圓錐曲線極點極線理論等高深背景而成為廣大師生愛不釋手,樂于耕耘的一片沃土, 具備師生備考上的典范性與指導性.所謂一題一世界,一變千萬面. 只有明晰每道試題的一般命制背景,厘清其知識本源,師生共同觸摸問題本質,才能實現試題背后的教育價值,幫助學生夯實運算求解,邏輯思維等關鍵能力, 提升數學運算, 邏輯推理, 數學抽象等核心素養,從而才能培養好思維品質!