高逼近階對偶框架的迭代算法

2023-06-02 06:10:03范子寧楊守志

汕頭大學學報(自然科學版) 2023年4期

范子寧，楊守志

（汕頭大學數學系，廣東汕頭 515063）

0 引言

框架的概念最早由Duffin 和Schaeffer[1]在1952 年提出，他們將框架作為研究非調和傅里葉級數的工具.后來，Daubechies 等[2]在1986 年觀察到框架可以通過級數展開來表示L2（R）中的函數.從那時起，人們便開始廣泛且深入地研究框架理論.目前，除了純數學和應用數學之外，框架理論被廣泛應用于其他領域中，例如信號處理[3]、圖像處理、數據壓縮、采樣理論[4]、濾波器組[5]、信號檢測等.特別是在信號分析中，當需要對給定的編碼框架進行解碼時，對偶框架是必不可少的.但是在實際情況下，對偶的計算是不精確的，有時甚至不能給出它的解析表達式.為了解決這個問題，Christensen 和Laugesen 提出了逼近對偶框架的概念[6].逼近對偶框架比典范對偶框架容易構造，且能擁有較好的性質.在應用中，逼近對偶的精度越高，它的逼近效果越好.在文獻[6]中，Christensen 運用Neumann 級數展開理論給出了提高逼近對偶框架逼近階的方法.本文基于Neumann級數展開理論，得到了提升逼近對偶框架逼近階的迭代算法，分別將逼近對偶框架的逼近階提升到O（q2p）階、O（q3p）階，甚至可以到達任意高逼近階.

1 預備知識

定義1.1[7]假設H 是一個可分的Hilbert 空間，是H 中的一個Bessel 序列.如果存在正常數A 和B 使得

定義1.2[7]假設H 是一個可分的Hilbert 空間，Bessel 序列是H 的一個框架，定義一個線性映射T

T 被稱為合成算子.它的伴隨算子T*

T*被稱為分析算子.定義算子S

則算子S 被稱為框架算子.

定義1.3[7]S 為式（4）定義的框架算子，則S 具有以下性質：

（1）S 是自伴算子，即S*＝S；

（2）S 是線性有界且是正的，即AI≤S≤BI，I 是恒等算子；

（3）S 是可逆的，逆為S－1.

定義1.4[7]假設H 是一個可分的Hilbert 空間，分別是H 中的兩個框架，若滿足

則稱框架F 為G 的一個對偶框架.

定義1.5[6]假設H 是一個可分的Hilbert 空間，在H 中有兩個Bessel 序列和，它們的分析算子分別為T 和U.那么定義

則TU*（UT*）稱為混合算子.Bessel 序列是對偶框架當且僅當TU*＝I 或UT*＝I.

定義1.6[6]假設H 是一個可分的Hilbert 空間，在H 中有兩個Bessel 序列和，它們的分析算子分別為T 和U.若滿足條件

或

下面定理告訴我們，逼近對偶框架和對偶框架具有以下關系：

定理1.7[6]假設H 是一個可分的Hilbert 空間，是H 中的一對逼近對偶框架，它們的分析算子分別為T 和U.那么算子UT*可逆；且構成對偶框架.同樣的，也構成對偶框架.

為了提高逼近階，Christensen 在文獻[6]中使用Neumann 級數展開理論，把（UT*）－1gk展成級數：

2 逼近對偶的O（q2p）階迭代算法

在具體應用上，條件I－UT*＜1（或I－TU*＜1）太弱，當范數值趨近于1 時，逼近速度非常緩慢.因此提高逼近對偶的逼近階在實際應用中是非常有意義的.在文獻[8]中，Kloos 提出了求框架算子S 的逆的一種迭代方法.這種迭代方法能很好地提升求逼近框架算子S－1的速度.本文將此想法應用于逼近對偶框架理論中，構造了一些擁有高逼近階的逼近對偶框架的迭代算法.

令θpn＝Jpgn，P 為的分析算子，q＝I－UT*，那么的逼近對偶，也是且有

證明根據Jp的迭代式以及θpn＝Jpgn，可以得到

首先使用數學歸納法證明

假設上式對p＝k∈N 成立，當p＝k＋1 時，有

接下來我們使用數學歸納法證明

假設上式對p＝k∈N 成立，即

當p＝k＋1 時也成立.根據算法，有

根據Neumann 級數展開理論，可以把（UT*）－1寫成下面的形式：

因此有

3 逼近對偶的O（q3p）階迭代算法

基于上面的迭代算法，我們還可以構造逼近階更高的迭代算法.在這個迭代算法下，逼近對偶的逼近階可以達到O（q3p）.

令ζpn＝Rpgn，L 為的分析算子，q＝I－UT*.那么的逼近對偶，且有

證明根據Rp的迭代式以及ζpn＝Rpgn，可以得到