四邊形外接圓半徑問題的探究

2023-06-03 03:32:30華南師范大學數(shù)學科學學院510631鄧清睿韓彥昌

中學數(shù)學研究(廣東) 2023年9期

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 鄧清睿韓彥昌

一、問題背景

外接圓問題是歷年來較為熱門的探究問題, 主要涉及:四點共圓的證明[1]、利用外接圓性質(zhì)處理問題[2-3]以及尋找出或作出輔助圓求解問題[4]. 對四邊形外接圓問題的探究方面,已經(jīng)取得一些研究成果: 圓內(nèi)接四邊形的一個面積公式[5]: 已知四邊形四邊的長度,得到該四邊形面積公式;四邊形外接圓的半徑公式[6]: 已知四邊形四邊的長度,得到其外接圓的半徑公式等.

二、原題呈現(xiàn)與解法

題目1(2022 年“大夢杯”福建省青少年數(shù)學水平測試第7 題)如圖1,ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形, 且AC⊥BD, 若AB= 10,CD= 8, 則圓O的面積為____.

圖1

構(gòu)圖分析對角線互相垂直,一組對邊AB,CD的長度確定(可以想象線段AB的長度固定,A,B兩點分別在對角線CA,BD上滑動)這樣的四邊形不確定,當然面積也不確定. 再附加四點共圓的條件這樣的四邊形唯一. 換一個角度分析: 在半徑大于10 的圓上找兩點A,B,使其弦長為10,過A,B引兩條互相垂直的弦,會產(chǎn)生唯一的圓內(nèi)接四邊形ABCD,當CD=8,外接圓的面積唯一確定.

解法1如圖2,延長AO交圓O于點F,連接BF,記AC與BD交點為E. 因AF為圓O直徑,故∠ABF=90?.由AC⊥BD,則∠AED= 90?= ∠ABF. 由弧AB所對圓周角∠ADB= ∠AFB, 則Rt?ABF∽Rt?AED. 同理可得,Rt?ABE∽Rt?DCE,則. 由于Rt?ABF∽Rt?AED,則,則,則BF=8. 故.

圖2

解法2如圖3, 延長AO交圓O于點F, 連接BF,CF, 記AC與BD交點為E. 則AB⊥BF,AC⊥CF. 由AC⊥BD,則BD//CF,BFCD為圓內(nèi)接梯形,則為等腰梯形,因此BF=DC=8. 故.

圖3

三、推廣結(jié)論

結(jié)論1如圖4,已知AB、CD及對角線夾角∠AFB= 90?, 則四邊形ABCD的外接圓半徑為.

圖4

結(jié)論2如圖5.1 和圖5.2,已知AB、CD及對角線夾角∠AFB=√α(α90?),則四邊形ABCD的外接圓半徑為.

圖5.1

圖5.2

結(jié)論3如圖5.1 和圖5.2,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD,夾角∠AFB=α及外接圓O的半徑r,則.特別地,當α=90?時,.

注記結(jié)論1 是結(jié)論2 和3 的特例. 因此,以下我們只證明結(jié)論2 和3. 結(jié)論2 和3 說明圓內(nèi)接四邊形,固定對角線夾角和四邊形的一條邊,則該圓半徑和這個圓內(nèi)接四邊形一邊的對邊長是個一一映射;進一步地,圓內(nèi)接四邊形,固定對角線夾角和四邊形的一條邊,則圓和這個圓內(nèi)接四邊形也是個一一映射.