測電阻方法探微

成金德

測電阻是中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的核心內(nèi)容，是歷年高考實(shí)驗(yàn)部分的重頭戲.測量電阻時，根據(jù)問題的要求需要設(shè)計(jì)測量電路、選擇電表量程、選用滑動變阻器和熟練應(yīng)用相關(guān)的物理規(guī)律，以測電阻為線索的實(shí)驗(yàn)問題可以考查學(xué)生的實(shí)驗(yàn)遷移能力、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能力和知識應(yīng)用能力.為此，弄清和掌握測量電阻的方法至關(guān)重要，下面就此問題作詳盡的分析和探討.

一、伏安法

測出被測電阻兩端的電壓U和通過被測電阻的電流I，根據(jù)歐姆定律I=UR可求出被測電阻的阻值R=UI.這種方法叫做伏安法.

1.常規(guī)方法

（1）電流表外接法

如圖1所示是一種用伏安法測電阻的電路，叫做電流表外接法.

在電流表外接法中，由于伏特表的分流作用，使電流表的測量值大于通過被測電阻的真實(shí)值，由歐姆定律得：

R測=U測I測=URIR+IV=RVRV+Rx·Rx，所以，測量值小于真實(shí)值.

可見，用電流表外接法測量電阻時，必須滿足RV》Rx的條件，即此種接法適合于測量小電阻.

（2）安培表內(nèi)接法．

如圖2所示是另一種用伏安法測電阻的電路，叫做電流表內(nèi)接法.

在電流表內(nèi)接法中，由于電流表的分壓作用，使電壓表的測量值大于被測電阻兩端的真實(shí)電壓，由歐姆定律得：

R測=U測I測=UR+UAI測=Rx+RA，所以，測量值大于真實(shí)值.

可見，用電流表內(nèi)接法測量電阻時，必須滿足Rx》RA的條件，

即此種接法適合于測量大電阻.

【例1】（2020·全國卷Ⅰ）某同學(xué)用伏安法測量一阻值為幾十歐姆的電阻Rx，所用電壓表的內(nèi)阻為1 kΩ，電流表內(nèi)阻為05 Ω.該同學(xué)采用兩種測量方案，一種是將電壓表跨接在圖3所示電路的O、P兩點(diǎn)之間，另一種是跨接在O、Q兩點(diǎn)之間.測量得到如圖4所示的兩條U-I圖線，其中U與I分別為電壓表和電流表的示數(shù).回答下列問題：

（1）圖4中標(biāo)記為Ⅱ的圖線是采用電壓表跨接在__________（選填“O、P”或“O、Q”）兩點(diǎn)的方案測量得到的.

（2）根據(jù)所用實(shí)驗(yàn)器材

和圖4可判斷，由圖線__________（選填“Ⅰ”或“Ⅱ”）得到的結(jié)果更接近待測電阻的真實(shí)值，結(jié)果為__________?Ω（保留1位小數(shù)）.

（3）考慮到實(shí)驗(yàn)中電表內(nèi)阻的影響，需對（2）中得到的結(jié)果進(jìn)行修正，修正后待測電阻的阻值為__________?Ω（保留1位小數(shù)）.

分析：（1）若將電壓表接在O、P之間，根據(jù)歐姆定律得：I=URV+URx

即：U=RxRVRx+RV·I，由一次函數(shù)關(guān)系可知圖線的斜率為：k1=RxRVRx+RV.

若將電壓表接在O、Q之間，根據(jù)歐姆定律得：

Rx=U-IRAI

解得：U=I（Rx+RA）

由一次函數(shù)關(guān)系可知圖線的斜率為：k2=（Rx+RA）

顯然，k2>k1，從圖像中看出，kⅠ>kⅡ

所以，圖線Ⅱ是采用電壓表跨接在O、P之間的方案得到的.

（2）因?yàn)榇郎y電阻是阻值為幾十歐姆的電阻，通過圖線的斜率大致可估算出待測電阻為50 Ω左右，由于RVRx

說明更符合Rx》RA的條件，所以電壓表應(yīng)跨接在O、Q之間，所以選擇圖線I得到的結(jié)果較為準(zhǔn)確.

（3）根據(jù)圖像可知：Rx=3V-1V596 mA-20 mA≈505 Ω

考慮電流表內(nèi)阻的影響，則修正后的待測電阻為：

Rx′=Rx-rA=505 Ω-05 Ω=500 Ω.

2.電表的反常規(guī)用法

已知內(nèi)阻的電流表（或電壓表），它們不僅可以測量電流（或電壓），而且可以測量電壓（或電流），也即電流表可當(dāng)作電壓表使用（或電壓表可當(dāng)作電流表使用），從而實(shí)現(xiàn)電表的反常規(guī)應(yīng)用.

【例2】某同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室測量某一阻值大約90 Ω左右的電阻，現(xiàn)有如下的實(shí)驗(yàn)器材可供選擇：

A.電流表A1（量程50 mA，內(nèi)阻r1=100 Ω）

B.電流表A2（量程150 mA，內(nèi)阻r2大約為40 Ω）

C.電流表A3（量程3 A，內(nèi)阻r3大約為01 Ω）

D.滑動變阻器R（0～20 Ω，額定電流2 A）

E.直流電源E（9 V，內(nèi)阻不計(jì)）

F.導(dǎo)電元件Rx

G.開關(guān)一只，導(dǎo)線若干

為精確地測量該電阻的阻值，請選擇合適的儀器，畫出實(shí)驗(yàn)電路.

分析：考慮到實(shí)驗(yàn)器材中缺少電壓表，但由于電流表A1的內(nèi)阻已知，且電流表A1能測最大電壓為：U?max?=50×10?-3?×100 V=5 V，顯然，可以滿足利用電流表測量電壓的實(shí)驗(yàn)要求.在測量過程中流過電阻的電流最大值為I?max?=U?max?R=5 V90 Ω=56 mA，則電流表應(yīng)選用A2.為了多測量數(shù)據(jù)而減小誤差，滑動變阻器需應(yīng)用分壓式接法，由于電流表A2的內(nèi)阻未知，則選用電流表外接法，電路圖如圖5所示.

3.電阻箱（或定值電阻）代替電表

如果能測出電阻箱（或定值電阻）兩端的電壓，根據(jù)歐姆定律可求出通過電阻箱（或定值電阻）的電流，即此時可將電阻箱（或定值電阻）當(dāng)作電流表使用；同理，如果能測出通過電阻箱（或定值電阻）的電流，根據(jù)歐姆定律可求出電阻箱（或定值電阻）兩端的電壓，即此時可將電阻箱（或定值電阻）當(dāng)作電壓表使用.

【例3】要測量電壓表V1的內(nèi)阻R?V1?，其量程為0～2 V，內(nèi)阻約為2 kΩ.實(shí)驗(yàn)室提供的元件有：

A.電流表A，量程為0～06 A，內(nèi)阻約為01 Ω；

B.電壓表V2，量程為0～5 V，內(nèi)阻約為5 kΩ；

C.定值電阻R1，阻值為30 Ω；

D.定值電阻R2，阻值為3 kΩ；

E.滑動變阻器R3，最大阻值為100 Ω，允許通過的最大電流為15 A；

F.電源E，電動勢為6 V，內(nèi)阻約為05 Ω；

G.開關(guān)S一個，導(dǎo)線若干.

請?jiān)O(shè)計(jì)一個測量電壓表V1內(nèi)阻R?V1?的實(shí)驗(yàn)電路.要求測量盡量準(zhǔn)確，實(shí)驗(yàn)必須在同一電路中，且在不增減元件的條件下完成.試畫出符合要求的實(shí)驗(yàn)電路圖.

分析：由于電壓表的內(nèi)阻較大，流過電壓表的電流很小，因此，使用電流表直接測量通過電壓表V1的電流，電流表指針偏轉(zhuǎn)很微弱，讀數(shù)誤差較大.

這樣，只能讓定值電阻與待測電壓表V1串聯(lián)起來，如果能測出定值電阻兩端的電壓，由歐姆定律求出通過定值電阻的電流，則通過被測電壓表V1的電流就知道了.又因?yàn)殡妷罕鞻1能讀出自身兩端的電壓，這樣，就可以測出電壓表V1的電阻.

當(dāng)電壓表V1、V2同時滿偏時，由于電壓表V1允許通過的最大電流約為1 mA，則R?定值?=U2-U1I?V1?=3 kΩ.可見，定值電阻應(yīng)選用R2，又因?yàn)楸粶y電壓表內(nèi)阻較大，而滑動變阻器阻值較小，則控制電路要用分壓式接法.所以，實(shí)驗(yàn)電路如圖6所示.

二、等效法

測量某電阻時，若將電阻箱替換待測電阻，如果替換前后對電路產(chǎn)生的效果相同，則待測電阻的阻值與電阻箱的有效電阻相等.

1.電流等效法

如圖7所示的電路，閉合開關(guān)S1、S2，調(diào)節(jié)滑動變阻器的滑片P，使電流表指針指在適當(dāng)?shù)奈恢茫浵码娏鞅淼氖緮?shù)I.

再斷開開關(guān)S2，閉合開關(guān)S3，保持滑動變阻器的滑片P位置不變，調(diào)節(jié)電阻箱的阻值，使電流表的示數(shù)仍為I.

顯然，此時電阻箱連入電路的有效阻值R0與未知電阻Rx的阻值相等，即Rx＝R0.

2.電壓等效法

如圖8所示的電路，閉合開關(guān)S1、S2，調(diào)節(jié)滑動變阻器的滑片P，使電壓表指針指在適當(dāng)?shù)奈恢茫浵码妷罕淼氖緮?shù)U.

再斷開S2，閉合S3，保持滑動變阻器的滑片P位置不變，調(diào)節(jié)電阻箱的阻值，使電壓表的示數(shù)仍為U.

顯然，此時電阻箱連入電路的有效阻值R0與未知電阻Rx的阻值相等，即Rx＝R0.

【例4】某同學(xué)準(zhǔn)備把量程為0～500 μA的電流表改裝成一塊量程為0～20 V的電壓表.他為了能夠更精確地測量電流表的內(nèi)阻，設(shè)計(jì)了如圖9所示的實(shí)驗(yàn)電路，圖中各元件及儀表的參數(shù)如下：

A.電流表G1（量程0～10 mA，內(nèi)電阻約100 Ω）

B.電流表G2（量程0～500 μA，內(nèi)電阻約200 Ω）

C.電池組E（電動勢30 V，內(nèi)電阻未知）

D.滑動變阻器R（0～25 Ω）

E.電阻箱R1（總阻值9 999 Ω）

F.保護(hù)電阻R2（阻值約100 Ω）

G.單刀單擲開關(guān)S1，單刀雙擲開關(guān)S2

（1）實(shí)驗(yàn)中該同學(xué)先合上開關(guān)S1，再將開關(guān)S2與a相連，調(diào)節(jié)滑動變阻器R，當(dāng)電流表G2有某一合理的示數(shù)時，記下電流表G1的示數(shù)I；

然后將開關(guān)S2與b相連，保持__________不變，調(diào)節(jié)__________，使電流表G1的示數(shù)仍為I時，讀取電阻箱的讀數(shù)r.

（2）由上述測量過程可知，電流表G2內(nèi)阻的測量值rg＝__________.

（3）若該同學(xué)通過測量得到電流表G2的內(nèi)阻為190 Ω，他必須將一個__________kΩ的電阻與電流表G2串聯(lián)，才能改裝為一塊量程為20 V的電壓表.

分析：應(yīng)用等效法，只要保持滑動變阻器的滑片位置不變，調(diào)節(jié)電阻箱R1的阻值，使得電流表G1的示數(shù)仍為I時，則此時電阻箱的阻值與電流表G2內(nèi)阻相等，即電流表G2內(nèi)阻的測量值rg=r.

電流表G2再串聯(lián)一個電阻即可改裝成一個電壓表，由歐姆定律得：U=Ig（rg+R）

即：R=UIg-rg=2500×10?-6??Ω-190 Ω=3810 Ω

三、半偏法

1.電流表半偏法

如圖10所示的電路，斷開開關(guān)S2，閉合開關(guān)S1，調(diào)節(jié)滑動變阻器R1，使電流表的示數(shù)等于電流表的量程Im；保持滑動變阻器R1的阻值不變，閉合開關(guān)S2，調(diào)節(jié)電阻箱R2，使電流表的示數(shù)等于?12Im?，若滿足R1RA，則此時電阻箱R2的有效阻值約等于電流表的內(nèi)阻，即?RA＝?R2.

由于在閉合開關(guān)S2時，總電路的電阻減小，導(dǎo)致總電流增大，雖然此時的電流表半偏，但流經(jīng)R2的電流比電流表所在支路的電流大，

所以，R2的電阻實(shí)際上比電流表的電阻小，所以，這樣測出的電流表的內(nèi)阻偏小.

2.電壓表半偏法

如圖11所示的電路，先將電阻箱R2的阻值調(diào)零，閉合開關(guān)S，調(diào)節(jié)滑動變阻器R1，使電壓表的示數(shù)等于它的量程Um；然后，保持滑動變阻器R1的滑片位置不變，調(diào)節(jié)電阻箱R2，使電壓表示數(shù)等于12Um，讀出此時電阻箱R2的有效阻值，若滿足R1RV，則此時電壓表的內(nèi)阻可認(rèn)為?RV＝?R2.

當(dāng)調(diào)節(jié)電阻箱R2，使電壓表的示數(shù)等于12Um時，由電路知識可知，此時電阻箱R2兩端的電壓大于12Um，即R2>RV，可見，這樣測出的結(jié)果，將造成電壓表RV的測量值偏大.

【例5】實(shí)驗(yàn)室可選用器材：①電阻箱1，最大阻值為999999 Ω；②電阻箱2，最大阻值為2 kΩ：③電源E1，電動勢約為2 V，內(nèi)阻不計(jì)；④電源E2，電動勢約為6 V.內(nèi)阻不計(jì)：另外有開關(guān)2個，導(dǎo)線若干，電流表的量程為1 mA，內(nèi)阻約100 Ω.現(xiàn)采用如圖12所示的電路測量電流表的內(nèi)阻rg.

（1）實(shí)驗(yàn)步驟的順序?yàn)???；

①斷開S2，合上S1，調(diào)節(jié)R，使電流表A滿偏；

②再合上S2，調(diào)節(jié)R1，使電流表A半偏，則rg=R1；

③斷開S1，S2，將R調(diào)到最大.

（2）可變電阻R1應(yīng)選擇①②中的???（填“①”或“②”）.為使結(jié)果盡可能準(zhǔn)確，可變電阻R應(yīng)選???（填“①”或“②”），電源E應(yīng)選???（填“③”或“④”）；

（3）認(rèn)為內(nèi)阻rg=R1，此結(jié)果與rg的直實(shí)值相比???（填“偏大”“偏小”或“相等”）.

分析：（1）按半偏法測電流表內(nèi)阻的原理，其步驟為③?①②.

（2）為了減小實(shí)驗(yàn)的誤差，應(yīng)使電阻R的阻值盡量大些，最好使電阻R大于電流表內(nèi)阻rg100倍以上，所以電阻R選電阻箱1，由閉合電路的歐姆定律估算電源的電動勢為：?E=Im（rg+R），?顯然，為使R盡量大一點(diǎn)，則電源必須?選E2.

（3）閉合S2，由于多并聯(lián)了電阻R1，則總電路中的電流增大了，電流表電流為12Ig，但流過R1的電流將大于12Ig，因此，R1的電阻小于rg.

四、電橋法

如圖13所示是電橋法測電阻的的實(shí)驗(yàn)電路.圖中Rx是待測電阻，R是電阻箱，R1、R2是已知阻值的定值電阻.閉合開關(guān)S，靈敏電流計(jì)的指針發(fā)生偏轉(zhuǎn).再調(diào)整電阻箱R的阻值為R0時，使得靈敏電流計(jì)的示數(shù)為零.

當(dāng)靈敏電流計(jì)的示數(shù)為0時，說明靈敏電流計(jì)兩端電勢相等，根據(jù)串聯(lián)電路電流相等的特點(diǎn)，可得：

U?R1?R1=U?R2?R2，URR0=U?Rx?Rx

解得：Rx=R2R0R1

由此可知，只要知道R1、R2、R0，利用電橋法可以計(jì)算出待測電阻Rx.

【例6】某同學(xué)利用如圖14所示的電路測量一微安表（量程為100 μA，內(nèi)阻大約為2 500 Ω）的內(nèi)阻.可使用的器材有：兩個滑動變阻器R1、R2（其中一個阻值為20 Ω，另一個阻值為2 000 Ω）；電阻箱Rz（最大阻值為99 9999 Ω）；電源E（電動勢約為15 V）；單刀開關(guān)S1和S2.C、D分別為兩個滑動變阻器的滑片.

（1）完成下列填空：

①R1的阻值為?????Ω（填“20”或“?2 000?”）.

②為了保護(hù)微安表，開始時將R1的滑片C滑到接近圖14中的滑動變阻器的?????端（填“左”或“右”）對應(yīng)的位置；將R2的滑片D置于中間位置附近.

③將電阻箱Rz的阻值置于2 5000 Ω，接通S1.將R1的滑片置于適當(dāng)位置，再反復(fù)調(diào)節(jié)R2的滑片D的位置.最終使得接通S2前后，微安表的示數(shù)保持不變，這說明S2接通前B與D所在位置的電勢????（填“相等”或“不相等”）.

④將電阻箱Rz和微安表位置對調(diào)，其他條件保持不變，發(fā)現(xiàn)將Rz的阻值置于2 6010 Ω時，在接通S2前后，微安表的示數(shù)也保持不變.待測微安表的內(nèi)阻為???Ω（結(jié)果保留到個位）.

（2）寫出一條提高測量微安表內(nèi)阻精度的建議：

分析：（1）①要將滑動變阻器R1接成分壓電路，則必須選擇阻值較小的20 Ω的滑動變阻器；

②為了保護(hù)微安表，開始時將R1的滑片C滑到接近圖14中滑動變阻器的左端對應(yīng)的位置；

③將電阻箱Rz的阻值置于2 5000 Ω，接通S1；將R1的滑片置于適當(dāng)位置，再反復(fù)調(diào)節(jié)R2的滑片D的位置；最終使得接通S2前后，微安表的示數(shù)保持不變，這說明S2接通前后在BD中無電流流過，可知B與D所在位置的電勢相等；

④設(shè)滑動變阻器R2的滑片D兩側(cè)電阻分別為R?21?和R?22?，因B與D所在位置的電勢相等，可知；R?z1?R?21?=RAR?22?；同理當(dāng)Rz和微安表對調(diào)后，仍有：RAR?21?=R?z2?R?22?；聯(lián)立兩式解得：RA=R?z1?R?Z2?=2 500×2 601 Ω=2 550 Ω.

（2）為了提高測量精度，調(diào)節(jié)R1上的分壓，盡可能使微安表接近滿量程.

五、歐姆表法

如圖15所示是歐姆表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)被測電阻Rx接入電路后，根據(jù)閉合電路的歐姆定律可求出通過表頭的電流為I=ERg+R1+r+Rx.由此可知，對給定的歐姆表，電路中的電流I與被測電阻Rx具有一一對應(yīng)的關(guān)系，所以，事先在刻度盤上直接標(biāo)出電阻值，由表頭指針的位置就可以知道Rx的大小.

1.直接測量法

【例7】如圖16所示，某同學(xué)對一段金屬導(dǎo)體粗測電阻，金屬導(dǎo)體的橫截面為空心的等邊三角形，內(nèi)三角形為中空.為了合理選用器材設(shè)計(jì)測量電路，他先用多用表的歐姆擋“×1”按正確的操作步驟粗測其電阻，指針如圖乙，則粗測結(jié)果應(yīng)記為_______ ?Ω.

分析：從歐姆表的刻度盤上讀出的數(shù)據(jù)是6，則該金屬導(dǎo)體的電阻為：

R=6×1 Ω＝6 Ω.

2.間接測量法

【例8】（2000年理科綜合）電阻R1，R2，R3，連結(jié)成如圖17圖示的電路，放在一個箱中（虛框所示），箱面上有三個接線柱A、B、C請用多用表和導(dǎo)線設(shè)計(jì)

一個實(shí)驗(yàn)，通過A、B、C的測量，確定各個電阻的阻值，要求

寫出實(shí)驗(yàn)步驟并用所測值表示電阻R1、R2、R3.

分析：為了測出三個電阻的阻值，可將導(dǎo)線短接電路，使其中的一個電阻被短路，再用多用表測出另二個電阻并聯(lián)的總電阻.

用導(dǎo)線短接BC，測出A、B兩點(diǎn)間的電阻值為Rx，則：

1Rx=1R1+1R2;

用導(dǎo)線短接AB，測出B、C兩點(diǎn)間的電阻值為Ry，則：1Ry=1R2+1R3;

用導(dǎo)線短接AC，測出A、C兩點(diǎn)間的電阻值為Rz，則：1Rz=1R1+1R3;

解以上三式得：R1=2RxRyRzRxRy+RyRz-RxRz，R2=2RxRyRzRyRz-RxRy+RxRz，R3=2RxRyRzRxRy+RxRz-RyRz.

六、規(guī)律法

1.應(yīng)用閉合電路的歐姆定律

【例9】（1999年上海高考）現(xiàn)有一阻值為100Ω的定值電阻、一個電鍵、若干根導(dǎo)線和一個電壓表，該電壓表表面上有刻度但無刻度值，要求設(shè)計(jì)一個能測定某電源內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)方案，已知電壓表內(nèi)阻很大，電壓表量程大于電源電動勢，電源內(nèi)阻約為幾歐，要求：

（1）在右邊方框中畫出實(shí)驗(yàn)電路圖；

（2）簡要寫出完成接線后的實(shí)驗(yàn)步驟；

（3）寫出用測得的量計(jì)算電源內(nèi)阻的表達(dá)式r=?_____.

分析：由于電壓表表盤刻度是均勻的，說明電壓表兩端的電壓與電壓表指針偏轉(zhuǎn)數(shù)成正比.

所以，可設(shè)計(jì)如圖18所示的實(shí)驗(yàn)電路，設(shè)電壓表偏轉(zhuǎn)1格代表的電壓值為U0，當(dāng)S斷開時，記下電壓表偏轉(zhuǎn)格數(shù)N1，即得電源電動勢為N1U0；當(dāng)S閉合時，記下電壓表偏轉(zhuǎn)格數(shù)N2，則電阻R兩端的電壓為N2U0，由閉合電路歐姆定律得流過R的電流：

I=ER+r=N1U0R+r

R兩端的電壓為：U=I·R=N1U0R+r·R，U=N2U0

解得：r=N1-N2N2·R

2.應(yīng)用并聯(lián)電路分流原理

【例10】（1999年全國高考）如圖19所示為測量電阻的電路，Rx為待測電阻，R的阻值已知，R′為保護(hù)電阻，阻值未知，電源E的電動勢未知，S1、S2均為單刀雙擲開關(guān).A為電流表，其內(nèi)阻不計(jì).

測量Rx的步驟為：將S2向d閉合，S1向a閉合，記下

電流表讀數(shù)I1，再將S2向c閉合，S1向__________閉合，

記下電流表讀數(shù)I2.

計(jì)算Rx的公式是Rx=__________.

分析：該實(shí)驗(yàn)通過開關(guān)S1、S2使Rx和R組成并聯(lián)電

路，電流表A分別測出通過Rx和R的電流，從而可得Rx的值.

將S2向d閉合，S1向a閉合，通過電流表的電流I1即為通過Rx的電流，再將S2向c閉合，S1向b閉合，通過電流表的電流I2即為通過R的電流，兩種情況下，Rx和R組成同樣的并聯(lián)電路，由并聯(lián)電路的分流原理得：

I1I2=RRx，整理后得：Rx=I1·RI2.

總之，在測量電阻時，不僅要靈活選用測量電阻的方法，而且要弄清具體的實(shí)驗(yàn)條件，這樣，就會有效地測出被測電阻的阻值，達(dá)到實(shí)驗(yàn)的目的.

責(zé)任編輯??李平安