由一道錯題談參變分離方法的運用和啟示

廣東省汕尾市陸河縣河田中學(516700) 李國振 李岸模

一、引言

一節課上恰好講到一道函數導數題目,課堂上講完它的一般解法后,突發奇想這道題能不能用參變分離方法解決?然后帶著學生用參變分離的方法按部就班的往下推進,到了最后也順利解決了問題. 這時,一個學生指向圖像的左半部分問:“老師,左邊是不是也有符合條件的解? ”順著他的思路,題目果然出錯. 然后就是各個書籍和網上去查這道題,發現所有地方這道題解答都是一樣,出現了問題.

二、題目與參考答案

題目已知不等式(kx+3k)ex

參考答案原不等式(kx+3k)ex

當x<0 時,f′(x)>0,所以在(?∞,0)上單調遞增;當x>0時,f′(x) < 0, 所以在(0,+∞)上單調遞減. 又f(?1) = 0, 且x> 0 時,f(x) > 0,因此g(x) =k(x+3)與的圖象如圖1, 當k≤0 時, 顯然不滿足條件, 當k> 0 時,只需要滿足即,解得,故答案選D.

圖1

三、徹底的參變分離解決方案

x(?∞,x1)x1(x1,?3)(?3,x2)x2(x2,+∞)f′(x)?0++0?f(x)↘極小值↗↗極大值↘

圖2

四、錯誤成因及方法優缺點分析

題目的參考答案顯然是忽略了g(x) =k(x+3) 與在第三象限相交時也有兩個符合條件的解. 實際上,在左半部分異常陡峭的圖像上, 如果沒有徹底的參變分離,而通過肉眼發現符合條件的解確實有一定的難度.

圖3

參考答案的方法其實非常好, 它把已知條件通過化簡,化歸為兩個簡單常見的函數, 這兩個函數比較容易作圖,這是該方法的一個優點. 但是在求解的過程中, 因為落在x= ?3 左邊圖像過于陡峭, 未在圖中得以呈現, 導致對應的解被遺漏,而后題目設計的時候也就出錯了. 而我們如果順著標準答案的求解過程,也覺得這個過程非常完美. 而當實現完全的參變分離,當整個函數的圖像完全畫出來,因為y=k太容易與之對比求解了,所以在求解的時候更不容易出錯. 但是完整的參變分離往往其中一個函數圖像會非常難畫,這是徹底的參變分離的缺點.

五、另外一種不完全的參變分離方法

原不等式(kx+3k)ex

①當x= ?3 時,不等式等價于0 < ?2e3,顯然不符合條件.

②當x> ?3 時, 不等式等價于,設f(x) =(如圖4),即kex

圖4

③當x< ?3 時, 不等式等價于,即kex>f(x).

對于y=kex,是經過定點(0,k)的單調函數. 當k< 0時,y=kex是單調遞減函數,整個圖像落在x軸下方,此時,有無數個整數點符合條件, 這與有且只有兩個整數解矛盾,不符合條件. 當k> 0 時,y=kex是單調遞增函數,整個圖像落在x軸上方,此時,有兩種可能.

圖5

圖6

六、學以致用——編制基于參變分離方法的訓練題

根據2021 年北京高考數學卷第15 題,我們編制了對數函數與一次函數相結合的考題:

訓練題已知函數f(x)=|lgx|?kx?2,給出下列四個結論:

①若k=0,f(x)恰有2 個零點;

②存在負數k,使得f(x)恰有個1 零點;

③存在負數k,使得f(x)恰有個3 零點;

④存在正數k,使得f(x)恰有個3 零點.其中所有正確結論的序號是____.

解答對于f(x)的零點, 我們把它分離成y=kx+ 2 和y= |lgx|兩個函數, 轉變成兩個函數的圖像交點問題,y= |lgx|如圖7.

(1)y=kx+2 經過定點(0,2), 當k= 0 時, 直線與y=|lgx|顯然有兩個零點,所以①正確.

(2)當k< 0 時,由圖7 可知,有三種可能,在0

(3)當k>0 時,如下圖,也有三種可能,在x>1 處相切時一個零點,在相切與平行x軸之間有三個零點,其余零個零點,以下求相切時的斜率.

同上可得直線y=kx+ 2 與曲線y= lgx(x>1) 相切于點P(t,lgt), 由函數y= lgx得, 由題意可得解得, 所以, 當時,函數f(x)有三個零點,故④正確.

故答案為: ①②④.

評注原函數十分的復雜,難以處理,利用分段函數處理也非常麻煩,但是利用參變分離后的兩個函數相對來說簡單很多,y= |lgx|是一個很常見的函數,y=kx+2 是過定點(0,2)的直線,我們可以直觀的從圖像中觀察出直線斜率對于交點的影響,進而利用導數解決切線問題. 這種化復雜為簡單,化不常見為熟悉的化歸思想,在解決這類問題時十分的有用.

七、教學啟示

(一)體現化歸思想,培養邏輯推理能力

《普通高中數學課程標準》指出,邏輯推理能力的主要表現為:“掌握推理基本形式和規則,發現問題和提出問題,探索和表述論證過程,理解命題體系,有邏輯地表達和交流.”[1]參變分離方法,能培養學生邏輯推理的能力,是化歸思想的體現. 通過觀察、理解問題,對問題進行有條理、合乎邏輯的變形,進而從復雜的思路中找到解決問題的方向.

(二)重視方法本質,突破教學難點

面對一個含參變量的函數,我們使用參變分離方法,能把復雜的函數變成兩個相對簡單的函數. 以上所采用的三種不同的分離方法,大同小異. 至于說哪一種簡單,需要視解題者對每種不同函數的熟悉程度而定. 參變分離的方法能降低運算量,但其教學難點是把一個函數圖像的問題轉變成兩個函數圖像的問題. 在教學中,需要在比較圖像這個地方對學生進行強化突破.

(三)重視方法的使用,培養數形結合能力

任何一種方法, 如果沒有把問題簡單化都不是好方法,參變分離方法也一樣. 我們的著力點是簡化函數,簡化運算.同時,參變分離方法也是數形結合的一種體現,把零點問題,不等式恒成立問題轉化為兩個函數的關系問題. 在處理這一類問題的時候,唯有數與形的完美結合,我們才能找到最簡單的方向,快速有效地解決它. 正因為參變分離方法的實用性和有效性,在平時的教學中,我們應當讓學生能夠熟練掌握這一方法.