HPM視角下高中數學課堂教學初探

馮中芹 傅立明

［摘 要］“數學史與數學教育”（HPM）是一個重要的研究領域，基于HPM開展數學教學具有重要的意義。“斜率”發現至今有著漫長的歷史，在HPM視角下教學“傾斜角與斜率”，滲透數學文化、數學情感與數學觀，能起到很好的效果。

［關鍵詞］HPM；傾斜角；斜率；同課異構

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0019-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（本文簡稱新課標）明確指出，高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。按照新課標的要求，傳統的教學觀念應該要改變，教師應以立德樹人為教育教學目標，著眼數學學科核心素養培育，抓住數學本質，重視數學文化，真正實現學生發展。但是，要發揮數學文化的作用，教師自身必須要不斷學習，提高自身的數學文化素養。“數學史與數學教育”（HPM）是一個重要的研究領域，基于HPM開展數學教學具有重要的意義。

“傾斜角與斜率”的教學從初中所學的“兩點確定一條直線”出發，進一步闡述“傾斜角與斜率”的概念，引出兩點所連成的直線斜率的計算公式。傳統教學中，該課以直線斜率公式的應用為主要教學目標，忽視了概念產生的過程，部分學生不能很好地理解“傾斜角與斜率”的概念，只會記公式，對于為什么引入斜率無法理解，會認為斜率是“空降”的概念。而斜率概念本身具有很深厚的數學思想與數學文化，能夠給教師的教學帶來豐富的素材。教師能夠利用斜率發展的歷史來講解數學思想方法，將斜率概念的歷史發展過程展現給學生，讓學生深入理解其背景和意義。這樣數學概念教學不再“冰冷”枯燥，能提高學生的學習興趣。

根據新課標要求，在確立該課教學目標時有幾點要注意。首先是知識與技能目標，要求學生探究出直線在直角坐標系中的位置，其實傾斜角與斜率之間的關系是很好理解的。其次是過程與方法目標，要求學生了解斜率的歷史發展過程，讓學生完成本節課的自主學習過程。最后是情感態度與價值觀目標，要求學生掌握相關數學思想。利用傾斜角與斜率來研究直線非常重要，要讓學生明白它的重要性。數學概念的歷史發展過程與學生對數學概念的理解過程具有相似性，教師應該讓學生深刻體會到HPM的優勢。

本文選取了教師Ａ和教師Ｂ就“傾斜角與斜率”這一主題進行的同課異構的教學展示。教師Ａ并未從HPM的視角進行教學設計，教師Ｂ則選擇從HPM的視角進行教學設計。傳統教學中，選擇從HPM視角進行教學設計的教師非常少。傳統教學以傳授知識為主要目的，漸漸讓學生感受到數學是枯燥無聊的。HPM視角下的知識傳授有助于學生形成完整的知識體系，提高學生的學習興趣。教無定法，不同的教學方法可以相互啟發。本文對教師A和教師B的教學進行比較和分析，以歸納出HPM視角下高中數學課堂教學的若干特點，希望通過這種不同視角的交流，對高中數學教學有一定的啟示。

一、教學流程的比較

表１給出了教師A和教師B的教學流程對照。

從表1可以看出，教師Ａ采用的教學法比較常規，通過實際數學問題引入本節課的教學內容，直接給出研究問題，引導學生探索傾斜角和斜率，接著進行習題講練，最后進行課堂小結。教師Ｂ先通過傾斜角和斜率的形成過程呈現定義，讓學生體會學習傾斜角和斜率的必要性，再讓學生通過小組合作得出結論，接著進行習題演練，最后進行課堂小結，推導的過程也是傾斜角和斜率歷史演變的過程。在新知應用環節，教師Ａ設計得比較好，共設計３個問題，分別涉及傾斜角和斜率的定義，傾斜角和斜率之間關系的應用，內容比較全面，由易到難，達到了知識與技能目標的基本要求。教師Ｂ在展示傾斜角和斜率歷史探索過程上花費了比較長的時間，因而缺少新知應用環節。

二、新課引入環節的比較

在新課引入環節，教師Ａ借助向量工具，通過從特殊到一般的過程，引導學生層層遞進地理解用點的縱、橫坐標的差的商刻畫直線傾斜角的方法，建立直線的斜率公式。教師Ｂ通過展現歷史上對傾斜角和斜率的研究過程，引出定義。

教師A的教學片段：

師：點在平面直角坐標系中是怎樣表示的？

生1：用坐標。

師：點是構成直線的基本元素，我們應該在直角坐標系中如何表示直線呢？

生2：由無數個點構成直線。

師：在平面直角坐標系中能確定的直線的要素是什么？

生3：兩個點確定一條直線。

教師B的教學片段：

師：滑雪者在雪道上留下的痕跡是怎樣的呢？

生1：直線。

師：很好，滑雪者滑行軌跡確實是一條直線。那么同學們回憶一下我們初中學過的什么函數圖象也是直線？

生2：一次函數。

師：一次函數的表達形式，大家記得嗎？

生3：記得，[y=kx+b]。

師：[k，b]是兩個參數，大家知道這兩個字母的意義嗎？

生4：[b]是指直線在[y]軸上的截距。

師：很好，那字母[k]代表什么幾何意義呢？

生5：斜率！（初中教師已補充斜率是[k]）

師：不錯，[k]的確是斜率，我們還用[k]來表示山坡的坡度。（播放微視頻）

在本環節，教師Ａ采用的是常規引入， 直接拋出問題，教師Ｂ則通過微視頻讓學生深入了解斜率的發展過程，通過生活中的實例引出教學內容。兩者相比，教師Ａ的引入直接明了，教師Ｂ的引入則較為新穎，更容易激發學生的學習興趣。

三、新知探索環節的比較

教師A的教學片段：

師：確定一條直線的幾何要素是什么？

生1：兩個點；一條直線還可以由一個點以及給定的方向確定。

師：在平面直角坐標系中，過點[P]能夠畫出直線[l1，l2，…，ln]（無數條），這么多的直線它們之間有什么區別呢？

生2：這些直線的方向不同。

師：怎樣在平面直角坐標系中表示這些方向？

生3：這些直線與[x]軸的傾斜程度不同，即與[x]軸所成的角不同，因此可以用這些角來表示這些直線的方向。

師：通過觀察可知，直線[l1]的傾斜角[α1]是銳角，直線[l']的傾斜角[α']是鈍角，規定當直線[l]與[x]軸平行或重合時，它的傾斜角為[0°]，因此傾斜角的取值范圍是什么？

生4：[α∈0°，180°]。

教師B的教學片段：

師（在幾何畫板中演示繞原點旋轉的直線圖象）：請同學們觀察，[y=kx]中的字母[k]如何變化？

生1：傾斜程度越大，[k]的值越大。

師：過原點的直線上，每一個點的縱坐標與橫坐標之比是定值嗎？

生2：是定值（這里得到[k]的求法）。

師：對一次函數而言，[k]有什么幾何意義？

生3：直線與[x]軸所成角[α]的正切值與[k]有關。

師：下面讓我們來看一個微視頻，追溯斜率的歷史由來，看看數學家是怎么發現斜率的。

教師A從學生已掌握的知識點出發，通過逐步引導，使數學知識串聯在一起，自然而然地引出傾斜角的概念。教師B制作HPM微視頻，追溯斜率的歷史由來，讓學生通過數學史的學習更深入地理解斜率的概念。斜率的概念產生比直線方程的形成要晚很多，因此用傾斜角[α]的正切值來表示[k]理所應當，而不是教師把概念強加給學生。

四、課堂小結環節的比較

教師A的教學片段：

師：同學們，本節課你們學到了什么？

生1：刻畫一條直線在平面直角坐標系中的方向有兩個維度，“形”和“數”的維度。

生2：直線的傾斜角的求法和取值范圍。

生3：直線的斜率的求法及斜率不存在的情況。

教師B的教學片段：

師：請同學們自由發言，總結一下本節課你體會到了什么。

生1：思路之廣。斜率“走過”幾百年甚至幾千年的漫長旅程，體現了從不完善到完善的動態發展過程。

生2：探索之悅。在小組討論過程中，大家都非常積極參與。

生3：能力之升。通過斜率的學習，我們分析問題、解決問題的能力得到了提升。

教師A讓學生小組討論后總結，把課堂還給學生，讓學生經歷總結的過程。教師B則讓學生自己小結，回答的學生也非常多，大家自由發言，教師最后總結關鍵的幾點，突出本節課探究的是斜率的歷史發展過程，從而讓學生感覺數學史很奇妙，自己就像數學家，由此提高了學生的學習興趣，提升了課堂價值。

五、兩種教學設計理念的分析

高中數學課堂應該體現“三教”理念，即“教思考、教體驗、教表達”，培養學生的學科核心素養。“教思考”指的是培養學生的問題意識、解決問題時的線索意識、參與數學活動時領悟數學思想方法的意識、解決數學問題時的辯證和批判意識；“教體驗”指的是以數學知識和技能為載體，引導學生對數學思想方法和科學研究方法進行理解，讓學生獲得對知識的學習體驗；“教表達”指的是教會學生運用數學語言來表述數學問題。教師A和教師B兩種不同的教學設計，從多個層面和方向出發，啟發學生思考，體現了“教思考”，也都包含了對數學思想方法和科學研究方法的運用和對知識的學習體驗，體現了“教體驗”。同時，兩種不同的教學設計都要求學生對斜率的發現過程進行表述，促使學生熟練切換數學的文字語言、口頭語言、符號語言，體現了“教表達”。

“教思考”的重要手段就是課堂留白，教師B結合數學史設置相應的活動，讓學生了解斜率的發現過程，實現發現留白，為學生自主探究做好鋪墊，實現論證留白，比教師A更能體現“教思考”。教師B的數學史素材雖然有育人價值，但是教師B可以采用更加豐富的形式，如讓學生編寫數學話劇的劇本、讓學生進行數學演講等，帶領他們穿越時空，感受斜率對數學界的影響。“教體驗”的重要依據就是自然發生，設計問題，一線貫通。教師B在設計問題時注意了問題的銜接以及教學過程的流暢性，環環相扣的問題串成為教學設計的亮點。教師A更加注重知識的實際應用，在課堂的最后加入實際應用的問題，成為教學設計的亮點。“教表達”必須注重雙重價值，不可偏廢，這一點教師A和教師B都做得很好。幾何的教育價值一方面是訓練思維和培養核心素養，另一方面是實用價值。

HPM視角下的數學教學過程顯得十分自然，大大改變了學生的數學觀，促進了學生主動探究，增加了學生的體驗機會。 雖然HPM能夠讓數學課堂變得更加精彩，但過多的引入必然導致學生練習時間減少，因此教師要精心選擇數學史背景知識，合理設計教學過程，制訂完善的教學風險防范、教學監控、教學管理制度，使HPM視角下的數學課堂常態化。因此，HPM課堂有效性模型研究顯得尤為重要。如果教師根據HPM課堂有效性模型，精心選擇數學史背景知識，合理設計教學環節，選擇適合的現代信息技術，制訂完善的教學風險防范、教學監控、教學管理制度，HPM視角下的數學課堂將有很大的教育價值。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?黃友初.數學文化教育性的詮釋與教學性的缺失［J］.中學數學教學參考，2014（7）：56-58.

［3］ ?戴姍姍，朱哲.高中數學新教材中的數學文化研究：以新人教A版“指數函數與對數函數”為例［J］.數學教學通訊，2022（12）：19-22.

［4］ ?李婷.汪曉勤.HPM視角下高中數學課堂教學的特點初探：基于“任意角”的同課異構教學案例分析［J］.中小學數學（高中版），2017（4）：10-14．

（責任編輯 黃桂堅）