基于改進二維混沌映射的彩色圖像加密算法

紀元法,李 菊,孫希延,嚴素清

(1. 桂林電子科技大學廣西精密導航技術與應用重點實驗室,廣西 桂林 541004;2. 桂林電子科技大學信息與通信學院,廣西 桂林 541004;3. 衛星導航定位與位置服務國家地方聯合工程研究中心,廣西 桂林 541004)

1 引言

在網絡通信飛速發展的今天,數字圖像已成為現在最流行的多媒體形式之一,但是如果雙方的通信通道不夠安全,這些共享的數據就可能會被攻擊者截獲,從而泄露一些機密和私人信息,因此保證數字圖像的高保密性傳輸是一個非常重要的研究領域。

圖像加密一般是將原始圖像通過加密算法變成類似噪聲或者與原圖毫無關系的新圖像,且只有接收者才能復原數據。隨著“混沌密碼”這一概念被Robert A.J.Matthews首次提出后,掀起了一股基于混沌的圖像加密算法研究熱潮[1]。早期一些低維混沌系統所用的低維混沌映射由于結構簡單、周期軌道少等弱點,導致該加密系統安全性較低[2-4],于是一些高維混沌映射的研究逐漸興起。Hua等人[5]提出了一種耦合型二維混沌映射,將兩個一維混沌映射按照特定方式組合,提高了加密系統的安全性,但是不能有效抵抗差分攻擊,防御能力較低。在此基礎上,一些學者將方向轉向將混沌系統與其它加密技術進行結合。李等人[6]設計了一種具有非周期混沌映射和隨機循環移位的魯棒加密方案,該方案提高了加密速度,但是在安全性上得不到保障。此外還提出一些與壓縮感知[7]、DNA編碼[8]等相結合的圖像加密算法,但仍存在著一些不足,其中有些算法的安全性需要得到進一步的檢測,要確保更高的安全性和加密效率,需要進一步深入研究。

針對數字圖像在網絡傳輸中的安全性和可靠性問題,提出了一種基于改進二維混沌映射的彩色圖像加密算法。首先對彩色圖像的各個分量進行Arnold變換,接著用文中提出的改進二維混沌映射隨機產生幾個不同的混沌矩陣,用一種新的置亂和擴散方法對水平連接后的圖像進行處理,保證該系統的隨機性和可靠性,仿真結果和性能測試反映了該算法具有較好的加密效果和較高的安全性能。

2 混沌映射

2.1 傳統一維混沌映射

一維Logistic映射和Sine映射是生成所提出的二維混沌映射(2D-SLSM)的基礎,它們的數學表達式分別如下

xi+1=L(x)=4ηxi(1-xi)

(1)

xi+1=S(x)=βsin(πxi)

(2)

其中Logistic映射和Sine映射的控制參數范圍都在[0,1]內,且分別在η∈[0.89,1]、β∈[0.87,1]時存在混沌行為。

2.2 改進的混沌映射

由于一維Logistic映射和Sine映射結構簡單,混沌范圍比較窄,存在著一定性能上的缺陷,可能會對后面的其它操作帶來一些負面影響,因此將它們進行新的耦合,提出了改進的混沌映射2D-SLSM,與Logistic映射和Sine映射相比,2D-SLSM的結構更加復雜,其輸出也更難以預測,其數學定義如下

(3)

其中參數λ>500。圖1分別為2D Logistic、2D-SLMM[9]、2D-LASM[10]和2D-SLSM的混沌軌跡,參數分別設置為:1.9、1、0.9和0.55,這能使各混沌映射能達到最好的輸出效果。從圖1中可以看出,所提出的2D-SLSM輸出分布在整個相平面,比另外三個二維混沌映射占據范圍更廣且更均勻,表現出更好的遍歷性和輸出隨機性。

圖1 不同映射的混沌軌跡

3 加密方案

給定一個大小為M×N×3的原始圖像P,基于2D-SLSM的圖像加密算法(SLSM-IEA)主要由Arnold變換、置亂和擴散組成,循環移位和像素異或操作銜接其中,保證加密的隨機性和安全性。解密是加密過程的逆過程,加密的總體框架如圖2所示。

圖2 加密總體框架

3.1 密鑰K的產生

從安全方面和系統結構的綜合考慮,將密鑰的長度設置為231位,它由以下幾個部分組成:K={x0,y0,r,a1,a2,a3},其中(x0,y0)是初始狀態值,r是干擾參數,a1,a2,a3是r的擾動參數。x0,y0和r的數學表達式如下所示

(4)

a1,a2,a3分別是由25比特的數據流{b1,b2,…,b25}產生的十進制數,由以下式子得來

r(i)=500+mod(r×ai,2)

(5)

3.2 置亂

置亂操作可以改變像素位置的行和列,使圖片像素在較短步驟里被打亂,從而變成無法識別的密文,提出的置亂操作整體可分為以下3個步驟:

步驟1:對混沌序列S分別進行列排序和行排序,得到索引矩陣I1和I2;

步驟2:創建索引坐標矩陣PM1和PM2,存放圖像位置信息,其中橫坐標和縱坐標的值分別由索引矩陣I1和I2組成,表達式如下:

PM1(x,y)=PM1(I1(x,y),y)

PM2(x,y)=PM2(x,I2(x,y))

(6)

步驟3:對圖像P進行位置變換,找出C中對應PM1中的位置,放入P中對應PM2中的位置。具體置亂方式如下:

P(PM(x,y))?P(PM(x+1,y+1))

(7)

圖3(a)(b)展示了一個具體置亂的數字例子,P為經過水平組合后的圖像矩陣,大小為4×12,C為置亂結果。

圖3 置亂操作示意圖

3.3 擴散

擴散會更改像素值,并將較小的差異擴散到密文的所有像素中。一個好的擴散算法會使得加密系統有更高的安全性,有足夠的能力抵抗數據丟失,假設置亂結果T和生成的混沌矩陣S的大小都為m×n,加密的擴散過程具體操作定義如下

(8)

(9)

在置亂結果之間進行逐位“異或”操作,可以生成新的用于擴散的混沌序列。“異或”運算的主要貢獻是可以將原來的像素值完全改變成新的像素值。整個擴散步驟分為兩個部分進行:當執行行擴散時,R為行數;當執行列擴散時,R為列數。解密時的擴散操作是式(8)的逆操作。

3.4 加密步驟

假設輸入的彩色圖像P大小為M×N×3,加密具體步驟如下:

步驟1 Arnold變換:將彩色圖像按照R、G、B三個分量進行分離,分別旋轉90°、180°和270°后再進行Arnold變換,然后將三個圖像水平拼接起來,得到大小為M×3*N的圖像P1。Arnold變換的表達式如下:

(10)

式中,a、b、N為正整數。取a=b=1,N為矩陣的寬度,在解密過程中可以應用Arnold的逆變換。

步驟2 混沌序列的產生:通過密鑰K生成所需參數x0,y0,r(i),2D-SLSM可以生成3個隨機的二維混沌序列S1、S2和S3,將混沌序列S3參照以下規則變為二進制序列A,用于像素異或:

(11)

步驟3 置亂:通過3.2節介紹的置亂方法進行位置交換,得到兩輪置亂結果P2;

步驟4 循環移位:將矩陣P2的數據按照圖4的步驟進行位置移動,得到圖像P3;

圖4 循環移位示意圖

步驟5 擴散:根據3.3節描述的擴散操作,對矩陣P3的數據進行改變,得到兩輪擴散結果P4;

步驟6 像素異或:根據步驟2產生的二進制序列A,當A(i)=0時,不做任何操作;當A(i)=1時,讓P4中當前像素值和右側像素值進行異或操作,最后得到加密結果C。

4 仿真結果和安全性分析

為了驗證本算法的安全性能,本節從密鑰安全性、抵御數據丟失和差分攻擊能力和相鄰像素相關性等幾方面進行分析。

4.1 仿真結果

該系統使用密鑰及其生成的混沌矩陣來加密普通圖像,結合Arnold變換和置亂-擴散結構增加系統的復雜性,使得加密過程具有更強的安全性,圖5(a)展示了在該加密系統下將一幅彩色圖像加密成肉眼無法識別的類似噪聲的圖片,并成功解密恢復出了明文。

圖5 仿真結果示意圖和密鑰敏感性分析

4.2 密鑰空間和敏感性分析

該系統將密鑰長度設為2231比特,遠遠大于2100,滿足密鑰空間的標準。密鑰敏感性也是一個考核算法是否有足夠安全性的標準,用戶只有在使用正確密鑰的情況下才能恢復密文對應的明文。圖5(b)展示了當使用與正確密鑰僅有一位比特差時的解密效果,從圖中可以看出,解密失敗,反映出該系統密鑰的較強敏感性。比特變化率(NBCR)可用于測試加密算法的密鑰靈敏度,其數學表達式如下

(12)

其中B1和B2是兩個圖像,Ham[B1,B2]是B1和B2的漢明距離,Len是B1或B2的位長。當NBCR接近50%,這意味著兩個測試圖像是完全不一樣的。

為了測試本算法的密鑰敏感性,用兩個只有一位差的密鑰去加密同一個明文,測試結果如圖5(c)所示,兩幅密文和兩幅解密后的明文的NBCR值都接近50%,也說明了當任意一位密鑰被改變時,加密同一個明文所得到的結果是完全不一樣的,不能成功解密出正確的明文,再次體現了本算法密鑰的較強敏感性。

4.3 抵抗數據丟失能力

在圖像傳輸中,總會遇到由于噪聲損失或數據損失從而圖像像素有一定丟失的情況,所以在密文圖像有一定損失的情況下,一個好的加密算法應該有可以恢復明文的大部分可視化信息的能力。圖6顯示了當密文在數據丟失不同程度下的解密情況。

圖6 抵抗數據丟失能力的仿真圖

圖6中第一列分別是丟失23.43%、46.87%和70.31%數據的密文,其余幾列分別是對應密文的解密圖像,3幅不同的密文在這幾種丟失情況下都可以恢復大部分可視化信息,甚至在丟失70%密文信息的時候,本算法恢復出來的圖像仍能攜帶著原始圖像大部分“特征信息”,體現出本算法較強的抵御數據丟失能力。

4.4 抗差分攻擊能力分析

差分攻擊是一種攻擊者常用的測試方法,用同一個加密系統,不斷去分析修改后的明文與密文之間的關系,從而破譯加密系統。為了檢驗本系統抗差分攻擊的能力,可以用像素變化率(NPCR)和歸一化平均變化強度(UACI)來進行測試[11],它們的定義分別如下所示

(13)

(14)

其中m和n是圖像的長和寬,C1和C2是由只有一個像素值不同的兩幅圖像經過同一個加密系統的密文,G(i,j)由式(16)得來:

(15)

對于大小為512×512的圖像,若NPCR大于99.5893%,UACI 在區間 (33.3730%, 33.5541%)內,則認定該系統有抵抗差分攻擊的能力。表1給出了本算法和其它3種算法的測試結果,本算法和文獻[13]滿足所有要求,文獻[12]次之,文獻[14]最少,因此本算法有足夠能力抵抗差分攻擊。

表1 不同加密算法的測試結果

4.5 相鄰像素相關性分析

一般未經過加密的圖像的像素有著很高的相關性,一個好的加密算法應該要削弱這些相關性,從而使攻擊者很難從中尋找到關聯,提高加密安全性。兩個像素的相關性可以通過以下式子進行計算:

(16)

密文圖像的計算結果越接近0,代表其方向上的相關性越弱,表1比較了本算法和文獻[12]、[13]、[14]中的算法在水平、垂直和對角線上的相鄰像素相關性,所有算法結果都接近0,在消除相鄰像素相關性能力上都有不錯的表現,攻擊者很難從這方面對加密圖像進行破譯,提高了加密安全性。

5 結論

針對圖像安全問題,用兩個現有的一維混沌映射,耦合形成了一個新的具有復雜混沌行為的二維混沌映射,并在此基礎上提出了一種彩色圖像加密算法。Arnold變換與置亂和擴散操作進行結合,改變明文像素的位置和像素值,增加加密的復雜性和和隨機性。實驗結果表明,本算法相鄰像素相關性弱,趨近于0;密鑰敏感性較強,用與正確密鑰只有一位差的密鑰也無法成功破譯密文;抵御數據丟失能力上有一定優勢,即使在丟失大部分密文也能恢復相應可視化信息;抵抗差分攻擊能力強,攻擊者難以從密文和明文之間找到聯系,今后將繼續研究加密在視頻方向上的應用。