基于FOPID+ADRC的永磁同步電機低速控制

馮光權，董 涵，馮浩文

(1.貴州中航電梯有限責任公司，貴州 遵義 563000；2. 湖北汽車工業學院 電氣與信息工程學院，湖北 十堰 442002)

0 引言

永磁同步電機是一種以永磁體為轉子的同步電機，具有高效率、高功率密度、高精度控制和良好的動態響應等優點[1-2]。這種電機在許多領域得到了廣泛應用，例如工業生產、交通運輸、醫療設備和家用電器等[3-4]。近年來，永磁同步電機得到了越來越多的關注和研究。隨著電力電子技術、微電子技術和計算機技術的不斷進步，永磁同步電機的控制性能和應用范圍不斷擴大[5]。同時，由于稀土永磁材料的價格和供應問題，研究人員也在探索新的永磁材料[6]和磁場強度設計[7]方法，以提高永磁同步電機的性能和降低成本。然而，PMSM在運行過程中也存在非線性、不確定性和多變量等問題。因此，研究PMSM控制技術具有重要的背景和意義。

近年來，學術界廣泛關注FOPID控制[8]。FOPID控制將傳統整數階PID控制器擴展到分數階PID控制器，引入FO微分和分數階積分兩個額外參數[9]，從而擴展了系統的動態調節范圍[10]。因此，相比傳統PID，FOPID控制具有更好的控制性能[11-12]。劉紅艷等提出了一種FO模糊ADRC的機械臂軌跡跟蹤控制[13]，實現了FOPID參數的實時優化，提高了系統的整體控制性能。張瑤等提出了HPSO-FOPID算法[14]，解決了機器人焊接過程中焊縫跟蹤性能的問題，孫浩等設計了一種模糊FOPID控制器[15]，利用模糊規則來調整FOPID參數，以提高FOPID控制器的響應速度和魯棒性。

本文提出了一種改進的自抗擾控制器，用于永磁同步電機控制。該方法基于非線性自抗擾控制器的非線性函數，并解決了原點附近的高頻抖振問題[16]。首先，建立了永磁同步電機的動力學方程和數學模型。接著，采用一種新型的非線性函數替代原有的非線性函數。然后，使用模糊控制器對FOPID的參數進行設置[17]。最后，將NLSEF用FOPID代替以提高系統的動態性能[18]。仿真結果表明，改進后的自抗擾控制器比傳統自抗擾控制器在跟蹤精度和抗干擾能力方面表現更好。

1 永磁同步電機轉速環擾動分析

永磁同步電機的運動方程表示為：

(1)

式中，TL為負載轉矩；p為極對數；ωr為電機輸出的角速度；B、J分別為電機的摩擦系數和轉動慣量；b(t)為未知擾動。

根據電機的電磁轉矩方程可得到電機角速度表示為：

(2)

其中：

2 改進ADRC控制器設計

改進ADRC控制器框圖如圖1所示，控制器由三部分組成：1)非線性微分跟蹤器(TD，tracking diferentiator)用于跟蹤信號，包括差分信號；2)擴張觀測器用于觀測系統內部的狀態，估計系統的不可預測狀態；3)FOPID用于將TD和ESO的輸出進行非線性組合，結合擾動提供穩定的輸出信號。

圖1 改進ADRC控制框圖

2.1 微分跟蹤器設計

微分跟蹤器的作用是通過自抗擾控制中的非線性函數將參考信號和輸出信號的差值處理后得到平滑的輸入信號[19]，TD算法表示為：

(3)

式中，v(t)為輸入信號；h為積分步長；r為跟蹤因子；fhan為非線性函數。

其表達式如下：

(4)

TD利用輸入信號的跟蹤和濾波特性，通過安排適當的過渡過程可以有效的緩解設定值突變引起的輸出突變和超調，從而減少響應速度和超調量。

2.2 改進擴張觀測器設計

ESO是ADRC的核心部分，其基本原理是將被控對象的輸出擾動擴展為新的狀態變量，并通過特殊的機制建立反饋[20]。利用ESO可以通過反饋中的補償來估計未知的外部擾動和內部的變化。ESO僅受輸入和輸出信號的影響，并不依賴于被控對象的數學模型。ESO算法表示為：

(5)

式中，ω為輸入信號；e為觀測誤差；Z1為輸入信號的跟蹤信號；Z2為輸入信號的微分信號；Z3為系統擾動的觀測信號；a1，a2，a3為跟蹤因子；δ為濾波因子；β1，β2，β3為ESO輸出誤差校正增益；b0為補償因子；u為系統輸出；fal(e，a，δ)為最優控制函數，其表達式為：

(6)

式中，sgn為符號函數。

由上式可知，δ和-δ是該函數的兩個分段點，對該函數求導可得：

(7)

(8)

在不同分段點上，導數是不同的，因此，原函數在段點處不可導。雖然fal函數在原點和段點是連續的，但它是不可導的，缺乏連續性和平滑性。因此，對fal進行改進，得到新的函數fnal，使其在原點和段點處具有良好的連續性和平滑性。

當|e|<δ時，fnal=psin(e)+qe2+rtan(e)。

這里選擇多項式和三角函數相結合的插值法時因為在fnal函數中δ的值通常小于1，在此區間內，sin(e)的平滑性由于e，tan(e)的收斂性由于e3。

(9)

為了對比fal和fnal的區別，這里取δ-0.01，a=0.25，對比圖如圖2所示。

改進ESO的表達式為：

(10)

2.3 模糊分數階PID控制器設計

FOPID是傳統整數階PID的擴展，其傳遞函數表達式為：

(11)

式中，KP為比例常數；KI為積分常數；KD為微分常數；λ和μ分別為積分項階數和微分項階數。

表1 KP模糊規則表

表2 KI模糊規則表

表3 KD模糊規則表

表4 λ模糊規則表

表5 μ模糊規則表

圖3為KP的隸屬度函數圖，其余4個參數的隸屬度函數圖除論域不同外，其他的都相同。

圖3 KP的隸屬度函數圖

KP，KI，KD，λ，μ根據模糊規則表調整如下：

(12)

2.4 系統穩定性分析

將上述電機模型寫成：

(13)

二階ESO的數學模型為：

(14)

設s1=s，s2=m(t)，w(t)=-m(t)，式(13)可表示為如下表達式：

(15)

設e1=z1-s1，e2=z2-s2，e=e1，則狀態誤差方程為：

(16)

將下列動態反饋補償應用于系統：

U1=U10-z2

(17)

由于ESO采用非線性結構，難以用傳統觀測器設計理論分析。因此，結合自穩定性理論[21]分析本算法的穩定性。

定義以下函數來分析ADRC+FOPID的穩定性：

(18)

(19)

q2i(e1i，e2i)=e2i-e1i+kp1i(e1i)sign(e1i)

(20)

(21)

根據文獻[21]中的自穩定性判斷條件，只需要證明下列條件成立：

(22)

(23)

也就是v1<0時，系統時穩定的。

證明：設

(24)

將式(22)和(23)兩式帶入式(24)當中，可得下式：

(25)

通過上式建立以下表達式：

(26)

當q2i(e1i，e2i)≤p1ie1i時：

Fe1i(e2i-b1e1i)≤Fe1i(-kp1isign(e1i)+p1i)=

F(-kp1i|e1i|+p1ie1i)<-F(k-1)p1i|e1i<0|

至此，系統穩定性證明完畢，系統是穩定的。

3 仿真分析

本文主要研究的是用FOPID+ADRC控制器代替傳統ADRC控制器，將該控制器與PMSM相結合，與ADRC控制器做出對比，驗證其控制精度。在相同的輸入條件下分別對傳統ADRC和ADRC+FOPID進行仿真，驗證所提出的ADRC+FOPID在永磁同步電機中的性能。系統仿真模型如圖4所示。

圖4 系統仿真模型圖

仿真采用的PMSM參數如表6所示。

表6 永磁同步電機參數表

ADRC+FOPID參數設置如表7和表8所示。

表7 ADRC參數設置表

表8 FOPID參數設置表

將所有參數設置完成后，設置仿真時間為0.4 s，進行下列的仿真實驗。

在電機空載時分別設置額定轉速為100 r/min，200 r/min和1 000 r/min進行ADRC+FOPID與ADRC控制效果對比試驗，其轉速控制對比圖如圖5(a)，(b)，(c)所示。

圖5 空載轉速試驗對比圖

由圖5(a)，(b)可以看出，電機在100 rad/min和200 rad/min低速運行時，ADRC+FOPID的超調量、響應速度以及達到穩態的時間均要優于傳統ADRC，由圖5(c)可以看出在1 000 rad/min時兩者的控制效果區別很小，因此可以得出一個結論：ADRC+FOPID在電機低速空載運行時的控制效果要明顯優于傳統ADRC。

在電機空載時進行轉速突變的試驗，分別設置初始轉速為200 rad/min和1 000 rad/min，并在0.2 S后突變為300 rad/min和1 500 rad/min。其轉速控制對比圖如圖6(a)，(b)所示。

圖6 空載轉速突變試驗對比圖

由圖6(a)可以看出在傳統ADRC控制下，電機不能在低速情況下穩定運行，而ADRC+FOPID則可以使電機穩定運行，且具有良好的轉速跟蹤特性。由圖6(b)可以看出電機在高速運行時，ADRC+FOPID只是略優于傳統ADRC，都能使得電機穩定運行，且都具有良好的轉速跟蹤特性。因此可以得出一個結論：當電機低速運行時：ADRC+FOPID相比于傳統ADRC具有良好的控制效果和穩定的跟蹤性能，但在高速運行時兩者的控制效果相差甚微。

在電機空載時進行加載試驗，給定初始轉速分別為200 rad/min和1 000 rad/min，并在0.2 S時加上10 N·m的負載，得到圖7(a)，(b)所示的轉速控制對比圖。

由圖7(a)可以看出，電機在200 rad/min低速運行時，當受到干擾后，傳統ADRC并不能使得系統恢復穩定，而ADRC+FOPID能夠使得系統快速恢復穩定運行。由圖7(b)可以看出，電機在1 000 rad/min高速運行時，兩種控制方法均能在系統受到干擾后恢復穩定，但ADRC+FOPID的恢復速度要由于傳統ADRC。因此可以得出一個結論：ADRC+FOPID的魯棒性和抗干擾能力要優于傳統ADRC。

4 結束語

本文以PMSM為研究對象，設計了一款ADRC+FOPID控制器，該控制器由三部分組成：TD，ESO，FOPID。ESO中新的函數改善了原點的連續性和平滑性，TD改善了信號的過渡過程，FOPID改善了系統的控制效果。將該控制器與傳統的ADRC控制器進行對比試驗，驗證其控制效果。結果表明，在電機低速運行時，ADRC+FOPID的跟蹤效果，響應速度，魯棒性及抗干擾能力均要優于傳統ADRC，但在電機高速運行時，控制效果只是略優于傳統ADRC。后續將針對電機在高速運行的控制效果對控制器進行相應的改善和調節。