基于方向信息的無人機群編隊控制算法 *

李碧燕 ，胡順

（1. 廣西生態工程職業技術學院 汽車與信息工程學院，廣西 柳州 545004；2. 廣西師范大學 教育學部，廣西 桂林 541004）

0 引言

由于無人機群協同控制具有廣泛的應用前景，受到眾多國內外學者廣泛關注和研究［1-3］。編隊控制作為無人機群協同控制的重要分支，也同樣受到極大的關注。在無人機群編隊控制中，每個無人機都需要從任意初始位置收斂到設定的幾何編隊形狀。現有的無人機群編隊控制研究可以分成如下3類方法：基于相對位置信息［4-5］，基于距離信息［6-7］和基于方向信息［8］。隨著圖像識別技術的發展，基于方向信息的無人機群編隊控制興起。如果使用相機等主動測量裝置時，相鄰無人機的相對方向可以通過主動測量裝置直接測量而不需要進行通信，因此在通信受阻時也可完成控制任務，這也是基于相對方向的編隊控制器的主要優點之一［9］。同時，在負載受限的情況下，基于方向信息的控制方法也是一個很好的選擇，因為它能大幅減少傳感器的數量［10］。

雖然基于方向信息的無人機群編隊控制具有很多優點，但是現階段還有很多問題需要解決。首先，基于方向信息的無人機群控制只能應用于簡單模型，如單積分器［11］和雙積分器［12］等。另一個重要的問題是，如何通過方向信息完成無人機群的移動編隊問題。現有的基于方向信息的編隊控制大多都為定點編隊控制［13-14］。例如文獻［15］針對網絡異構機器人的定點編隊控制提出了基于方向信息的碰撞避免控制方法。文獻［16］提出了只基于方向信息的編隊控制器，解決了非完整多智能體的定點編隊控制問題。但是當這種控制策略用于移動編隊控制時會導致跟蹤誤差，甚至會發散。只有當控制增益足夠大，或者無人機群系統移動速度較慢的時候，系統的位置誤差能收斂到零點。因此，針對無人機群移動編隊設計基于方向信息的控制方法是很有必要的。現階段，基于方向信息的編隊控制方法主要有2 種：基于最優策略（opimization techniques）［17］和 基 于 持 續 激 勵（persistence of excitation，PE）［18］。例如文獻［19］將一種剛性方向理論（bearing rigidity theory）推廣應用到基于方向信息的編隊控制系統的穩定性證明中。文獻［20］利用仰角剛性理論（elevation angle rigidity theory）結合梯度下降法完成了基于方向信息的編隊控制器設計。雖然這2 種方法在系統的穩定性分析上具有較大的優勢，但是無法將控制策略擴展應用到更加復雜的情況，如帶有未知建模和擾動的復雜非線性系統。本文通過設計比例和積分環節完成移動編隊跟蹤控制，控制器結構簡單，與PID（proportional integral derivative）控制器相似。

為了解決基于方向信息無人機群移動編隊問題，本文基于標準Lyapunov 的穩定性分析方法設計了基于方向信息的速度跟蹤編隊控制器。基于標準Lyapunov 的分析有利于控制策略拓展到包括非線性系統和不確定因素在內的復雜系統中。通過設計比例（proportional）積分（integral）控制策略完成了無人機群的速度編隊跟蹤控制，最后通過Matlab仿真實驗驗證了控制策略的有效性。

1 系統描述

1.1 符號說明

Rn和Rm×n分別代表了n× 1 階實數矩陣空間和m×n階實數矩陣空間，N+表示為正整數集合，In表示n階的單位矩陣，0n表示n階元素全為0 的矩陣。‖ · ‖代表·的二階范數，λmin(·)表示矩陣(·)最小的特征值，λmax(·)表示矩陣(·)最大的特征值。表1 給出了變量的解釋說明。

表1 相關參數和變量說明Table 1 Description of relevant parameters and variables

1.2 準備工作

無 人 機i的 位 置 為qi∈Rd，其 中d≥2，i=1，2，…，N，N為無人機群的數量。無人機群的結構用無向圖G= (V，Ψ)表示，其中V={υ1，υ2，…，υN}是節點集；Ψ∈V×V為邊集。(i，j) ∈Ψ表示無人機i可以測量到自身到相鄰無人機j的方位。Ni={υj|(υi，υj)∈Ψ}表示無人機i的相鄰無人機集合。針對無向圖G=(V，Ψ)，分別定義(i，j)的邊向量和方向向量為

需要注意的是eij=-eji，gij=-gji。

定向圖是帶有方向的無向圖，定義m為無向圖G= (V，Ψ)的無向邊的數量，則定向圖有m個有向邊。假設k∈{1，2，…，m}，第k個有向邊的邊向量和方向向量為

針對方向向量gk，定義如下的正交投影運算符P：Rd→Rd×d：

當且僅當Pgk x= 0 時，向量x平行于gk。

結合式（3），對gk求導可得

由于

為了后續的穩定性證明，引入如下方向Laplacian 矩陣［16］

假設無人機群系統中有nl個領導者和nf=n-nl個跟隨者，并且Vl={1，…，nl}，Vf={nl+1，…，n}，則式（7）可以寫成

式中：B22∈Rdn2×dn2。為了后續穩定性證明，引入如下的引理。

引理1.（唯一目標編隊條件［21］）如果矩陣Bff為非奇異矩陣，則無人機群系統的期望方向和領導者的位置可以確定唯一的期望編隊，即存在唯一的編隊結構

1.3 控制目標

本文的控制目標是設計基于方位信息的分布式控制器來使得無人機系統按照特定的編隊幾何結構跟隨領導者。

無人機群系統的跟隨者為單積分器，方程如下

式中：ui(t)為第i個跟隨者的控制輸入。

需要注意的是，本文的領導者按照期望的速度和位置進行運動，而不設計控制器進行控制。為了控制器的設計方便作出如下的假設：

無人機群系統的編隊控制中，無人機不會產生相互碰撞的情況。

注意：無人機群編隊控制中，無人機群系統內部防碰撞研究也是一個重要的研究內容，本文為了方便將研究重點放在控制器的設計上，所以提出假設。

2 基于方向信息的編隊跟蹤控制

接下來將設計控制器來完成控制目標1。首先定方向誤差為

然后設計如下的控制器

式中：kp和ki為需要設計的控制參數，控制器的形式類似于PI 控制。其中比例和積分分別用于完成相對位置跟蹤和速度跟蹤，最優控制參數kp和ki可以通過優化算法（如遺傳算法）等獲得。

注意1. 式（11）的控制器中只用到了相鄰無人機的相對方向gij，如果使用相機等主動測量裝置時，相對方向不需要與其他無人機進行通信集合獲得，因此在通信受阻時也可完成控制任務。

令控制器中的積分項為

本文的領導者具有相同的速度vc，由于無人機群編隊系統按照固定的速度和結構移動，因此有。多智能編隊系統的質心位 置 定 義 為。如果無人機群系統滿足引理1，則(t)為定值，并且滿足

由式（9）可得

式中：v= (v1，v2，…，vN)T，vi表示第i個無人機的速度。

對式（12）求導

接下來將進行無人機群控制系統的穩定性證明。首先定義誤差函數為了后續證明，先加入下面的引理

引理2. 如果無人機群系統滿足引理1 和假設1，則如下不等式成立

證明：由于λmin(Bff) ≥0，很容易知道

成 立 。 然 后 證 明 不 等 式eT(g-g*) ≥成立。

然后有

結合式（3），可寫成

因此，可以獲得如下的不等式

然后可以獲得如下的不等式

將其代入不等式（21）可得

結合式（13），上述不等式可以寫成

將不等式（26）代入不等式（24）中可得

引理2 證明完畢。

定理1. 如果無人機群系統滿足引理1 和假設1，當控制器為式（11）時，有λ→0，α? →0，并且無人機群系統按照固定速度進行移動。

首先定義如下的Lyapunov 方程

由不等式（16）可知V1≥0。

結合式（5），對Lyapunov 方程求導可得

將式（14）和式（15）代入式（29）可得

由于

因此式（30）可以寫成

對上述一元二次不等式進行求解可知

所以‖ ‖λ有界。

由于

結合不等式（16）和不等式（36）可知，只有當g-g*= 0，即g=g*時，，所以λ=q-q*= 0。定理1 證明完畢。

3 數值仿真

接下來進行仿真實驗來驗證控制策略的有效性。算法仿真在Matlab 2016b 平臺運行，所用計算機操作系統為Windows 10。硬件配置：64 位，CPU為2.3 GHz 運算頻率，8 GB 運行內存。仿真實驗中，無人機群有2 個領導者，4 個跟隨者。跟隨者為式（9）所示。領導者在本文中可以看成給定的跟蹤目標，所以不設計控制器進行控制。無人機群編隊系統的目標編隊如圖1 所示。

圖1 目標編隊結構Fig. 1 Structure of target formation

領導者的初始位置為q1=（10，10）T，q2=（10，-10）T。跟隨者的初始位置為q3=（10，30）T，q4=（-30，-30）T，q5=（-30，30）T，q6=（-10，-30）T。跟隨者的期望 方 向 為

接下來的仿真實驗分為2 個部分，首先是速度為0 的無人機群固定編隊控制，然后是速度不為0的無人機群速度跟蹤編隊控制。

情形1. 無人機群編隊系統的速度為0，即vc= 0，控制器的控制參數為kp= 5，ki= 0。仿真結果如圖2，3 所示。

圖2 固定編隊控制效果Fig. 2 Control Effect of fixed formation

由圖2 可以看出，基于方向信息的控制器能很好地完成固定編隊控制效果，并且由圖3 可以看出，方向誤差最終趨近于0。其中跟隨者3，4，5，6 的方向誤差分別為

圖3 固定編隊跟隨者方向誤差Fig. 3 Followers’ bearing errors of fixed formation

情形2. 無人機群編隊系統的期望跟蹤速度為1 m/s，即vc= 1 ms。控 制 器 的 參 數 為kp= 5，ki=0.3。仿真結果為圖4，5 所示。

圖4 速度跟蹤編隊控制效果Fig. 4 Control effect of velocity-tracking formation

圖5 速度跟蹤編隊控制跟隨者方向誤差Fig. 5 Followers’ bearing errors under velocity-tracking formation contol

由圖4，5 可以看出，只基于方向信息的無人機群速度跟蹤編隊控制系統能完成速度跟蹤編隊控制任務，并且系統的方向誤差最終趨近于0。

4 結束語

無人機群編隊控制中，基于方向信息的控制策略具有不受通信限制、負載小的優點而被研究人員重視。本文針對無人機群系統的移動編隊控制提出了基于方向信息的分布式控制策略，設計了比例積分控制器完成了移動編隊的控制目標。控制器的設計過程中，采用基本Lyapunov 方法驗證了控制系統的穩定性，從而大大提高了控制策略的應用擴展性。最后通過仿真實驗完成了控制策略的有效性證明。需要注意的是，本文研究的控制對象為簡單的單積分器無人機群系統，移動為定值，后續將考慮研究非線性無人機群復雜環境的編隊控制和變速度跟蹤編隊控制策略。