基于模擬退火算法下多位相型達曼光柵分束器的設計

史 發，蔡榮立

(西安工業大學 光電工程學院，西安 710021)

0 引言

Dammann(達曼)光柵[1]是一種具有特殊孔徑函數的衍射結構，可以用于在夫瑯禾費衍射下產生均勻點陣或線陣的結構光的衍射元器件。對其的應用也非常廣泛，在三維測量中，相比于傳統投影結構光，具有衍射效率高、均勻性高與結構光參數易控制等優點[2]，是目前最有效的分束器件，因此受到了廣泛學者們的認可。

針對光柵的應用需求，多數學者們對其進行了更深一步的研究，如最早上海光機所[3]研制出64×64點陣的達曼光柵，J.Jia課題組與周常河課題組[4-7]，對其的設計優化、加工制作與應用都展開了更詳細的說明。從現有研究結果中發現，多數研究都是基于光柵的突變點坐標，利用模擬退火算法對其進行不斷的優化[8-9]，設計出來的結果都是二值振幅型或二值位相型，缺少對每個結構的相位值進行優化設計，優化設計后對于衍射型光柵來說，衍射效率會更高。

針對上述問題，提出了一種基于模擬退火算法下多位相型達曼光柵分束器的設計方法。在傳統二值振幅型達曼光柵的基礎上，將其作為初始結構，采用模擬退火算法對相位結構進行離散、調制后，通過控制評價函數來對最優的設計結果進行評判。為了驗證所提算法的有效性，通過軟件對9×9點陣的Dammann光柵的相位結構進行仿真分析，最后對所計算出來的相位結構進行實驗驗證測試。結果表明，與傳統的Dammann光柵設計方法相比，所提方法具有優越性與有效性，為實際應用中三維測量結構光的產生提供了理論基礎。

1 系統結構及原理

1.1 傳統Dammann光柵設計理論

Dammann光柵是一種具有特殊周期結構的分束型衍射光柵。一般情況下光柵的相位值為二值(其值大小為0或π)[10]，研究計算時對光柵的結構都進行周期歸一化處理。因此在理論分析與結構設計的過程中都是只研究Dammann光柵的一個周期，如圖1所示，為了更直觀的表示出一維Dammann光柵的結構，通過對一個周期內的突變點坐標進行歸一化處理得到如圖1(a)所示的一維Dammann光柵的一個周期內坐標示意圖，然而，二維Dammann光柵的結構很簡單，即是對兩個一維Dammann光柵進行正交合成，即可成為一個位相型Dammann光柵結構，如圖1(b)所示，圖中白色表示透光部分(具體對應的相位值為0)，黑色表示不透光部分(具體對應的相位值為π)，對于二值而言，在合成的過程中應注意正交疊加合成保持二值不變。

圖1 達曼光柵相位結構示意圖

Dammann光柵與其頻譜的分布是完全由設計時光柵結構中所有突變點坐標{aZ，bZ}決定。因為其透過率函數tb(x)具有規律分布的周期性，因此對其進行傅里葉級數展開，展開的結果為：

(1)

式(1)中：n表示對應結果中的不同衍射級次；其每個級次所對應的傅里葉級數為：

(2)

為了提高Dammann光柵的衍射效率，將相位值θφ引入，為了計算方便，用突變點坐標表示光柵的傅里葉系數，其所對應的頻譜函數為：

TG(n)=2Tb(n)sinθφ

(3)

所對應的功率譜即為頻譜的模的平方，因此光柵的各級功率譜為：

G(n)=|TG(n)|2n=-∞，···，∞

(4)

G(0)=G(±1)=···=G(±N-1)=G(±N)

(5)

在上述理論表達式分析完之后，算法為了評價優化結果，要用評價函數對其進行控制，因此定義誤差函數為：

+(1-β)(1-GE)2

(6)

前面所說的計算過程中的目標評價函數、突變點坐標{aZ，bZ}與相位角θφ之間是一個十分復雜的關系，不能用具體的數學模型表達式進行表示，因此才需要采用相關優化算法進行優化無限的逼近，即本文所研究的模擬退火算法。

在優化設計的過程中，溫度的大小與降溫過程會對結果的好壞產生一定的影響，因此所選取的降溫公式為：

(7)

式(7)中參數χ=0.97。初始溫度t0=1 000。

根據上述計算公式，采用模擬退火算法進行不斷優化設計，可以得到最終的突變點坐標集合，即可得到上述光柵的最終結構。設計結果的突變點坐標如表1所示。

表1 突變點坐標設計結果

對于上述突變點坐標，因為是歸一化的設計結果，所有突變點值的范圍是在0～1之間，是相對于一個光柵周期的，具體周期的大小可以根據設計需求確定，由傳統的光柵衍射方程式(8)可知：

dsinθ=mλ

(8)

式(8)中d為光柵的周期，λ為入射光波波長，m=0，±1，±2···，θ為光柵的衍射角，因此周期決定著衍射角，與衍射角呈反比關系。然而，對于達曼光柵分束而言，衍射角決定著輸出點陣點與點之間的間距，衍射角越大間距越小，衍射角越小間距越大，衍射角與點陣間距呈現反比關系，即光柵周期d與點陣中點與點之間的間距呈反比關系。

1.2 改進Dammann光柵設計思路

根據上述理論基礎，在一個二值振幅光柵的基礎上，對一個周期內的相位結構先進行離散，再進行調制。具體離散、調制方法是對選取一個周期的相位結構，采用等間隔分割，分割完后，在分割后的每個小單元的基礎上對其相位值進行改變，改變順序為從下往上、從右往左，離散、調制示意圖如圖2所示。

圖2 優化設計中離散、調制示意圖

在離散的時候，應注意離散過程中是等間隔離散，顯然易知，離散點越多，設計的結果肯定會越好，并且會伴隨著運算量的增大；離散點越少，設計的結果性能會有所降低，但是運算時間會減少，因為模擬退火算法相對于其他算法是一個比較耗時的迭代算法，但該算法的優點是不會陷入局部最優，而是會得到全局最優的結果。因此設計過程中必須考慮到現實加工要求，一個周期的大小與離散點數之比，就是最終光柵的最小特征尺寸，為了設計的結果質量高、加工容易，周期與離散點的選取要有一定的范圍。

在調制的過程中，是對離散后的每個采樣點按照從右到左、從下往上的順序依次調制，也就是利用模擬退火算法進行波動取優。調制過程主要決定了運算速度，因為每一次對每個采樣點進行一次波動都是對模擬退火算法的重復運行。因此所采用的離散與調制在很大程度上面的決定了該算法迭代尋優的計算能力。合理的參數設置，對結果的改進具有很大的意義。

采用模擬退火算法對相位結構進行優化時，算法中最重要的有兩個控制條件需要得到合理準確的設置，隨機擾動和目標函數。隨機擾動是對光柵的相位值進行改變，因為它每次的變化大小會對評價函數有影響，決定著對變化之后結果的取舍。由于設計的Dammann光柵相位結構中，每個小單元的相位值在-π～π之間，所以設置隨機擾動的范圍在相位最大范圍的1%～3%之間即可。因為設置的過大，很難找到最優解，主要原因是在相位值波動的過程中，某個小單元的值變化之后會對分束結果的質量產生很大質的變化，波動之后，算法始終在尋優中不斷徘徊；若設置過小，算法的運算周期會增加，主要原因是每次對每個小單元的相位值進行波動之后，變化量太小，以至于對分束結果的質量影響變化很小，在目標函數的取舍過程中會浪費時間，降低迭代尋優的效率。因此波動范圍的設置也是通過不斷仿真計算實驗得到的結果。目標函數定義為衍射效率和光強不均勻性如式(10)和(11)所示，將其加權后作為目標函數，當目標函數中衍射效率和光強不均勻性同時滿足時，接受其波動后新的相位結構，若有一個不成立，則采用Metropolis[11]準則確定是否接受。

Metropolis準則為：

(9)

式(9)中：k為玻耳茲曼常數；T為絕對溫度；P(ΔE)為小于1的數。用隨機函數產生一個[0，1)區間內的數，與P(ΔE)進行比較，如果P(ΔE)>隨機數，則接收新解，如果小于，則舍去。

Metropolis準則運用在該算法中的具體計算公式為：

(10)

式(10)中：Tk+1為在溫度為T時，迭代次數為k+1時的狀態，fk+1、fk分別為第k+1與第k次Dammann光柵分束結果所對應的評價函數。

設計時采用衍射效率、光強不均勻性與均方根誤差來衡量最終設計結果的好壞，定義的具體計算公式[12]如式(11)所示。

定義衍射效率η為輸出平面所需目標區域內N×N個點總光強與輸出平面目標區域內內所有總光強之比，即：

(11)

式(11)中，Imn為輸出平面目標區域內所有點的光強；Ikl為輸出平面目標區域內N×N個點中第(k，l)個像素點的光強。目標區域是輸出面區域的N×N分布的點陣方形范圍。

定義光強不均勻性rms為輸出平面所需目標區域內各點的最大光強與最小光強之差和最大光強與最小光強之和的比，即：

(12)

式(12)中，Imax、Imin分別為輸出平面所需目標區域內各點的最大光強與最小光強。

定義均方根誤差為輸出結果與理想結果的差異，具體計算公式為：

(13)

式(13)中：I、II分別為實際輸出結果與理想輸出結果，mn為輸出面采樣點數。

具體運用模擬退火算法的計算流程如圖3所示，將初始條件設置為二值振幅光柵的相位結構，在其基礎上對相位結構進行擾動，目標函數為上述衍射效率和光強不均勻性的加權表達式，具體為式(14)所示。

圖3 模擬退火算法流程圖

f=aη+brms

(14)

式(14)中，f為加權后的評價函數，a、b為控制系數，與上述式(6)中α一致，作用就是分別控制光能利用率與光強不均勻性在設計中的不同占比。一般情況下，對光強不均勻性的要求會更高一點，因為光強不均勻性與光能利用率是兩者很難兼得的結果，光能利用率高的話，光強不均勻性就會高，反之一樣。但是一般會在光能利用率可接受的范圍內，盡可能的提高光強均勻性，主要是光強不均勻性對分束結果的質量影響很大，即便是光能利用率低，想提高分束結果的能量可增加入射光的能量大小，但是如果結果中光強分布不均勻的話，質量會有所降低，是很難控制其他條件來對其進行改變的。因此上述系數中b相對于a可能會在值上有較大的差異。

根據上述控制條件進行具體參數的設置，利用模擬退火算法進行優化設計，即可求出Dammann光柵的最優相位結構。

模擬退火算法的計算流程為：

1)首先設置初始參數，如初始溫度、迭代次數、評價函數、退火函數、初始解、波動范圍等。

2)計算出初始解所對應評價函數的值，然后根據上述思路(離散、調制)對初始解中每個像素點的相位值進行相應次數的隨機波動。(波動過程中要注意取舍，每個像素點的相位值不能超過-π～π這個范圍)

3)然后計算波動之后的評價函數，與上一次的評價函數進行比較，若波動之后的解比上一次的解更優，即符合要求，對其接受，將其作為當前狀態下的最優解，若不符合要求，則按照Metropolis準則進行取舍。

4)按照上述的設計思路對每個像素點的相位結構都以此重復波動，直到將一個光柵周期內的每個像素點波動完之后，也就是達到迭代次數之后，計算最終的結果是否為最優的設計結果，若符合對其進行輸出，算法停止，得到最優的設計結果，若不符合則通過退火公式進行一次降溫。

5)按照上述步驟繼續開始下一輪的波動迭代計算，直至達到最優條件，或者達到設置的最終計算條件，輸出最優解。

2 仿真分析

以9×9分束為例，一個光柵的周期大小設為0.375 mm×0.375 mm。將一個周期內離散為30×30個小單元。每個小單元的大小為0.012 5 mm×0.012 5 mm，光柵結構尺寸為15 mm×15 mm。初始結構中對應的一維Dammann光柵歸一化相位突變點坐標為0.188 939 8，0.228 455 7，0.409 849 3，0.556 286 8和0.699 616 4，將其進行正交合成，合成為二維二值振幅光柵，具體的結構如圖4(a)所示。通過算法優化，將迭代最大次數設置為10 000次，每次溫度下的迭代次數為1 000，在迭代次數下，剛好對一個周期內的所有采樣點進行一次算法上的波動取優，最高溫度為1 000 ℃，降溫公式采用為下式(15)所示：

圖4 傳統二值振幅型設計結果

T(k+1)=α·T(k)

(15)

式(15)中：k為迭代次數，α為降溫系數，一般取0.98。降溫公式決定著每一次計算過程中的迭代溫度，溫度主要取決于Metropolis準則對波動解的取舍情況，它對最優解的選取有著直接的決定關系，因此合理的降溫公式對最優結果的尋找由很大的幫助作用，不僅可以提高計算速度，還可以提高最優結果。

經過模擬退火算法設計后，得到達曼光柵的衍射效率為85.3%、光強不均勻性為0.095 2%、均方根誤差為8.2×10-5的設計結果，如圖5所示。

圖5 模擬退火算法后的達曼光柵設計結果

圖4與圖5分別為傳統二值振幅型達曼光柵與經過模擬退火算法后的達曼光柵的設計結果，包括一個周期內的相位結構與分束結果的二維、三維示意圖。經過圖4圖5對比可以看出來，二值振幅型達曼光柵的分束結果中，9×9點陣所對應的81個點的光能值差異很大，能量分布服從sinc函數分布，亮暗不均勻，即光強均勻性很低，并且旁邊還有其他高級次的點，對光能利用率有很大的影響，但是從經過模擬退火算法后的達曼光柵設計結果來看，結果中81個點的光能值非常均勻，其之間的能量相差小于10-4個數量級，因此光強均勻性是非常好的，相對于傳統二值結果而言，雖然旁邊還會有其他級次的點，但是相對于需要的81個點的光強值的很小的，具有很高的光能利用率。

上述設計結果中，傳統二值型達曼光柵的衍射效率為68.43%，光強不均勻性為34.53%，而改進之后的設計結果，衍射效率為85.3%、光強不均勻性為0.095 2%，相對于之前，衍射效率提高了20%，均勻性提高了34%，得到很好的設計結果。可以看出傳統突變點坐標下的達曼光柵，分束結果中，光柵的衍射效率很低，并且均勻性很弱，雖然加工容易方便將兩個一維光柵正交合成即可，但是結果的性能不高，特別是每個點之間的光強均勻性，然而，改進之后的算法設計結果中，衍射效率得到了提高，并且均勻性也得到了提高，對分束結果的質量有很大的幫助。

在計算的過程中，通過觀察衍射效率與光強不均勻性隨計算時間的變化，得到其變化曲線圖如圖6所示，可以看出，起初階段衍射效率是在降低，不均勻性是在增大，是因為起初選取的溫度與隨機波動的變化量相對于所設置的初始解可能與之不匹配，導致算法不但沒有再找最優解而是在破壞所選取的初始解，但是當計算過程中經過某一閾值后，發生了變化，算法開始步入尋找最優解的道路上，計算效率迅速提高，衍射效率逐漸增大，不均勻性逐漸降低，直到達到最優結果，或計算結果趨于某一定值，因為經過一定時間的變化后，當前溫度、當前結構、隨機波動的大小三者重要因素相匹配，算法開始尋優。從計算結果看出最終所用計算時間為4.6個小時。

圖6 衍射效率與不均勻性隨計算時間變化曲線圖

3 實驗驗證與誤差分析

根據設計的結果，對其進行實驗驗證，一般采用加工制作，制作方法常稱為圖形轉移技術。主要有“加法”與“減法”制作工藝，也就是所謂的刻蝕法[13-14]與沉積法[15-16]。但是為了驗證實驗結果，為例減小成本與更方便采用液晶空間光調制器代替加工好的達曼光柵進行實驗驗證。液晶空間光調制器(LC-SLM)[17-21]的工作原理是利用液晶分子所具有的雙折射性，在外加電壓控制之下，通過電壓控制改變不同像元內液晶分子的偏轉來改變液晶材料的折射率，可實現對入射光的調制。最終通過CCD進行采集實驗結果。實驗光路如圖7所示。

圖7 產生結構光實驗光路圖

圖7中采用波長為632.8 nm的氦氖激光器作為實驗光源，再經過擴束準直系統，通過液晶空間光調制器，再通過透鏡將衍射像成在焦平面上，最后用CCD相機進行接收實驗結果。搭建好產生結構光的光路后，通過相關軟件將設計好的達曼光柵的相位結構加載到液晶空間光調制器上，調節相機CCD在透鏡焦平面處進行觀察，并對結果進行采集。

將上述設計的光柵相位結構，進行實驗觀察，得到結果如圖8所示，通過仿真與實驗的對比，此方法設計的相位性光柵，分束效果得到了提高，結果中衍射效率高，均勻性高，對三維測量有很好的應用價值。

圖8 實驗結果9×9點陣光斑(局部放大圖)

將實驗得到的結果進行分析，得到9×9點陣光斑的歸一化光強值為表2所示，測得到衍射效率達到73.5%、光強不均勻性達到10.0%、均方根誤差達到0.255。

表2 設計9×9點陣光斑相對強度

由于實驗是采用液晶空間光調制器代替達曼光柵進行實驗，液晶空間光調制器是通過相位圖的灰度信息控制電壓的變化，然后通過電壓控制液晶分子的變化，進而調制相位，因此就會存在灰度信息與相位信息的匹配問題，在起初使用的過程中需要對其進行校準，兩者之間的差異會對結果的質量產生一定大小的影響。其次，液晶空間光調制器自身的“柵格效應”會產生多級衍射像與零級光斑，因此肯定會對輸出結果的質量產生一定的影響，也就導致上述實驗結果與模擬結果會存在一定的差異，但是實驗結果在誤差允許的范圍內是可以接受的。

4 結束語

本文以相位型Dammann光柵結構作為結構光分束器件，根據傳統二值光柵的結構，對光柵一個周期內的相位分布值進行優化，通過模擬退化算法對其進行離散、調制，來完成對光柵相位結構的優化設計。本文通過上述新的優化相位方法，計算得到理論上的衍射效率為85.3%、光強不均勻性為0.095 2%、均方根誤差為8.2×10-5，且在任意點數的情況下都非常實用。最終對設計結果進行了實驗驗證測試，觀察實驗結果，得到光能均勻分布的9×9點陣光斑。測試得到衍射效率達到73.5%、光強不均勻性達到10.0%、均方根誤差達到0.255。研究結果表明，本方法對分束為任意點數高質量結構光的生成有很大的實用價值，對三維結構光的測量提供了很大的幫助。