基于龍貝格觀測器的永磁同步電機滑模控制

程 勇,王耀輝,李 聰,賀虎成

(西安科技大學電氣與控制工程學院,陜西 西安 710600)

1 引言

隨著控制理論、永磁材料和電力電子技術的發展,永磁同步電動機(PMSM)以其高功率密度和高效率的優良性能廣泛應用于工業領域[1,2]。目前在永磁同步電機調速系統中應用最普遍的是比例積分控制(proportion integral,PI),該方法具有算法簡單、適應性強和可靠性高等優點,但是永磁同步電機調速系統存在負載擾動和參數變化的問題,一般的PI控制很難滿足高性能的控制要求[3]。

由于滑模控制(Sliding mode control,SMC)具有動態響應快、實現簡單、對參數變化和擾動具有較強的魯棒性等優點,因此該方法在永磁同步電機調速系統中得到了越來越多的應用[4,5]。但是滑模變結構控制的強魯棒性是通過增大切換增益來實現的,較大的切換增益會導致滑模的抖振現象,在提高滑模魯棒性的同時,如何降低滑模抖振是滑模控制研究的重點[6]。為了降低滑模變結構的高頻抖振,研究人員提出了很多方法,其中包括采用連續函數或飽和函數代替切換函數;設計新型趨近律降低抖振;使用干擾觀測器消除干擾降低抖振等方法[7-9]。文獻[10]為了減小負載轉矩對系統控制性能的影響,提出了負載轉矩滑模觀測器,對轉矩負載進行觀測和補償,并具體分析了觀測器對降低抖振的作用,該方法通過降低滑模切換函數項的幅值,有效的抑制了抖振提高了系統的魯棒性。文獻[11]針對滑模控制器受轉矩變化影響引起穩態誤差和抖振的問題,結合觀測器和積分滑模面設計了積分滑模變結構控制器,通過引入龍貝格觀測器對系統摩擦轉矩和負載轉矩進行觀測并補償,利用狀態量的積分量消除穩態誤差,該方法具有響應速度快超調量低的優點,系統的抗擾性能也有所提高。文獻[12]在積分滑模的基礎上設計了擴張狀態觀測器,通過觀測器對系統的參數變化和負載轉矩進行補償,同時為提高系統的動態性能在設計積分滑模面時引入比例項,該方法提高了系統的動態性能。文獻[13]針對滑模控制器輸出存在高頻抖動的問題,利用低通濾波器結合滑模的方案,使用趨近律設計滑模控制律,該方法有效減小了滑模抖振提高了系統跟蹤精度。上述文獻為改善PMSM的調速系統性能采用了多種方法。

為了提高PMSM調速系統在負載轉矩變化和受擾動時的抗擾性能和跟蹤精度,本文設計了一種基于龍貝格觀測器的滑模控制方法。首先結合低通濾波器和滑模控制,使用趨近律對滑模控制器進行設計,滑模控制器對轉矩變化和未知擾動有強魯棒性,濾波器可以降低滑模控制器的輸出波動;利用龍貝格觀測器對負載轉矩變化和未知擾動部分進行觀測和補償,通過對擾動的補償有效降低了切換函數的幅值,進一步提高了滑模控制器的控制精度;最后用連續函數作滑模的切換函數,使滑模的切換過程更加平滑。系統仿真結果表明,該方法不僅具有響應快、超調小、魯棒性強的特點,系統控制精度也有所提高。

2 PMSM數學模型

為了簡化分析,假設定子磁場在空間中呈正弦分布,感應電動勢為正弦型,并且不考慮磁場飽和;忽略鐵心渦流效應與磁滯損耗;忽略電機參數變化;在同步旋轉坐標系下,表貼式永磁同步電機的d、q軸數學模型可以表示為

(1)

式中:id和iq表示d、q軸定子電流分量,ud和uq為d、q軸定子電壓分量;RS、LS分別為電機的定子電阻和定子電感;ω、ψf分別為轉子電角速度和電機永磁體磁鏈。

PMSM的運動方程表示為

(2)

式中:J為轉動慣量;Te為電磁轉矩;TL表示負載轉矩;B為摩擦系數。

PMSM的轉矩方程表示為

(3)

式中a=1.5pψf,p為永磁同步電機的極對數。

考慮到實際電機控制中,受位置檢測、電流檢測等干擾影響[14],電機實際轉速與實際電流的關系可表示為如下形式

(4)

式中Δid、Δω分別表示電流值、轉速值與檢測值的誤差。

PMSM的運動方程可重新表示為

(5)

式中σ為未建模擾動,將轉速和電流檢測誤差項以及未建模擾動項作為未知部分進行處理,未知部分為

3 滑模控制器設計

3.1 傳統積分滑模控制器設計

選取PMSM系統的輸出誤差為狀態變量,電磁轉矩為輸入變量。

x1=ωref-ω

u=Te

(6)

式中ωref為轉速參考值,ω為轉速真實值。

由電機運動方程和式(5)得到速度控制系統的狀態方程

(7)

積分滑模面表示為

(8)

式中k1>0,k2>0分別為滑模面的比例系數和積分系數,積分項的使用可以減小穩態誤差。

本文選擇變速趨近律,表達式為

(9)

式中ε為切換增益。

(10)

根據趨近律和式(10)得到積分滑模的控制律

(11)

3.2 基于低通濾波器的滑模控制器的設計

3.2.1 滑模控制器設計

由于滑模控制器固有的抖振會影響輸出精度,為降低滑模輸出量的波動,通過在滑模控制器輸出端加入低通濾波器對輸出信號進行平滑濾波,減小系統輸出的波動[6];基于低通濾波的滑模控制器結合了濾波器的優點,該系統結構如圖1所示。

圖1 基于低通濾波器的滑模控制系統結構

圖1中u為滑模控制器輸出,τ為實際控制輸入,低通濾波器的傳遞函數為

(12)

式中λ為截止頻率,λ>0。

根據圖1將式(5)寫為如下形式

(13)

式中d=(TL+Bω+f(iq,ω))/J為系統中的未知部分,τ=aiq/J為控制器輸出量。

由圖1和式(12)可得

(14)

選取永磁同步電機的狀態變量為

(15)

為了保證系統對給定值的快速響應,設計滑模面為

s=x1+cx2

(16)

式中c>0。

(17)

根據變速趨近律和式(17)得到滑模的控制律為

(18)

3.2.2 滑模控制器穩定性分析

定義Lyapunov函數V

(19)

對式(19)求導,并將式(18)代入可得

(20)

同時在切換函數中使用連續函數sat(s)代替開關函數sign(s)。

(21)

式中φ為一個很小的正數,連續函數sat(s)比開關函數sign(s)的切換過程更平滑,因此通過對φ的合理取值可以進一步減小抖振。

3.3 龍貝格觀測器的設計

根據滑模的穩定條件可知,滑模的切換增益必須足夠大,以此來消除未知部分變化對控制器性能的影響,但較大的切換增益會帶來抖振,進而影響輸出量的精度。因此,本文利用龍貝格觀測器對未知部分進行觀測并補償,通過對擾動部分的補償可以減小滑模切換函數的增益,對抑制抖振和提高控制精度有利。

將式(13)的狀態方程重新定義為

(22)

式中b=a/J。根據上式寫出系統狀態方程

(23)

根據現代控制理論能觀性分析,式(23)的系統狀態方程滿足能觀條件,根據系統方程建立龍貝格觀測器

(24)

由式(22)和式(23)得到觀測器的跟蹤誤差方程為

(25)

上式中e為估計誤差。當選擇合適的反饋系數時,(A-LC)的特征值均具有負實部根,觀測誤差漸進地趨近于零,即觀測值趨近于實際值。

利用觀測器的估計值對未知項進行補償得到滑模控制器的輸出量為

τout=τ+

(27)

將式(27)代入式(13)中可以看出未知部分變為(d-),同時(d-)趨近于零,因此加入觀測器有效的減小了未知擾動部分的幅值,降低了對切換函數增益的要求。當系統狀態運動到滑模切換面時,系統狀態慣性較小,滑模的抖振減小,控制精度得到提高。

4 仿真分析

為驗證所低通濾波滑模控制器和龍貝格觀測器前饋補償方案的有效性,本文基于Matlab/Simulink搭建了PI控制、積分滑模控制以及本文所提出的方法的仿真模型進行了比較。低通濾波滑模控制器系統結構如圖2所示。

圖2 基于低通濾波器的滑模控制系統結構

仿真中電機參數:額定功率PN=2.7kW;額定電壓Vdc=220V;定子dq軸電感Ldq=8.5mH;定子電阻RN=2.875Ω;極對數np=4;轉動慣量J=0.008kg·m2;磁鏈ψf=0.175Wb。

圖3和圖4給出了在電機在負載突變情況下的轉速波形。仿真中給定的初始速度為1000r/min,負載轉矩的初始值TL=5N·m,t=0.3s時負載轉矩增加到10N·m,在t=0.6 s時電機轉矩負載降到5 N·m。

圖3 電機轉速響應波形

圖4 負載變化轉速響應波形

圖3為電機的轉速波形,對比轉速上升時的積分滑模控制和PI控制,本文設計的方法比積分滑模和PI控制具有更快的響應速度,同時超調量也小于積分滑模和PI控制。

圖4為0.3 s和0.6 s負載突變時的轉速波形,可以看出在突加和突減負載時,PI恢復時間為50ms,轉速超調為5r/min;積分滑模恢復時間為20ms,轉速超調為5r/min。本文設計的方法恢復時間為20ms恢復到給定值,轉速超調為3r/min。本文設計的方法由于擾動補償的作用,在負載突變時,轉速波動更小,調節時間更短,抗擾性能得到提高。

圖5為q軸電流波形,在啟動階段本文設計的方法電流響應時間為30ms,積分滑模和PI的響應時間分別為35ms和55ms;在負載突變情況下本文設計的方法響應時間為8ms,積分滑模和PI的響應時間分別為10ms和20ms。本文設計的方法在啟動和負載突變時響應速度更快。

圖5 負載變化時q軸電流波形

圖6為控制器輸出波形,虛擬輸入即滑模控制器輸出u,實際輸入即經濾波器輸出τ,在轉矩變化時u和τ的響應時間約為10ms左右,經濾波后輸出量的超調和諧波明顯降低,控制精度得到提高。

圖6 滑模控制器輸出波形

圖7為滑模運動的相軌跡,本文設計的方法在啟動時,系統狀態沿軌跡1收斂于滑模面。在突加和突減負載時,系統狀態分別沿軌跡2和軌跡3離開滑模面后重新收斂到滑模面,由圖7知結合低通濾波的滑模控制方法在不同條件下能夠收斂,且系統狀態接近滑模面時會產生抖振。

圖7 滑模運動相軌跡

圖8為觀測器的擾動估計波形,圖9為加擾動補償和未加擾動補償的轉速誤差波形。仿真中電機空載啟動,初始速度為1000r/min,t=0.3 s時負載轉矩增加到10 N·m,在t=0.6 s時電機轉矩負載降到5 N·m。

圖8 負載轉矩變化時觀測值與給定值波形

圖9 加轉矩補償與未加補償的轉速誤差波形

由圖8知,電機在啟動過程估計值經過30ms趨近于實際值,在穩態運行時突加或突減負載,觀測器經過10ms左右趨近于擾動值,由仿真結果可知觀測器可以準確地跟蹤擾動值的變化,且收斂速度較快。

由圖9可知,本文設計的方法在未加擾動補償的情況下,負載突加到10 N·m時轉速誤差為5r/min負載突減為5 N·m時轉速誤差為2.5r/min,加入擾動補償后,由于擾動前饋補償的作用,在轉矩突變時轉速誤差為零,轉速受負載擾動的影響減小,有效抑制了轉矩變化引起的控制精度降低,系統的抗擾性得到提高。加擾動補償與未加補償的轉速誤差波形響應速度近似,由于觀測器在響應過程中存在誤差,加擾動補償的滑模控制在啟動和負載突變時存在一定的轉速超調。對比PI控制和積分滑模控制,本文設計的方法方法在動態和穩態性能方面綜合表現最優。

5 結論

針對永磁同步電機負載轉矩變化和未知擾動引起控制性能降低的問題,本文結合低通濾波器和滑模控制的方法設計了滑模控制器,利用滑模控制器響應速度快抗擾性強的優點,同時使用龍貝格觀測器對負載轉矩和未知擾動進行觀測和補償,在提高系統抗擾性能的同時降低了切換函數的幅值,削弱了滑模的抖振。仿真結果表明本文所采用的方法在響應速度和跟蹤精度方面均取得了良好的效果,系統的魯棒性得到提升。