核磁共振陀螺橫向補(bǔ)償磁場優(yōu)化設(shè)計(jì)

明澤額爾頓, 岳亞洲, 李 攀, 雷 興, 張 昊

(西安飛行自動(dòng)控制研究所,陜西 西安710065)

0 引言

核磁共振陀螺(NMRG)是一種利用核磁共振原理工作的全固態(tài)陀螺儀[1-3],沒有運(yùn)動(dòng)部件,性能由原子材料決定,理論上動(dòng)態(tài)測量范圍無限,綜合運(yùn)用了量子物理、光、電磁和微電子等領(lǐng)域中的技術(shù),是未來陀螺儀發(fā)展的新方向[4-6]。

原子自旋可在慣性參考系中保持其初始指向,類似于傳統(tǒng)機(jī)械陀螺中的轉(zhuǎn)子,所以原子自旋也可用于敏感轉(zhuǎn)動(dòng)。20世紀(jì)60年代,歐美國家已開始研究核磁共振陀螺。1979年,Litton公司和Singer-Kearfott公司分別開發(fā)了核磁共振陀螺原型機(jī),均達(dá)到了導(dǎo)航精度[7-8],雖然結(jié)果較好,但核磁共振陀螺項(xiàng)目仍在其潛力被完全認(rèn)識(shí)前中止了,因當(dāng)時(shí)認(rèn)為激光陀螺技術(shù)更有前途。

核磁共振陀螺通過檢測磁場中原子核自旋進(jìn)動(dòng)頻率的改變確定載體角速度,工作原子通常約束在由耐堿金屬腐蝕的玻璃制成的氣室內(nèi)。陀螺所涉及的磁場包括縱向靜態(tài)磁場和橫向振蕩磁場,原子核自旋繞靜磁場進(jìn)動(dòng),振蕩磁場頻率與原子核進(jìn)動(dòng)頻率相同。在進(jìn)行陀螺設(shè)計(jì)時(shí),必須保證靜態(tài)磁場縱向分量在氣室范圍內(nèi)均勻分布,橫向分量近似為0;振蕩磁場橫向分量在氣室范圍內(nèi)均勻分布,縱向分量近似為0。從陀螺原理可看出,核磁共振陀螺的陀螺精度與靜磁場的均勻性、穩(wěn)定性密切相關(guān)。

在典型的實(shí)驗(yàn)室磁場(1～10 T)中,大多數(shù)核自旋相應(yīng)的拉莫爾頻率在10～100 MHz內(nèi)[13-17],此值必須與用核磁共振陀螺檢測的典型旋轉(zhuǎn)速度匹配,以地球自轉(zhuǎn)速率ωearth=7.27×10-5rad/s為參考,此旋轉(zhuǎn)速率約比典型實(shí)驗(yàn)室中的普通拉莫爾頻率小12～13個(gè)數(shù)量級。如果核磁共振陀螺需要檢測出低于地球自轉(zhuǎn)3～4個(gè)數(shù)量級的角速度,則靜磁場數(shù)量級要求更低。為保證靜磁場的穩(wěn)定性,即使對陀螺進(jìn)行了磁屏蔽,磁屏蔽罩內(nèi)的電路、引線、線圈仍會(huì)產(chǎn)生雜散磁場干擾到凈磁場的穩(wěn)定性。所以需要對陀螺進(jìn)行磁補(bǔ)償。

1 核磁共振陀螺橫向磁補(bǔ)償系統(tǒng)

核磁共振陀螺的磁補(bǔ)償系統(tǒng)通常可分為被動(dòng)磁屏蔽和主動(dòng)磁補(bǔ)償兩部分。被動(dòng)磁屏蔽主要通過磁屏蔽裝置,一般可實(shí)現(xiàn)5～6個(gè)數(shù)量級的屏蔽系數(shù)[18],但這比導(dǎo)航級核磁共振陀螺要求(10-15T)少4個(gè)數(shù)量級,需通過主動(dòng)磁補(bǔ)償進(jìn)行反饋抑制。

在敏感軸方向,采用雙核素可實(shí)現(xiàn)z軸雜散磁場的提取,根據(jù)雜散磁場的大小在靜磁場線圈施加補(bǔ)償磁場電流,從而實(shí)現(xiàn)縱軸磁場的補(bǔ)償。橫向磁場補(bǔ)償則需在縱軸施加載波磁場,并對探測信號(hào)進(jìn)行解調(diào),得到2個(gè)方向的雜散磁場,之后通過橫向補(bǔ)償線圈進(jìn)行補(bǔ)償。

一般由于靜磁場均勻性與陀螺性能高度相關(guān),在核磁共振陀螺設(shè)計(jì)中會(huì)優(yōu)先保證靜磁系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。而橫向補(bǔ)償線圈由于重視性不夠及結(jié)構(gòu)和體積的限制,很難實(shí)現(xiàn)高均勻度的要求。

目前,由于多數(shù)核磁共振陀螺采用圓柱體設(shè)計(jì),磁屏蔽罩為圓柱形,為便于安裝調(diào)試,橫向補(bǔ)償線圈設(shè)計(jì)為馬鞍形亥姆霍茲線圈。

1.1 馬鞍形亥姆霍茲線圈

馬鞍形線圈的結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中,I為線圈電流,L為線圈長度,W為線圈寬度,D為線圈間距,R為弧形線圈的半徑,Θ為弧形線圈對應(yīng)的圓心角。經(jīng)過簡單計(jì)算可得:

圖1 馬鞍形亥姆霍茲線圈

W=2Rsin(Θ/2)

(1)

D=2Rcos(Θ/2)

(2)

為便于計(jì)算,可將鞍形線圈拆為兩部分,一部分包含4根直導(dǎo)線,另一部分包含4個(gè)弧形線圈。

1.2 4根直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場

考慮無窮長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場。設(shè)一點(diǎn)P,其與導(dǎo)線的垂直距離為r0,向直導(dǎo)線引垂線,垂足為O,如圖2所示。

圖2 直線電流的磁場

根據(jù)畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律,任意電流元Idl(其中,l為電流元到O的距離)在點(diǎn)P產(chǎn)生的磁場垂直紙面向里,其大小為

(3)

式中:μ0為真空電導(dǎo)率;B為磁感應(yīng)強(qiáng)度;θ為電流元Idl到點(diǎn)P的連線與導(dǎo)線間的夾角;r為點(diǎn)P與電流元Idl的間距。從而可以得到有限長度導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(4)

式中θ1,θ2分別為P點(diǎn)到導(dǎo)線兩端的引線與導(dǎo)線所成的夾角。

考慮4條直導(dǎo)線的合磁場,在z軸上任選一點(diǎn)P(0,0,Z),此時(shí)P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度如圖3所示。其中Bzi為第i條導(dǎo)線在P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

圖3 4條直導(dǎo)線的合磁場

利用式(4)可得P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(5)

式中Z為點(diǎn)P在z軸上到中心點(diǎn)的距離。將式(1)、(2)代入式(5)可得:

(6)

對于x方向,由于直導(dǎo)線與x軸平行,在該方向不產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度,所以Bx=0;對于y軸方向,由圖3可看出,4根直導(dǎo)線在y軸方向產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度相互抵消,所以By=0。

1.3 4根弧形導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場

載流環(huán)形線圈如圖4所示。以線圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,x軸與線圈平面垂直,電流I以逆時(shí)針方向繞x軸旋轉(zhuǎn)。根據(jù)畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律,任一電流元Idl在點(diǎn)P形成的磁場可表示為

圖4 環(huán)形電流磁場

(7)

式中:r為元電荷指向點(diǎn)P的矢量;μ0為真空電導(dǎo)率。

由式(7)可得:

(8)

對于弧形導(dǎo)線,計(jì)算方法與其類似,由此可得:

(9)

圖5為4根弧形導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場。對于圖5所示的4根弧形導(dǎo)線有:

圖5 4根弧形導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場

(10)

1.4 馬鞍形線圈產(chǎn)生的磁場

馬鞍形線圈產(chǎn)生的磁場為

(11)

利用Matlab 進(jìn)行仿真可得橫向磁場線圈的初步設(shè)計(jì)結(jié)果:I=0.2 A,R=85 mm,L=73.7 mm,Θ=45°,取氣室尺寸范圍內(nèi)計(jì)算磁場非均勻性指標(biāo)δ=0.009 5,沿z軸的磁場如圖6所示。

圖6 線圈初步設(shè)計(jì)

2 線圈優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 參數(shù)分析

本文對馬鞍形線圈的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。首先固定其他尺寸,改變半徑R,以確定R對磁場非均勻性δ的影響,如圖7所示。由圖可看出,大趨勢上磁場非均勻性δ隨R增加而逐漸減小。

圖7 R對磁場均勻性的影響

固定其他尺寸,改變線圈長度L,以確定L對磁場非均勻性δ的影響,如圖8所示。由圖可看出,磁場非均勻性δ在L=14 mm處達(dá)到極大值,隨后逐漸減小,直至L≈300 mm,隨后趨于振蕩。

圖8 L對磁場均勻性的影響

固定其他尺寸,改變角度Θ,以確定Θ對磁場非均勻性δ的影響,如圖9所示。由圖可看出,磁場非均勻性δ隨Θ增加而逐漸減小。

圖9 Θ對磁場均勻性的影響

2.2 參數(shù)優(yōu)化

綜上分析可看出,弧形線圈半徑R、線圈長度L、弧形線圈張角Θ都會(huì)影響橫向補(bǔ)償線圈的磁場均勻性,可通過回歸分析的方法建立上述參數(shù)與橫向補(bǔ)償線圈的磁場均勻性之間的回歸關(guān)系。

為降低計(jì)算量并提高回歸精度,考慮到使用簡單的一次回歸正交設(shè)計(jì)不能得到滿意的結(jié)果,故采用最優(yōu)近似飽和設(shè)計(jì)進(jìn)行二次回歸。取R、L、Θ作為3因子,采用最優(yōu)近似飽和設(shè)計(jì)(R311D)進(jìn)行回歸設(shè)計(jì),各因子的編碼自變量(xi)的設(shè)計(jì)水平j(luò)和實(shí)際自變量(zi)的實(shí)際水平如表1所示。

表1 最優(yōu)近似飽和設(shè)計(jì)試驗(yàn)因子及水平

表1中,±2水平代表設(shè)計(jì)指標(biāo)的上下限。本文由于考慮到實(shí)際陀螺結(jié)構(gòu),R至少大于陀螺光具座的半徑,但不超過光具座半徑的1.2倍;L不大于光具座總長。考慮到實(shí)際加工的難度,要求10°≤Θ≤175°。實(shí)施水平間距Δi為

(12)

設(shè)計(jì)水平j(luò)對應(yīng)的實(shí)際水平為

zji=z-1i+Δi(xji-x-1i)

(13)

具體數(shù)值如表1所示。使用Matlab進(jìn)行仿真計(jì)算,以產(chǎn)生磁場的非均勻性指標(biāo)δ為判定條件,得到結(jié)果如表2所示。

表2 試驗(yàn)方案及結(jié)果

使用下列模型進(jìn)行二次回歸:

(14)

式中:n為自變量的數(shù)目;b0為回歸方程的常數(shù)項(xiàng);bi為一次項(xiàng)的偏回歸系數(shù);bij為二次項(xiàng)的偏回歸系數(shù)。

使用Minitab進(jìn)行多輪數(shù)學(xué)回歸。若數(shù)學(xué)回歸的結(jié)果中有系數(shù)未達(dá)到顯著水平(p<0.05),將其并入誤差項(xiàng)繼續(xù)進(jìn)行回歸,直到得到最終的回歸方程。

對于磁場參數(shù)y(磁場的非均勻性指標(biāo)δ),從最終回歸的方差分析表(見表3)可看出,回歸達(dá)到極顯著水平(F>F0.01(3,7)=8.45),回歸方程的復(fù)相關(guān)系數(shù)Rsq=0.957;偏回歸t檢驗(yàn)中,所有系數(shù)均達(dá)到極顯著水平(p<0.01),如表4所示。

表3 試驗(yàn)方差分析

表4 偏回歸系數(shù)b的t檢驗(yàn)

回歸方程為

y=0.006 46-0.000 527x1-

0.000 509x2-0.002 98x3

(15)

使用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化可得到最優(yōu)點(diǎn)位于(-0.489,1.841,1.94)水平,對應(yīng)R=91.42 mm,L=77.62 mm,Θ=172.53°,此時(shí)回歸結(jié)果為δ=3.62×10-10,仿真結(jié)果為δ=6.49×10-4,產(chǎn)生的軸向磁場如圖10所示。調(diào)整I=0.084 8 A,方便與優(yōu)化前對比。圖11為優(yōu)化前后橫向補(bǔ)償線圈的磁場分布。由圖可看出,線圈均勻性顯著提高。

圖11 優(yōu)化前后橫向補(bǔ)償線圈的磁場分布

3 結(jié)束語

作為一種新型微型陀螺儀,隨著微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)技術(shù)和微型原子器件的發(fā)展,核磁共振陀螺儀有望在中高精度導(dǎo)航和制導(dǎo)領(lǐng)域得到應(yīng)用,其潛在應(yīng)用方向包括小型飛行器、無人飛行器、無人水下潛艇、地面車輛及戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈等。

本文從核磁共振陀螺磁場分布的理論分析出發(fā),通過數(shù)學(xué)計(jì)算和計(jì)算機(jī)仿真分析研究了橫向磁補(bǔ)償線圈的磁場分布,并對橫向磁補(bǔ)償線圈進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)的核磁共振陀螺橫向磁補(bǔ)償系統(tǒng)磁場均勻性較優(yōu)化前提高近13倍,滿足核磁共振陀螺的使用需求。該工作為核磁共振陀螺儀設(shè)計(jì)和制造提供了一定的理論依據(jù)和參考價(jià)值。