函數極值點偏移問題研究綜述

廣東省佛山市華南師范大學附屬北滘學校中學部(528311) 宋 波

函數極值點偏移問題是近幾年高考和診斷考試的熱點,也是高考復習中的重點和難點. 這類試題可以很好的考查考生的推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力,考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想,著力考查邏輯推理、直觀想象和數學運算的核心素養. 但因其綜合性強、難度大,使人望而生畏,本文通過對相關文獻的研究綜述,揭示此類問題的本質,得到構造法是解決此類問題的根本方法.

一、函數極值點偏移的概念

x0是函數y=f(x)在(a,b)上的極值點,設f(x)=0(或f(x) =m) 的根分別是x1,x2(a

從概念可以看出,函數極值點偏移是相對于極值點不偏移而言的,函數極值點偏移時,函數圖象中極值點左右兩側“增減速度”即變化率不同,函數的圖象不具有對稱性.

二、函數極值點偏移的本質

1. 從函數值的增減速度即變化率看:

定理[1]x0是函數y=f(x)在(a,b)上的唯一極值點,當x∈(a,x0)時,f′(x) < 0,當x∈(x0,b)時,f′(x) > 0(函數圖象下凸). 若?x∈(a,b),f′′′(x)>0 (<0),則函數f(x)在(a,b)上的極值點x0向右偏移(向左偏移);當x∈(a,x0)時,f′(x) > 0,當x∈(x0,b)時,f′(x) < 0(函數圖象上凸).若?x∈(a,b),f′′′(x)>0 (<0),則函數f(x)在(a,b)上的極值點x0向左偏移(向右偏移). (可用泰勒中值定理證明,此處不再贅述)

于是, 極值點偏移方向(左偏還是右偏),可用三階導函數f′′′(x)的符號正負來判定: 若f′′′(x) > 0,則極小值點右偏(極大值點左偏);若f′′′(x) < 0,則極小值點左偏(極大值點右偏).

2. 從函數圖象的對稱性看: 當極值點偏移時,函數圖象關于直線x=x0(x0是函數y=f(x)在(a,b)上的極值點)不對稱,此時可構造關于直線x=x0對稱的函數,將自變量轉移到極值點x0同側的單調區間上,再利用函數單調性比較自標量的大小關系.

三、函數極值點偏移問題的解題策略

理解函數極值點偏移的概念,把握函數極值點偏移的本質和精髓,不難發現構造法是解決極值點偏移問題的通性通法,由于問題的背景和結構特征的不同,導致通過構造相應的目標函數或數學模型解決此類問題的具體策略也多種多樣.

1. 構造三階導函數

例1(2016 年高考全國Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

解 析(Ⅰ)a> 0 (過 程 從 略). (Ⅱ) 由f′(x) = (x?1)(ex+ 2a) 得f(x) 在R 上只有一個極值點為1, 當x∈(?∞,1)時,f′(x)<0,當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0(函數圖象下凸). 設x1 0,f′′′(x)=(x+1)ex>0,由本質1 得f(x)在(0,2)上的極值點1 向右偏移,即,得x1+x2<2.

評析構造三階導函數的方法體現了解決函數極值點偏移問題的導數本質,思想深刻,方法程序化、模式化,易操作,是解決極值點偏移問題行之有效的方法.

2. 構造對稱函數

例2題目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(過程從略). (Ⅱ)由f′(x)=(x?1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一個極值點為1,當x∈(?∞,1)時,f′(x) < 0,當x∈(1,+∞)時,f′(x) > 0,所以函數f(x)在(?∞,1)單調遞減,在(1,+∞)單調遞增,則設x1<11,則

所以F(x) 在(1,+∞)單調遞增, 所以F(x) >F(1) = 0,由x2> 1, 則F(x2) > 0, 即f(x2) >f(2 ?x2), 因 為f(x1) =f(x2), 所以f(x1) >f(2 ?x2), 又x1< 1

例3(2022年高考全國甲卷理科第21 題) 已知函數.

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點x1,x2,求證:x1x2<1.

評析從根本上來說,由函數值相等研究自變量的關系,一般說來,等量關系考查對稱性,不等關系則考查單調性,而利用單調性比大小的關鍵在于把變量轉化到同一個單調區間,于是借助對稱構造函數,恰好能實現這一目標. 構造對稱函數是解決形如x1+x2>(<)2x0和類型的極值點偏移問題的通性通法[2-3],它是從“形”的角度解決問題,從函數圖象對稱性的角度反映極值點偏移問題數形結合的本質和精髓. 其解題的一般步驟是:

①求函數f(x)的極值點x0;

②構造對稱函數: 對于x1+x2> (<)2x0類型, 構造F(x)=f(x)?f(2x0?x); 對于, 構造;)0,即f(x)>(<)f(2x0?x)或;

③對F(x)求導判斷F(x)的單調性,證明F(x) > (<

④由x1,x2的范圍,結合f(x1)=f(x2)及f(x)的單調性,確定x1+x2與2x0或x1x2與的大小關系.

3. 分析法

例4題目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(過程從略). (Ⅱ)由f′(x)=(x?1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一個極值點為1,當x∈(?∞,1)時,f′(x) < 0,當x∈(1,+∞)時,f′(x) > 0,所以函數f(x)在(?∞,1)單調遞減,在(1,+∞)單調遞增,設x1<1

欲證明x1+x2< 2, 即證x1< 2 ?x2, 再由x1<1 f(2 ?x2), 由f(x1) =f(x2), 只需證f(x2) >f(2 ?x2), 即f(x2) ?f(2 ?x2) > 0. 令F(x) =f(x)?f(2 ?x) = (x?2)ex+xe2?x,設x> 1,則F′(x)=ex+(x?2)ex+e2?x?xe2?x=(x?1)(ex?e2?x)>0,所以F(x)在(1,+∞)單調遞增,所以F(x) >F(1) = 0,即f(x)>(2 ?x)成立,故x1+x2<2.

評析分析法是證明數學命題的重要方法之一,是探索和解決極值點偏移問題的逆向思維,用分析法解決極值點偏移問題從結論入手持果索因,具有解題方向明確,切入點單一,容易上手的優點,所以處理極值點偏移問題常常用分析法找證明的思路,但運用時應特別注意分析法對表述格式的特殊要求.

4. 構造差值換元

評析對于含指數式的極值點偏移問題, 可以考慮依據已知條件f(x1) =f(x2)列方程組,當原函數中含有參數時通過兩方程作差或求和可消去參數, 將問題轉化為只含x1,x2的雙變量問題,再利用差值換元(即t=x2?x1),構造關于t的不等式和函數,用導數解決問題.

5. 構造比值換元

評析與構造差值換元相仿,對于含對數式的極值點偏移問題,可以考慮依據已知條件f(x1)=f(x2)列方程組,兩方程作差或求和消去參數,將問題轉化為只含x1,x2的雙變量問題,再利用比值換元(即),構造關于t的不等式和函數,用導數解決問題.

不論構造差值換元還是構造比值換元, 都是利用題設條件列出方程組, 通過對兩方程作差或求和得到含參數及x1,x2的方程,利用該方程消參得到只含x1,x2的不等式,消參規避了對參數的分析,簡化了問題,同時從結論入手,結合分析法證明. 而最后構造差值或比值進行換元,其實是一種常見的減元思想,通過換元將雙變量問題成功轉化為單變量問題,進一步簡化了問題. 此解法沒有分析原函數的圖象與性質,而是另辟蹊徑構造了關于參數t的函數進行分析. 這兩種解法的亮點是將雙變量x1,x2轉化為單變量t,但同時也存在一定的局限性,有些題目是無法順利轉化的[4].

6. 構造二次函數

例7題目同例1.

解析(Ⅰ)a>0(過程從略). (Ⅱ)由f′(x)=(x?1)(ex+2a)得f(x)在R 上只有一個極值點為1,當x∈(?∞,1)時,f′(x) < 0,當x∈(1,+∞)時,f′(x) > 0,所以函數f(x)在(?∞,1)單調遞減,在(1,+∞)單調遞增,f(x)的極小值為f(1)=?e,又f(x1)=f(x2)=0,設x1<1

評析從函數圖象軸對稱性的角度,巧妙利用極限點偏移與不偏移時圖象軸對稱性的關系,考慮用常見的二次函數逼近的思想方法來處理極值點偏移問題,可以構造一個極值點與題中函數的極值點重合,且極值相等的二次函數,通過二次函數的軸對稱性,利用兩個函數在極值點兩側的位置關系,就可以解決極值點偏移問題. 構造二次函數逼近的方法體現了極值點偏移問題數形結合的思想,更能貼近學生思維的最近發展區[5],但構造二次函數時,匹配出合適的二次項系數有一定的技巧.

7. 構造對數均值不等式

例8(2010 年高考天津卷理科第21 題) 已知函數f(x)=xe?x(x∈R).

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值;

(Ⅱ)已知函數y=g(x)的圖象與函數y=f(x)的圖象關于直線x=1 對稱,求證: 當x>1 時,f(x)>g(x);

(Ⅲ)如果x1x2,且f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2.

涉及算數平均數、幾何平均數、調和平均數、平方平均數和對數平均數等結構特征的極值點偏移的問題可考慮用對數均值不等式. 在處理原函數中含有e 或lnx的極值點偏移問題時,可通過取自然對數等方法適當變形,將原問題轉化為對數均值不等式模型,是從“數”的角度解決問題. 應用對數均值不等式處理極值點偏移問題,思路簡捷,別具新意,易于理解和掌握[6],是一種行之有效的簡便方法. 但在證明解答題時要先證明對數均值不等式后再應用.

8. 構造齊次式

評析齊次式是代數式中的常見數學形式,“齊次化”是等式和不等式變形過程中特殊且重要的方法之一,構造“齊次化”的思維方法處理極值點偏移問題,可以使復雜的結構形式實現快速轉化,減少運算量,從而通過換元,易于將雙變量問題轉化為一元問題,有利于問題的解決.[7]

9. 構造定積分

例10(2021 年新高考Ⅰ卷第22 題)已知函數f(x) =x(1 ?lnx).

評析定積分雖不是現行高中數學教學的主要內容,但定積分的思想方法是學習高等數學的基礎和重要內容. 對于學有余力的學生,在教學中滲透和應用定積分的知識、思想和方法,有利于培養和提升優生的數學核心素養和綜合能力.[8]

通過構造定積分,利用微積分基本定理對導函數進行積分放縮,是解決和探索極值點偏移問題的新嘗試,具有程序化、模式化的特點,此方法打破常規,另辟蹊徑,別具匠心,是一種特殊的另類做法,是對解決極值點偏移問題方法上的豐富和有益補充.

四、啟示

函數極值點偏移問題因其綜合性強、難度大、方法多樣、不易解決,已成為近些年高考中的壓軸題,是高考考查的重點、難點和熱點. 極值點偏移問題的本質是函數圖象的對稱性破缺,是函數值變化快慢的問題,是導數在函數研究中的具體應用. 查閱相關文獻,對此類問題進行研究綜述,發現構造法是解決函數極值點偏移問題的本質和根本方法,不論是直接構造法、轉化構造法、分析法,還是構造二次函數、對數均值不等式、齊次式和定積分等具體的、別具一格的特殊函數或模型,都要從問題的本質和結構特征出發去合理構造新的函數或數學模型,通過對新函數求導,判斷單調性,從而使問題得以解決.

通常函數極值點偏移問題的基本結構形式有兩種:x1+x2>(<)2x0和,若求證結論不是以上兩種基本結構形式,一般可通過構造、換元等方法化歸轉化為以上兩種形式. 證明時找出問題的結構特征,采用相應的解題策略,引導學生理解掌握極值點偏移的解題策略與通性通法,構造相應的函數或數學模型,將雙變量問題轉化為單變量問題,通過逐步深入的邏輯推理和數據分析、數學運算簡化問題,最后使問題得以輕松解決.

數學是形式化的科學,不同的數學形式有不同的結構特征,不同的結構對應著不同的解題思想方法. 數學解題中,應立足于數學結構,利用結構所呈現的形式、特征與功能,通過對結構的感知、識別、聯想、歸納、類比、轉化、建構等認知方式實現問題解決. 教學中,重視問題的數學結構,從形式和結構著手,選擇適當解題方法,強化通性通法,淡化技巧,有利于優化學生數學思維,提高學生數學解題能力,培養學生數學創造性思維,發展學生的核心素養,提高學生數學素質.[9]