Hurwitz-Radon矩陣方程的華羅庚鏈

林開亮 趙教練

摘? ? 要：1947年，華羅庚獨立研究了Hurwitz-Radon矩陣方程，遺憾的是由于失誤他未能得出完整結果。文章補充完善了華羅庚對于Hurwitz-Radon矩陣方程的求解。遵循華羅庚的思路， 所采用的方法是矩陣的相似標準型。得到了華羅庚鏈，并通過酉化技巧得到其酉版本。

關鍵詞：Hurwitz-Radon矩陣方程；Hurwitz-Radon定理；華羅庚鏈；酉化技巧；矩陣標準型

中圖分類號：O15? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：1009-5128（2023）02-0075-10

收稿日期：2022-09-18

基金項目：國家自然科學基金數學天元基金項目：華羅庚及其學派的研究和普及（1182601057）

作者簡介：林開亮，男，湖南常德人，西北農林科技大學理學院講師，理學博士，主要從事矩陣論、數學史和數學教育研究；趙教練，男，陜西興平人，渭南師范學院數學與統計學院教授，理學博士，主要從事密碼學與函數論研究。

這個經典的定理已經有許多證明，除了Hurwitz和Radon的原始證明以外，還有Eckmann［4］的有限群表示論證明、李華宗的利用Clifford代數表示論的證明（例如參看Prasolov［5］186–188 ）。Hurwitz的原始證明的敘述可以參考文獻［6］。Radon的證明與本文介紹的證明關聯緊密，其轉述可見文獻［7］。

第一作者曾在文獻［1］中給出了Hurwitz-Radon定理的一個簡單證明，該證明很好地解釋了定理中的模4周期性，并且可以推廣到任意特征不等于2的域F。

本文介紹Hurwitz-Radon定理的另一個比較簡單的證明，這個證明基于華羅庚1947年的工作，但是由于某些原因這個優美的證明被忽略了。

3? ?華羅庚鏈

對于F =C的情形，華羅庚［4］對Hurwitz定理曾經給出過一個漂亮的證明，我們介紹如下（從這里開始，如果不作特殊說明，將假定所有談及的矩陣都是復矩陣）。

華羅庚在1947年發表的矩陣幾何的文章［8］中獨立地得到了Hurwitz矩陣方程，他不知道前人的工作，給出了自己的求解方案，遺憾的是未引出正確的最終結果。但他的思路是對的，遵循其方法，我們可得到下述結果，稱之為華羅庚鏈（參見文獻［9］）。

定理3的證明需要將引理1至4酉化，我們只須在相應的引理證明中將各個相似變換或相合變換的矩陣加強為酉矩陣即可。限于篇幅，此處從略。

注：有必要指出，華羅庚鏈（5）至（8）在R上不成立。原因在于，引理5（ii）在R上不成立。例如，對于2階標準辛矩陣J，J與其轉置矩陣J '=-J是實相似的，但是直接計算表明，它們不是實相似的。這是我們不能直接實化華羅庚鏈的原因所在。我們在標題中所謂的“酉化”，事實上就是酉限制，在拓撲上相當于緊致化，將非緊李群O（n，C ）與Sp（n，C）中的緊致部分提取出來。這一技巧為WeylH首創，并且命名為“酉技巧”［11］163-164。

7? ?歷史評述

事實上，華羅庚［8］并沒有得到正確的華羅庚鏈。華羅庚在引理1的證明中出現了失誤。［8］根據筆者的分析發現，導致這一錯誤的根源是式下邊的連等式，其中第3個等號不成立。

華羅庚本應該從文獻中獲知Hurwitz定理的，因為1930年代出版的MacDuffee［12］80-81在兩個不同的地方分別提到了Hurwitz和Radon的結果。華羅庚顯然是閱讀過這本書的，他不僅在同一篇文章中引用過此書，而且早在1944年發表的文章中就多次引用過。

相對而言，Radon［3］的結果在MacDuffee［12］80中有詳細表述。

定理5? ?（Radon）存在k個矩陣A1，…，Ak ∈M（n，R）使得對任意的實數x1，…，xk滿足x12＋…＋xk2＝1，矩陣x1A1＋…＋xkAk為正交矩陣，當且僅當k ≤ρ（n ）。此處ρ（n ）如第五節注1定義。

正如等周定理有兩種等價的表述一樣，Radon定理與Hurwitz定理根本就是同一個定理的兩種不同表述，這兩個定理合在一起就是說，Hurwitz問題在C和R上有相同的解。正是認識到這一點，Eckmann［4］給出了Hurwitz-Radon定理的一個統一的基于有限群表示論的證明。

現在，Hurwitz-Radon定理已經作為練習被編入線性代數的習題集［5］186-188中，但其解法遠不如華羅庚先生給出的解法漂亮，華先生的這個證明完全可以與Hurwitz和Radon原來的解法相媲美。將Radon［13］146的原始證明跟華羅庚的證明放在一起比較是極為有趣的。Radon的證明中產生了8個矩陣方程，其中3個是 R上的，2個是C上的，還有3個是四元數體上的。關于Radon的詳細論證請讀者參考文獻［7］的轉述。

參考文獻：

［1］? 林開亮.Hurwitz-Radon矩陣方程［J］.數學傳播，2012（1）：48-63.

［2］? HUTWLTZ A.?ber die Komposition der quadratischen Formen［J］.Math，Ann，1923（88）：1-25.

［3］? RADON J.Lineare scharen orthogonaler matrizen［J］.Abh，Math，Semin，Univ，Hambg，1923（1）：1-14.

［4］? ECKMANN B.Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon über die Komposition quadratischer Formen［J］.nComment.Math.Helv，1942（15）：358-366.

［5］? PRASOLOV V V.Problems and Theorems in Linear Algebra［M］.Rhode Lsland：American Mathematical Society，1994.

［6］? WONG Y C.Isoclinic-planes in Euclidean 2-space， Clifford parallels in elliptic （2-1）-space， and the Hurwitz matrix equations［J］.Memoirs of the American Mathematical Society，1961，41：595-608.

［7］? 江上鷗.Hurwitz-Radon問題：等價和約化是處理數學問題的一種基本方法［J］.數學通報，1964（4）：29-35.

［8］? HUA L K.Geometrices of matrices.II.Study of involutions in the geometry of symmetric matrices［J］.Transactions of the American Mathematical Society，1947，61（2）：193-228.

［9］? LIN K L.Hurwitz-Radons symplectic analogy and Huas cyclic recurrence relation［J］.The electronic journal of linear algebra ELA，2013，26（1）：858-872.

［10］? KAPLANSKY I.Linear Algabra and Geometry-A Second Course［M］.New York：Allyn and Bacon，1969.

［11］? WEYL H.Classical Groups：Their Invariants and Representations［M］.New Jersey：Princeton University Press，1946.

［12］? MACDUFFEE C C.The Theory of Matrices［M］. Berlin：Springer，1933.

［13］? HORN R A，JOHNSON C R.矩陣分析［M］.楊奇，譯.北京：機械工業出版社，2005.

【責任編輯? ? 牛懷崗】

Abstract：Loo Keng Hua studied Hurwitz－Radon matrix equations independently in 1947. However， Hua didnt get the full results due to some mistakes. The present paper completes Huas original solution for Hurwitz－Radon matrix equations. Following Hua， the method is based on the canonical forms of matrices under similarity transforms. Huas cyclic recurrence relation and its unitary version are presented.

Key words：Hurwitz－Radon matrix equations； Hurwitz－Radon theorem； Huas cyclic recurrence relation； unitary trick； canonical forms of matrices