地球隧道中的42分鐘

歐陽(yáng)志輝　陳海秀

摘? ?要：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的一種最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)，也是高中物理教學(xué)的重要知識(shí)。利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)基本理論，討論了假想的地球隧道中石頭的運(yùn)動(dòng)情況及運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

關(guān)鍵詞：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；萬(wàn)有引力；周期

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）3-0063-2

如果沿著地球直徑或其他地方打一條隧道，從隧道的一端釋放一塊石頭，石頭掉下去要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)另一端？如果忽略阻力、溫度變化、地球自轉(zhuǎn)等影響，假設(shè)地球質(zhì)量分布均勻，答案是42分鐘。關(guān)于為什么是42分鐘，下面運(yùn)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)分析。

1? ? 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

如圖1所示，小球套在光滑的桿上，彈簧的質(zhì)量遠(yuǎn)小于小球的質(zhì)量，這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子。如果把小球拉向一方后放手，小球在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦（余弦）函數(shù)的規(guī)律，即x=Asin（ωt+φ0）。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)同時(shí)也滿足F=-kx或F=-mω2x。

由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)，討論起來(lái)極不方便。為此，可引入一個(gè)連續(xù)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗谌我恢睆缴系姆诌\(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以平衡位置O為圓心，以振幅A為半徑作圓，這種圓就稱為參考圓。如圖2所示，設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在參考圓上以角速度ω沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，它在開(kāi)始時(shí)與O的連線跟x軸夾角為φ0，那么在時(shí)刻t，參考圓上的質(zhì)點(diǎn)與O的連線跟x軸的夾角就為φ=ωt+φ0，它在x軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)x=Acos（ωt+φ0）。

3? ? 近地衛(wèi)星

因此，石頭在隧道中的運(yùn)行時(shí)間為近地衛(wèi)星周期的一半，那就是42分鐘。

4? ? 其他隧道

如果在地球其他位置打通這樣的隧道（圖6），忽略空氣阻力、溫度變化、地球自轉(zhuǎn)等因素，認(rèn)為地球質(zhì)量分布均勻、隧道是光滑的，在隧道的一端放下一個(gè)物體，物體從這端到達(dá)另一端的時(shí)間是多少呢？答案還是42分鐘。這個(gè)結(jié)果也可用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)解釋。

由此可知，物體在x軸上的運(yùn)動(dòng)也是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而且它的圓頻率和直徑隧道的圓頻率是一樣的。因而，物體從一端到另一端的時(shí)間也是42分鐘。

（欄目編輯? ? 蔣小平）

收稿日期：2022-10-30

作者簡(jiǎn)介：歐陽(yáng)志輝（1980-），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中物理教學(xué)工作。