關于Ostrowski-Grüss 型不等式的注記

時統業，曾志紅，曹俊飛

（1.海軍指揮學院，江蘇 南京 211800；2.廣東第二師范學院學報編輯部，廣東 廣州 510303；3.廣東第二師范學院數學學院，廣東 廣州 510303）

1 引 言

Grüss 不等式[1]296和Ostrowski 不等式[2]是兩個經典的積分不等式，在數值積分、概率與優化理論、隨機分析、積分算子理論等方面有著廣泛應用.Ostrowski 不等式是利用一階導數的界給出函數值與函數平均值的差的估計.Grüss 不等式利用函數的上界和下界給出Chebychev 泛函的估計.學者們通過使用Grüss 不等式和Ostrowski 不等式得到許多新的結果.Dragomir 和Wang[3]使用Grüss 不等式率先建立了Ostrowski-Grüss 型不等式，我們從中獲得啟示：利用關于Chebychev 泛函的恒等式和不等式，可以建立在不同條件下的Ostrowski-Grüss 型不等式.本文利用預Grüss 不等式和引入參數求最值的方法，給出Dragomir 等[4]建立的一個Ostrowski-Grüss 型不等式的加細.本文還建立了一個新的關于Chebychev 泛函的不等式，并給出其應用.

設函數f、g 和fg 在[a，b]上可積，Chebychev 泛函定義為

1935 年，Grüss[1]296證明了

其中f 和g 在[a，b]上可積，γ1≤f≤Γ1，γ2≤g≤Γ2.

Mati 等[5]證明了

Cerone 和Dragomir[6]稱式（1）為預Grüss 不等式.從Grüss 不等式的證明過程可知有

1938 年，Ostrowski[2]證明了著名的積分不等式

其中f 是[a，b]上的可微函數，對任意x∈[a，b]有

為方便起見，在下文中記

1997 年，Dragomir 和Wang[3]利用Montgomery 恒等式[1]565

和Grüss 不等式首次建立了Ostrowski-Grüss 型不等式

其中函數f 在[a，b]上可微，且γ≤f′≤Γ，f′∈L1[a，b].式（4）包含一階導數f′的上界和下界，這比包含函數的上界更精確.

其中f 在[a，b]上n 階可微，且γ≤f(n)≤Γ，f(n)∈L1[a，b]，

針對在[a，b]絕對連續且導函數屬于L2[a，b]的函數，Barnett 等[9]使用Korkine 恒等式和Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式以及式（2），又改進了Mati 等的結果，得到

另外，2001 年，Cheng[10]將式（4）中的改進為，還證明了若γ≤f′≤Γ 則有

文獻[11-12]給出式（7）的推廣和加強.

Zafar 和Mir[13]使用Korkine 恒等式和Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式推廣了式（6），得到帶有1 個參數的Ostrowski-Grüss 不等式.在特殊情況下得到

Liu[14]利用Dragomir[4]建立的積分恒等式和Sonin 恒等式以及Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式證明了對任意有

Dragomir 等[4]利用積分恒等式

和Korkine 恒等式以及Cauchy-Bunaikowski-Schwartz 不等式推廣了式（9），給出Ostrowski-Grüss 型不等式：

其中

在特殊情況下由式（10）也得到式（8）.

本文建立兩個Ostrowski 型不等式，作為特例，將式（8）中的改進為

本文還得到

其中的界比Zafar 和Mir[13]得到的梯形不等式、中點不等式、平均中點和梯形不等式以及Simpson 不等式的變式中的界都要小.為了證明主要結果，我們需要下面引理.

引理1 設h 和h2是[a，b]上的可積函數，則對任意x∈（a，b）有

T（h，h）≥P2（h；x），

證明 只要注意到

引理即可得證.

下面的引理2 給出預Grüss 不等式（3）的加細.

引理2 設h、h2、g、g2和hg 是[a，b]上的可積函數，則對任意x∈（a，b）有

證明 當T（g，g）＝P2（g；x）時，利用引理1 有

故式（12）成立.下面假設T（g，g）＞P2（g；x）.

利用式（3）有

因為

其中Th（x）＝T（h，h）－P2（h；x），將式（14）、（15）代入式（13）得

其中

為求φ（η）的最小值，求導得

用（－h）替代式（17）中的h 得

由式（17）和式（18）知式（12）成立.

推論1 設h、h2、g、g2和hg 是[a，b]上的可積函數，則對任意x∈（a，b）有

推論2 設h、h2、g、g2和hg 是[a，b]上的可積函數，且g 關于對稱，則有

2 主要結果

定理1 設函數f 在[a，b]上絕對連續，且f′∈L2[a，b]，∈[0，1]，則對任意有

其中V 如式（11）所定義，

證明 對任意常數ε，定義函數

利用式（3）得

因為

其中η＝ε－v（x）.綜合式（20）-（24），對任意常數η 有

φ′（η）＝0 有唯一解η1＝－則φ（η）在η＝η1處有最小值在式（25）中取η＝η1得

綜合式（26）和式（27），則式（19）得證.

注2 比較式（19）和式（10），顯然式（19）的右邊小于或等于式（10）的右邊.

推論3 設函數f 在[a，b]上絕對連續，且f′∈L2[a，b]，∈[0，1]，v（x）、T、L 如定理1所定義，V 如式（11）所定義.若γ≤f′≤Γ，則對任意有

證明 利用絕對值的三角不等式，由式（19）即可得到式（28）的左邊不等式.由乘積型Minkowski 不等式知式（28）的右邊不等式成立.

利用式（2）有

由定理1，式（29）成立.

推論4 設函數f 在[a，b]上絕對連續，且f′∈L2[a，b].T 如定理1 所定義，則對任意有

特別地，若取x＝a，則得平均中點和梯形不等式：

式（30）強于式（8）（文獻[13]推論1 中的不等式（2.10））.

推論5 設函數f 在[a，b]上絕對連續，且f′∈L2[a，b].T 如定理1 所定義，則對任意有

定理2 設f:[a，b]→R，f(n－1)在[a，b]上絕對連續，且f(n)∈L2[a，b]，則有

其中

推論6 設函數f 在[a，b]上絕對連續，且f′∈L2[a，b]，則對任意x∈（a，b），有

其中

證明 在定理2 中取n＝1 即可得證.

定理3 設f 是[a，b]上的絕對連續函數，且f′∈L2[a，b].a≤c＜d≤b.則有

證明 定義核

由文獻[16]中的引理3 和定理2.4 有

經計算可得

在引理2 中取h（t）＝Kc，d（t），g（t）＝f′（t），則式（32）得證.

注5 在定理3 中取c＝x，d→x，可得式（31）.