萊夫謝茨及其對拓撲學的貢獻

徐佳文

20世紀初，美國數學一躍而起，直追發達的歐洲。其中美國的拓撲學派包攬許多數學大家，所羅門·萊夫謝茨（Solomon Lefschetz）就是其中重要分支“代數拓撲學”學派的主要傳人之一。萊夫謝茨在普林斯頓奮斗了30年，從一名孤軍奮戰、喪失信心的殘疾青年，成為眾人敬重的拓撲學大家，并帶領美國拓撲學派走向了世界數學的中心。他的許多著作都成為了拓撲學的重要文獻，比如《拓撲學》（Topology， 1930）和《代數拓撲學》（Algebraic Topology， 1942），特別是后者，它是第一本以“代數拓撲學”命名的著作，在較長一段時間內成為經典。

不平凡的經歷

萊夫謝茨1884年9月3日出生于莫斯科，猶太人。他的父親亞歷山大·萊夫謝茨（Alexander Lefschetz）和母親薇拉（Vera）都是土耳其公民。由于父親做生意需要經常去波斯出差，所以決定一家人定居巴黎，他認為在那里孩子可以接受更好的教育。因此萊夫謝茨的第一語言是法語，俄語是他十幾歲時才開始學的[1]。

1902年至1905年，萊夫謝茨在巴黎中央藝術與制造學院（Ecole Centrale）接受工程師培訓，并在那里聽了皮卡德（E. Picard）和阿佩爾（P. Appell）的講座，自此對工程學產生了濃厚的興趣。1905年，他獲得了“藝術與制造工程師”學位，這是他為人所知的第一件事。然而，由于萊夫謝茨還不是法國公民，他很難在法國獲得一個學術職位。

1905年，萊夫謝茨又移民到美國。開始他在鮑德溫火車頭廠工作了一段時間，1907年到1910年，他在匹茲堡的西屋電氣公司工作。1907年11月的一天，他不幸遭遇了一次實驗室事故：變壓器爆炸燒毀了他的雙手。這不僅造成他身體上的傷痛，同樣對他的精神造成了重大傷害。在醫院住了一段時間后，他不得不放棄工程師的事業，接受了需要安裝人工假肢的事實，這也是他后來轉戰投入數學事業的原因。失去雙手的萊夫謝茨并沒有自暴自棄，依靠強大的意志力和不懈的努力，他成為了克拉克大學的研究生，也是在這里于1911年獲得博士學位[2]。

在克拉克大學讀研究生時，萊夫謝茨遇到了同樣喜歡在圖書館學習的數學系學生海耶斯（A. B. Hayes）。他們于1913年7月3日結婚，一年后他于1914年6月17日成為美國公民。他的妻子幫助他克服障礙，在工作中鼓勵他，抑制他好斗的性情，也正因有妻子的陪伴和鼓勵，才使萊夫謝茨慢慢重拾信心擺脫陰影。他在獲得了數學博士學位后，又在中西部的大學獲得一系列職位：內布拉斯加大學講師（1911—1913），堪薩斯大學講師（1913—1916）、助理教授（1916—1919）、副教授（1919—1923）和教授（1923—1925）。那段歲月是萊夫謝茨一生中最重要的時期之一，在離開堪薩斯去普林斯頓前，他對代數幾何學巨大貢獻的主要部分已經完成。在來中西部之前，他只是一個無名小卒，但在14年后他即將離開時，已經成為當時最杰出的幾何學家之一。萊夫謝茨在書中提到了那些年的經歷對他數學發展的重要性：“我在完全與世隔絕的西方生活的那些年，對我的發展起到了‘燈塔的作用。”[3]從1924年到1938年，他被任命為普林斯頓大學的教師。

在1920年代和1930年代，萊夫謝茨得以盡情享受對旅行的熱愛，他多次前往歐洲國家旅行，特別喜歡訪問法國、意大利和蘇聯。然而，第二次世界大戰的爆發使到歐洲旅行幾乎成為不可能，所以他選擇了墨西哥，并于1944年首次訪問墨西哥國立大學。他最終養成了每年夏天都要在那里度過幾個月的習慣。萊夫謝茨對墨西哥的數學做出了重要貢獻，他幫助那里建立了一所繁榮的學校。1964年，萊夫謝茨因其對墨西哥數學的貢獻，從馬托斯（L. Mateos）總統那里獲得了“阿吉拉·阿茲特克（Aguila Azteca）勛章”。

二戰期間，萊夫謝茨在美國海軍部擔任顧問。除了美國數學學會和國家科學院，他還是美國哲學學會成員，歐洲許多數學學會的榮譽成員，也是巴黎科學院、米蘭倫巴多科學院、馬德里科學院、倫敦數學學會、皇家學會的外國成員。1956年，他獲得了德林塞學院頒發的安東尼奧·費爾特利內利國際獎。此外，萊夫謝茨還被克拉克大學、布拉格大學、墨西哥大學、巴黎大學、布朗大學和普林斯頓大學授予榮譽學位。1964年，約翰遜總統授予他國家科學獎章，以表彰他在發展數學和培養數學家方面不屈不撓的領導能力，在代數幾何和拓撲學方面的基礎論文，以及促進非線性控制過程中必要的研究。1972年10月5日，萊夫謝茨在普林斯頓患病去世，享年88歲。

對拓撲學發展的貢獻

萊夫謝茨是代數拓撲學的主要研究者之一。他在代數幾何和拓撲學方面完成了幾項創造性基礎研究工作，最著名的工作是將拓撲學與代數幾何聯系起來，此外還對微分方程、控制理論和非線性力學等數學領域做出了重要貢獻。

早期代數拓撲是怎樣開始的呢？萊夫謝茨認定可將起點放在歐拉特性上，也許也可以放在默比烏斯帶上，最準確的應該是放在黎曼曲面上[4]。在1930年代中期，代數拓撲學的成果開始顯著增加。“拓撲學”一詞來源于萊夫謝茨1930年寫的一篇專題論文的標題。他發展了交理論，包括流形的交環理論；他對各種同調理論，特別是相對同調、奇異同調和上同調，都做出了重要貢獻。

在他的文章《一篇數學自傳》（A Page of Mathematical Autobiography， 1968）中，萊夫謝茨解釋了他是如何開始將拓撲方法應用于代數曲面理論的。在閱讀了皮卡德的《分析之旅》（Analysis of the Journey）和西馬特（E. Cimarte）的《兩個獨立變量的代數函數理論》（Algebraic Function Theory for Two Independent Variables）后，他對數學的興趣由映射軌跡的代數性質轉向代數軌跡的內在性質，并在皮卡德和龐加萊文章的影響下，他建立了一個基本完整的代數曲面拓撲理論[5]，這一工作最終發表在1921年的《美國數學學會會刊》（Journal of the American Mathematical Society）中，并因此獲得了美國數學學會的博謝（Bocher）獎。1923年，他發表了關于緊致可定向流形的不動點定理，并在1926年的《美國數學學會會刊》上發表了他著名的《復形和流形的交與變換》（Intersections and Transformations of Complex and Manifolds）[6]。

萊夫謝茨的研究主要在于拓撲學，尤其在不動點類理論、對偶性和交理論方面都是一流的。萊夫謝茨所做的就是把這些早期的想法結合起來，并建立起一般形式。

萊夫謝茨提出，用拓撲問題代替定點幾何問題的基本步驟是：①識別一個維數為m的非奇異代數簇V是一個維數為2m的可定向拓撲流形；②復維數為r的任何子簇都定義了M（V）的2R循環。然后需要去證明M（V）中任意兩個維數為s和t的循環，它們可以替換為交集維數為2m-s-t的兩個同調循環τ和γ [7]。萊夫謝茨關于交理論的主要工作是在1925—1926年完成的，他在一系列論文中逐漸發展了這個理論，尤其在他的這幾篇文章——《流形的連續變換》（Continuos Transformation of Manifolds， 1923）《復形和流形的交與變換》——上得到體現。

1923年，萊夫謝茨用他的更原始的交理論得到了他的連續自變換的不動點公式的定向流形。然而，萊夫謝茨并不滿足于只給出絕對定向流形的這個公式，他后來在拓撲學上的大部分工作都是研究更一般的空間，在這些空間中他可以得到一些不動點定理。

最后必須提到萊夫謝茨對局部連通理論的貢獻。主要是要找到比流形更一般的空間類型，使在這一空間中可以用對偶定理構造同調理論，萊夫謝茨的貢獻主要是討論了X空間的局部連通性。在此基礎上，萊夫謝茨又證明了不動點定理對于緊湊的同調局部連通空間是有效的[8]。

總的來說，萊夫謝茨對代數拓撲的主要貢獻是他的流形不動點定理，他發展了廣義局部連通空間的奇異鏈復合體的代數機制、相對同調和對偶理論，得到了相應的不動點公式。他寫了大量論文來推理從封閉流形到相對流形，到一般復形，到局部連通空間最終形式的過程。萊夫謝茨在代數簇拓撲方面的工作的第一個應用是第二類積分理論。他在這一課題上的一些工作先于變體拓撲學的工作，而且很明顯，他是為了在積分研究中取得進展才被引上拓撲學研究的。在拓撲學方向，萊夫謝茨出版了兩本在當時內容非常全面的著作，分別是1930年的《拓撲學》和1942年的《代數拓撲學》。

在對代數幾何和代數拓撲的廣泛研究之后，萊夫謝茨進入了第三個領域，在1946年出版了專著《微分方程講座》[9]。他以孜孜不倦的精神和熱情，先后參加在普林斯頓大學、普林斯頓高等研究院、布朗大學的杰出的研究小組進行工作。從普林斯頓大學退休后，他還在墨西哥大學擔任數學教授，繼續從事這項研究，包括積分問題等。萊夫謝茨研究數學延續了約60年，他的出版物大約有134多項，足以寫一部跨越半世紀的數學歷史記錄。

萊夫謝茨及普林斯頓學派

二戰期間，普林斯頓學派興起，經過不斷的招賢納士、創新研究，成為世界上遠近聞名的數學中心，許多國家的數學家都慕名而來進修學習，可以說普林斯頓學派的興起是美國數學崛起的重要原因。學派創始人是維布倫（O. Veblen）和范因（H. B. Fine）。維布倫1905年開始到普林斯頓任教，對幾何學頗有研究。范因1885年就定居普林斯頓，任普林斯頓大學數學系主任。開始普林斯頓學派較為熟知的是代數幾何學和數理邏輯，后來逐漸過渡到拓撲學。拓撲學起初是在歐洲德語區發展的，柏林、格丁根、萊比錫、慕尼黑和維也納的大學對拓撲學的發展有特別重要的作用。萊夫謝茨和斯廷羅德（N. Steenrod）、莫爾斯（M. Morse）、惠特尼（H. Whitney）、亞歷山大（J. Alexander）等數學家將拓撲學帶入普林斯頓大學。

普林斯頓大學的前身是“新澤西學院（College of New Jersey）”，當時它是由美國基督教為了培養長老創立的，從不搞科研。然而到了1896年，由于美國內戰，新澤西學院改名為普林斯頓大學。1903年威爾遜（W. Wilson）任普林斯頓大學的首任校長，他的首要任務是將教育計劃的質量與大學的升級地位相匹配，因此他廣納賢士，委任大量的優秀年輕人共同建設大學。比如剛剛在芝加哥大學博士畢業的青年數學家伯克霍夫（G. Birkhoff），穆爾（R. L. Moore）和維布倫[10]。后來伯克霍夫和穆爾相繼離開，維布倫留了下來。1924年萊夫謝茨花了一年時間訪問普林斯頓大學，訪問結束后被數學系主任范因邀請到普林斯頓當客座教授，后被任命為副教授，1928年轉為正教授。

1933年，普林斯頓高等研究院正式成立，簡稱IAS。從理論上講，這個計劃的實現是在維布倫思想的基礎上進行的。 這是一個高級研究所，不屬于普林斯頓大學，但位于普林斯頓的“范因樓”中，研究院也可以使用普林斯頓大學的設備，這樣兩個機構都認識到了合作的好處，研究院的研討會也向大學的人員開放，反之亦然。研究院由幾個學部組成，最先決定建立的是數學學部研究院。這導致大學的三個主要成員的遷移：維布倫、亞歷山大和馮·諾伊曼，但是大學依然為他們保留了職位，以便于繼續指導學生寫論文、獲得學位。

在普林斯頓，包括維布倫著作、亞歷山大關于對偶性的證明，加上萊夫謝茨的不動點等成就，使得普林斯頓學派成為世界上數學領域的領頭羊。在普林斯頓的活躍氣氛下，拓撲學研究方面出現了大量人才：維布倫的學生有托馬斯（T. Y. Thomas）和懷特黑德（H. C. Whitehead），萊夫謝茨在這一時期的優秀學生有史密斯（P. A. Smith）、塔克（A. W. Tucker）、沃爾曼（H. Wallman）和道克（C. H. Dowker）。1928年，亞歷山大發明了他著名的紐結多項式，而1930年，萊夫謝茨刊行了他具有一定影響的書，因為維布倫已經用了經典的《位置分析》為書名，萊夫謝茨就不得不改用一個新詞，因此書名為《拓撲學》。普林斯頓就是以這個光輝的事件為起點，將拓撲學延續至今。萊夫謝茨也成為了著名的普林斯頓拓撲學派的代表人物之一。

在普林斯頓，萊夫謝茨不僅有較強的學術研究能力，人際關系方面也相處得非常好。萊夫謝茨有兩位拓撲學的好友——亞歷山大和維布倫。亞歷山大和萊夫謝茨有著相似的興趣，所以經常聚在一起討論交流，熱烈探究不動點類理論及對偶定理方面的問題。

萊夫謝茨還精通多種語言，是一位才華橫溢的語言學家，精通俄語、英語、法語等，有時候還會在講座中做一些翻譯工作[11]。萊夫謝茨對自己有很高的要求，他把這些要求用到他的學生們身上，對他們嚴格要求，悉心培養，使普林斯頓數學系成為雇傭頂尖人才的最佳組織。當被問及普林斯頓大學是怎么雇傭自己時，他說：“當你處于頂峰時，你就沒有別的辦法了。”萊夫謝茨無論走到哪里，都在尋找優秀研究生，比如在訪問墨西哥期間就吸引了一些像阿德姆（J. Adem）這樣優秀的研究生去普林斯頓。中國拓撲學第一人江澤涵在1930年獲哈佛大學博士學位后，到普林斯頓大學做萊夫謝茨的研究助教，跟隨這位拓撲學大師研究不動點類理論。

萊夫謝茨是一位偉大的數學家，也是一位有趣的人。他以他機智、熱情的指導，對自己的學生和其他后世數學家都產生了巨大影響，為許多年輕人奠定了深厚的學科根基。他對數學和普林斯頓大學的影響非常大，非常積極，也深刻影響了美國的數學。

[1]Lawrence M. Solomon Lefschetz： An Appreciation in Memoriam. Bulletin of the American Mathematical Society， 1973， 79（4）： 663-675.

[2]Hodge W. Solomon Lefschetz， 1884-1972. Biographical Memoirs of Fellows of The Royal Society， 1973： 432-453.

[3]Hodge W. Solomon Lefschetz. Bulletin of the London Mathematical Society， 1973， 6（2）： 432-453.

[4]Mazur B. Applications of Algebraic Topology by Solomon Lefschetz. American Scientist， 1976， 64（4）： 460.

[5]Ewing J. Review： Solomon Lefschetz， Applications of Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society， 1924： 347-348.

[6]Lefschetz S. The Early Development of Algebaic Topology. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society， 1970， 1（1）： 1-48.

[7]Flexner W W. Review： Solomon Lefschetz， Algebraic Topology. Bulletin of the American Mathematical Society， 1943， 49（3）： 205-208.

[8]Tucker W A. Solomon Lefschetz： A Reminiscence. The Two-Year College Mathematics Journal， 1983， 14（3）： 22.

[9]Lefschetz S. The Early Development of Algebraic Geometry. American Mathematical Monthly， 1969， 76（5）： 451-460.

[10]LaSalle J P. Memorial to Solomon Lefschetz. IEEE Transactions on Automatic Control， 1973， 18（2）： 89-90.

[11]Fox R H. Algebraic Geometry and Topology： A Symposium in Honor of Solomon Lefschetz. American： Princeton University Press， 2015： 3-389.

關鍵詞：拓撲學 代數拓撲 普林斯頓 ■