基于平滑S形曲線的永磁球形電機軌跡規劃

駱成路,王群京,4,武思傲,李國麗

(1. 安徽大學電氣工程與自動化學院,安徽 合肥 230601;2. 高節能電機及控制技術國家地方聯合實驗室,安徽 合肥 230601;3. 工業節電與用電安全安徽省重點實驗室,安徽 合肥 230601;4. 工業節電與電能質量控制安徽省級協同創新中心,安徽 合肥230601)

1 引言

永磁球形電機是一種能夠實現三自由度運動的電磁執行裝置,它因具有體積小、精度高、結構新穎的優點而備受諸多領域所關注[1-3]。

在球形電機軌跡規劃領域,天津理工大學的吳鳳英等人利用不同算法針對轉子在給定軌跡下的最短運行時間和加速度沖擊做了運動學上的優化[4,5],但是其提出的算法并未考慮電機轉子體動力學因素對其運行軌跡造成的影響。安徽大學的李紳采用三次樣條插值的方法實現了球形電機的連續軌跡規劃,并利用基于正弦加速度的點對點規劃算法推導出對應的通電控制策略[6],但該策略并未考慮轉子運行時的速度特性。Cheon H, Wang L等人研究了多自由度機器人與機械臂在三維空間中的軌跡規劃算法[7,8],為球形電機的軌跡規劃提供了一定理論基礎。

S形曲線的軌跡規劃算法最早應用在數控機床的控制中,該算法最顯著的特點是對應的加減速曲線形如字母S形的走勢,平滑的速度規劃方式使得系統在運行時更加具有柔性,但其階躍變化的加加速度仍然會對系統造成一定的沖擊,從而引起機床的振動影響控制精度[9]。在S形曲線的應用領域,Chen Qizhi,Zhe Liu等人推導了S形曲線的加減速原理,利用S形曲線平滑連續的特性實現了其在數控系統領域中的高精度控制[10,11]。Fang, Yi和Fang, SX利用分段連續的加加速度算法改進了S形加減速曲線,進而提高了工業機器人在運行過程中的柔性[12,13],為改進S形曲線在球形電機中的應用提供了理論依據。

本文提出了的軌跡規劃方法創新點在于,將S形曲線與球形電機轉子動力學模型結合,相比與文獻[4,5],實現了其在球形電機動力學層面上的應用;利用正弦函數無限可導的特點擬合改進S形曲線,相比與文獻[9],使球形電機輸出速度呈現S形的平滑加減速趨勢,提高了球形電機在運行時的穩定性。

2 永磁球形電機的結構與控制轉矩描述

2.1 永磁球形電機的結構

本文所研究的球形電機具體結構如圖1所示[14],該電機本體主要由定子和球狀轉子組成,其中定子線圈結構分布為2/24方式,即上下兩層定子外殼各內嵌12個線圈,由12塊驅動電路板單獨供電;轉子體上永磁體分布為4/40方式,且永磁體由釹鐵硼材料加工而成,二者交替排列于轉子體上。當不同序列線圈通電后,線圈產生的磁場與永磁體的磁場相互作用產生不同方向的控制轉矩,驅動轉子實現三自由度運動。

圖1 永磁球形電機本體結構圖

2.2 永磁球形電機的動力學模型

(1)

由剛體坐標變換原理與拉格朗日第二方程可得球形電機的動力學方程為

(2)

(3)

其中Jx,Jy,Jz是轉子體在X、Y、Z軸方向上的轉動慣量,將轉子模型導入ADAMS軟件中經計算其三軸轉動慣量滿足

(4)

于是離心和哥氏力項可表示為

(5)

2.3 基于坐標分解的永磁球形電機控制轉矩描述

根據剛體在空間中的坐標變換原理,本文采用XYZ的坐標旋轉次序描述球形電機末端位置的姿態角,即在三維坐標空間中轉子輸出軸末端A點在運動約束范圍內任意旋轉φ角到B點都可以視為其先繞X軸旋轉α角度到A1(YOZ平面內),再繞Y軸旋轉β角度到A2(XOZ平面內),最后再繞Z軸旋轉γ角度到B點(XOY平面內)。具體旋轉角φ的分解如圖2所示。且令A的坐標為(xA,yA,zA),B的坐標為(xB,yB,zB),R為球心到輸出軸末端的距離(本電機中R=105mm)。

圖2 旋轉角φ的坐標分解

經過三次坐標旋轉變換,并通過轉子末端姿態的逆運動學求解,即可得到輸出軸末端空間直角坐標與對應歐拉旋轉角之間的關系為

(6)

此坐標分解方法有利于求解球形電機的控制轉矩,具體分析如下。當轉子繞X軸由A點旋轉至A1點時,此時旋轉角β與γ及其角速度、角加速度均為零,則有

(7)

將其帶入式(2),可得X軸方向上的控制轉矩為

(8)

同理可求出輸出軸末端由A1旋轉至A2,由A2旋轉至B時的控制轉矩分別為

Ty=TA1-A2=[0,J*,0]T

(9)

(10)

因此由式(8)、(9)、(10)可知,對球形電機軌跡規劃的問題可視為對已知運行路徑的加速度進行規劃。

3 平滑S形曲線的永磁球形電機軌跡規劃

3.1 S形曲線的運動學特性及規劃策略設計

S形加減速曲線的由來是因為電機在加減速階段的速度曲線呈現為S形,典型S形曲線在運行過程中分為7段:加加速段(I)、均加速段(II)、減加速段(III)、勻速段(IV)、加減速段(V)、勻減速段(VI)和減減速段(VII)。現給出7段S形曲線的加速度方程

(11)

(12)

再次積分得到完整S形曲線對應的角位移:

(13)

針對球形電機的控制轉矩描述,設計適用于其動力學方程的速度規劃策略為:

1) 轉子啟停時刻速度均為零,即加速階段速度由0加速到最大值曲線呈現為S形,減速階段由最大值減速到0亦為S形;

2) 為最大程度減小控制轉矩的不對稱性對系統造成的影響,令每個階段的加減速持續時長相等;

3) 由式(10)可知,加速度為0時控制轉矩也為零,因此對球形電機的動力學規劃不考慮勻速階段。

考慮上述約束,設一個規劃周期的時長為T,總角位移為ω,則在該規劃策略約束下的S形曲線對應的加速度方程為

(14)

將式(14)帶入轉子動力學方程,即可得到角位移ω與規劃周期T約束下的三軸控制轉矩。

3.2 正弦函數擬合改進S形速度曲線

對式(11)求導可得S形曲線的加加速度方程,經分析該規劃方式下加加速度的值一直在Jmax,0,-Jmax之間呈階躍形變化,當系統加減速形式發生轉變時,此形狀的加加速度會對系統產生沖擊,使得系統不具有柔性,這在高精度控制系統中是不被允許的[15]。正弦函數本身具有無限可導的特點,若將其用于擬合改進原S形曲線的速度參數,則不僅使得轉子輸出角速度仍然為S形,且經過二次求導后的加加速度仍然可導,即不僅消除了加加速度的階躍現象,而且使得系統能夠更加穩定的運行。設擬合S形速度曲線的多階正弦函數為

(15)

其中ai,bi,ci為待求擬合參數,為防止過擬合現象,設擬合階數為j(j=1,2,3)。

現根據式(14)設計輸出軸末端由原始點在5秒內沿X軸逆時針旋轉20度的動力學方案,以確定適用于改進S形曲線的擬合階數,進而規劃更為復雜的軌跡。將運動過程中的角速度與時間的信息提取并進行擬合得到各階擬合曲線及擬合誤差曲線如圖3、圖4所示。其中圖4中的Errorj2與Errorj3分別為j=2與j=3時的擬合數據與源數據的差值。

圖3 多階正弦函數擬合曲線圖

圖4 擬合誤差曲線圖

由圖3可知,j為1時對應的擬合速度曲線不滿足S形的加減速趨勢,j為2,3時雖已經達到S形的加減速效果,然而對比圖4可知,j為3時的最大擬合誤差較j為2時的大,且總體趨勢不如j=2時的誤差波動范圍小。于是選擇j為2時的擬合階數,作為改進后的速度規劃方式,結合式(15),改進后的角速度輸入信號為

(16)

對式(16)求導可得對應的加速度方程

(17)

將式(17)帶入球形電機動力學方程即可求出改進后各旋轉角所對應的控制轉矩。

4 動力學仿真驗證

本文仿真驗證平臺選用ADAMS動力學仿真軟件,首先將轉子體模型以一定格式導入ADAMS/VIEW模塊進行可視化仿真,觀察規劃路徑;其次在Post-processing 后處理模塊導出轉子輸出角速度、角加加速度數據并進行分析。現給定球形電機末端關鍵點位置信息如表1所示,旋轉次序為A-B-C-D。

表1 關鍵點空間直角坐標信息

將上述關鍵點之間的歐拉旋轉角求解出后,設每兩點之間運行時間為2s,總時長為6s。經式(14)、(17)可求出改進前后軌跡規劃策略所對應的加速度方程,進而得到兩種方式的控制轉矩如圖5所示。其中S-TX、S-TY、S-TZ與SinS-TX、SinS-TY、SinS-TZ分別表示改進前與經正弦函數擬合改進后轉子體在X、Y、Z軸方向上的控制轉矩。

圖5 兩種方式的控制轉矩圖

由上圖可以看出,原S形曲線對應的控制轉矩為梯形,因此在轉子加減速切換時刻會有轉矩拐點的出現,不利于系統的流暢運行。然而經過改進后的轉矩曲線可以看出,二階正弦函數的改進方式平滑了原曲線的拐點,有利于轉子加減速方式的平滑切換。將上圖中的控制轉矩輸入至ADAMS軟件建立的永磁球形電機轉子動力學虛擬樣機中,得到表1對應的仿真軌跡曲線如圖6所示。

圖6 動力學仿真軌跡

為進一步分析改進前后轉子末端的速度特性,經ADAMS后處理模塊導出該軌跡的速度曲線如圖7所示,圖中S-VX、S-VY、S-VZ與SinS-VX、SinS-VY、SinS-VZ分別表示改進前與經正弦函數擬合改進后轉子體在X、Y、Z軸方向上的輸出角速度。

圖7 輸出軸末端角速度曲線

可以看出在每2s的規劃周期內,無論是改進前還是改進后,輸出軸末端速度在加速和減速階段均呈現為S形的趨勢,且運行過程符合本文所設計的速度規劃策略。再者由于本文采用二階正弦擬合的方式改進原S形曲線,由圖7知,改進后速度曲線與原S形曲線幾近重合,說明擬合改進的結果是正確的。為進一步體現改進后的方式對轉子運行過程中沖擊的優化,現導出轉子末端加加速度曲線如圖8所示,其中S-JX、S-JY、S-JZ與SinS-JX、SinS-JY、SinS-JZ分別表示原S形曲線與經正弦函數擬合改進后轉子體在X、Y、Z軸方向上的輸出角加加速度。

圖8 輸出軸末端角加加速度曲線

角加加速度反映了系統的沖擊特性,在圖7的每個規劃周期內,原S形曲線對應的階躍形狀的加加速度被改進后的速度規劃策略所優化,使得轉子體在運行過程中更加具有柔性,保證了球形電機的平穩運行。此外考慮到剛體的建模誤差與改進算法的擬合誤差,設ErrorX、ErrorY、ErrorZ分別為轉子體在X、Y、Z軸方向上的角位移仿真數據與理論數據的差值,記為角位移誤差(Error),經計算分析其誤差曲線如圖9所示。

圖9 輸出軸末端角位移誤差曲線

由圖9可知即使存在建模誤差與擬合誤差,然而在整個規劃周期內,第5秒時達到的最大誤差也不足0.01rad,說明了本文提出改進算法的可行性。

5 結論

本文提出了一種基于平滑S形速度曲線的永磁球形電機軌跡規劃方法,在控制轉矩、角速度、角加加速度和角位移誤差四個方面進行改進前后軌跡規劃的仿真分析,可以得到以下結論:

1) 利用二階正弦函數改進后軌跡規劃算法獲得了較為平滑的控制轉矩和加減速度曲線。實現了速度的平滑輸出。

2) 解決了原S形速度曲線存在的加加速度階躍現象的問題,減小了對系統造成的沖擊。

3) 通過誤差分析得到誤差控制在0.01rad以下,證明了此算法的可行性。

通過對特定軌跡的仿真分析,驗證了本文所提出軌跡規劃方案的有效性與優越性,為球形電機的高精度控制奠定了基礎。