滲透類比思想 理清數學算理

趙振寧

[摘? 要] 類比的數學思想是促進新知與舊知的聯系，提升學習能力的一種重要手段. 在教學中通過學習活動的開展，使學生通過類比自主學習，自主辨析，理解數學的思想和本質，感悟數學學習的智慧.

[關鍵詞] 類比思想、數學算理、思維生長

數學的學習離不開類比的思想，通過已有的知識經驗進行類比和推理，自主學習新知，并進行辨析，提高學習的效率. 計算是數學學習的基礎，但是數學計算涉及的種類、符號、運算法則非常多，很多學生會混淆計算法則，導致計算錯誤. 究其原因在于教學過程中沒有采用類比的思想去學習計算法則，學生采用強行記憶的方法進行學習，容易發生混淆，在教學計算的過程中忽視算理，只是通過訓練加強學生的記憶，導致做題過程中的錯誤頻出. 筆者聽了一堂關于“去括號”的課，結合本人的思考對這一課的教學進行了改進，下面與各位同行進行交流.

教材內容分析

七年級代數學習的一個重要內容就是去括號的計算，在教材內容中通過具體的生活場景進行了引入，“小亮同學暑期勤工儉學售賣廢品，計算獲得的收入”. 通過列式計算發現是一個比較復雜的多項式計算，計算過程中需要將多項式中的括號去掉，進行化簡并計算，由此說明了去括號學習的背景和必要性. 教材中通過具體的數值代入進行計算，列舉特殊的值進行嘗試，然后通過猜想驗證的方法發現運算規律，使學生經歷了嘗試、觀察、猜想和驗證結論的過程，得到了運算的規律. 教材內容是通過由具體數值到通用公式、由特殊到一般的歸納或者類比推理的過程，進行概括和總結運算規律的法則的. 通過運算法則的實際運用，引導學生在活動中探究推理的過程，積累數學活動經驗，體會從具體算式到符號公式的推理過程，激發數學知識的生長點，發展學生思維品質[1].

教學設計與改進策略

1. 創設生活情境，吸引學生注意力

示例1? 在暑假的職業體驗活動中，小亮從每戶家庭以每斤0.4元的價格收購廢品，以每斤0.5元的價格賣出了b斤（b≤a）廢品，剩余的廢品以每斤0.2元的價格賣給了社區廢品回收處，請問小亮獲利多少元？

提出問題：列出多項式-0.4a+0.5b+0.2（a-b），可以繼續進行化簡計算嗎？

設計意圖：創設生活中的情境，進而得到一個含有括號的多項式，使學生認識到學習去括號計算的必要性，為接下來的學習做好鋪墊. 通過情境導入，學生能夠自然地融入，體會到去括號計算在生活中的使用非常廣泛，也展示出了本課的主要學習內容以及了解了為什么要學習這一內容.

設計不足：實際教學的時候發現導入的問題情境，很多學生無法解決，沒有能列出準確的算式，導致后續的活動無法開展. 情境創設的目的無法順利達成，這就表明這個問題超出了大部分學生的實際水平，也顯示了教師沒有能準確地估計到學生的學習程度，一些學生需要教師的幫助才能列出算式. 這個問題需要學生由生活化的問題抽象出數學模型，進而解決問題，在一開始的教學就提出這種難度的問題，很容易一下子讓學生感覺到困難，從而影響了接下來學習的積極性，影響到課堂的實際教學效果.

改進設計：

計算：（1）+

+;（2）-

+;（3）3+（a-2）;（4）a-（a-2）.

改進意圖：本課的學習重點是學習去括號的運算法則，其本質是在數字運算的基礎上探究符號的運算. 數字計算具有很多類似的地方，運算的法則也相類似，因此可以讓學生在計算的基礎上進行觀察和類比. 例2中的四個運算式，第（1）、（2）題是具體數字的運算，學生較為熟悉，可以運用之前學過的運算法則通過先計算括號內，再進行運算，也可以把括號去掉后再進行計算. 這里的計算是通過減法的運算法則，即a-b-c=a-（b+c），通過計算的過程，學生可以感受到去括號計算和先計算括號內再進行計算，兩種方式計算的順序是不一樣的，以此感受到去括號可以使運算簡便，提高運算的速度，是數學運算的需要. 第（3）、（4）題以代數式的形式出現，讓學生思考是否可以直接去掉括號進行計算，在前面計算數字的基礎上，感受去括號的相同方法，符合學生的認知特點，引發學生對數式去括號的認知沖突，感受去括號計算的必要性. 在這里可以逐步介紹改變運算順序的重要性，以及括號和括號前符號的功能，使學生認識到要將括號內的代數式看作一個整體，加或者減括號內的整體，為下一步歸納去括號的運算法則奠定基礎.

2. 探究過程

示例2? 填表

[a b c a+（-b+c） a-b+c a-（-b+c） a+b-c 5 2 -1 -6 -4 3 -9.5 -5 -7 ]

觀察表格，你發現什么規律了嗎？可以自己隨意想幾個數驗證一下.

設計意圖：探究新知的過程設計了一個填表的教學活動，學生通過使用具體的數字進行代入計算，用最后的計算結果作為依據，發現結果之間的聯系，進而猜想結果：a+（-b+c）=a-b+c、a-（-b+c）=a+b-c，由數字到字母，體會數和式之間的聯系，經過充分的驗證，證實了學生的猜想，鍛煉了邏輯推理能力，學會了如何從具體的數字中進行歸納和概括，發展了學生的數學思維能力.

設計不足：學生在實際計算當中，填表花了很長時間，甚至出現計算錯誤，導致計算結果不一致的想象，使得接下來的發現規律，總結歸納的探究非常不順暢. 探究過程的不順利反映出教師在課前的預設不夠充分，以致沒有有效生成，偏離研究的主題. 重新觀察這項探究活動的實施，總體的意圖是非常好的，但是填表計算涉及到之前學習的求代數式的值，是學生代數學習中的易錯點，特別表現在代入時的規范計算、符號處理等等，而這張表格當中還涉及的數字運算是非常復雜的，并且數字也非常多，實際有十幾道計算題的計算量，而且還要再換幾個數值進行計算，其運算量和難度是非常大的，這也是導致探究新知的活動推進不夠順利的原因.

改進設計：完成表格

觀察表格，你發現了什么呢？

改進意圖：探究活動除了要思考如何調動學生的思維，進行新知的探索之外，還要注意活動的時間、學生的完成度、可操作性等等，才能保證探究活動的效果. 因此根據實際操作中的問題進行了一些改進，把原來十幾題的計算量減少了，數字也變得簡單一些，這樣可以有效保證活動有充足的時間，也能提高計算的正確率和計算速度，保證每位學生都有能力參與探究活動，關注到所有學生的發展，而對于計算速度快的學生可以多嘗試幾個數，能夠主動發現規律，進行猜想a+（-b+c）=a-b+c、a-（-b+c）=a+b-c.

3. 理解算理

示例3? 回憶乘法分配律的知識，你能使用乘法分配律進行驗證嗎？

（1） a-（-b+c）

=a+（-1）（-b+c）

=a+（-1）（-b）+（-1）（+c）

=a+b-c

（2）

=a+（-b+c）

=a+（+1）（-b+c）

=a+（+1）（-b）+（+1）（+c）

=a-b+c

設計意圖：這個環節是回憶舊知，利用學生已經學習過的乘法分配律進行應用，在應用過程中可以進行聯想并證明，以此使學生感受數學的類比和推理思想，提高學習效率.

設計不足：學生在實際進行驗證的時候不能自主完成，與教師的預設相去甚遠. 不禁反思是不是學生對于乘法分配律的掌握不扎實呢？為何無法有效完成驗證呢？仔細分析不難發現：一是乘法分配律與要驗證的代數式之間的關系不夠明朗，比較隱蔽，學生難以發現其中的聯系;第二乘法分配律和驗證的數式之間都有相同的符號a，影響了學生的建模，所以就很難完成驗證[2].

改進設計：計算a+2（a+b），a-3（a-b），再驗證a+（-b+c），a-（-b+c）.

改進意圖：本例的改進主要是通過類比辨析讓學生感受到乘法分配律的應用，兩個計算式看起來類似，不同點主要是在于系數不同，首先進行具體計算，再進行驗證，這樣就使學生對于去括號是特殊乘法分配律的應用能夠順其自然地獲得認知，理解了去括號計算的算理，為學生思維的發展搭建了“腳手架”.

4. 總結法則

示例4? 教師引導學生一起歸納本課學習的計算法則.

設計意圖：通過總結概括讓學生進一步生成對運算法則的理解.

預設不足：在總結歸納時發現學生很難用語言進行概括，即便在教師的幫助下理解和識記也非常困難，基本是教師強行灌輸下去了，沒有起到應有的效果.

改進設計：請學生用自己的語言表達a+（-b+c）=a-b+c，a-（-b+c）=a+b-c的特征. 經過運算定律的驗證之后，再次引導學生用語言概括去括號的特征，通過比較觀察和辨析，從感性的直觀認識上升到理性的規范，真正理解所學到的運算法則.

改進意圖：教學過程中對于去括號運算法則的概括就是對代數式符號化的概括，在教學過程中，引導學生注意括號前符號的變化與不變，發現去括號計算的實質，使學生加深對運算法則的認識，并能自覺形成如何計算的步驟和法則，獲得事半功倍的效果.

5. 板書設計

示例5? 將本課所學的重點知識進行板書.

改進設計：如圖1

改進意圖：用框架結構的形式對本課的知識點進行總結，使學生能夠直觀地看到運算法則生成的過程，理解去括號運算的本質，并且能夠再次明晰探究這一法則的過程，真正提升運算的能力，使學生深刻理解去括號的運算法則和其中的算理.

改進設計的認識

1. 提高計算能力，發展符號思維滿足符號教學的要求

數學符號是數學中的重要使用工具，每一個數學符號都有著特定的意義，因此學生理解數學符號的意義是學習數學的基本能力要求. 那么什么是符號意識呢？符號意識在數學學科中首先表現為能夠利用符號表示數以及數量關系和數字的變化規律. 學會使用符號進行計算和推理，能夠利用符號總結一般性的結論等. 數學符號的本質是對數學學習的抽象化的結果，在教學中數學符號具有廣泛而不可替代的作用. 其中運算符號是學生比較熟悉的一類符號，主要是規定了如何計算，如+，-，×，÷，，sin，cos等. 綜合符號則是指在計算中可以改變運算順序一類的符號，如（），[]等. 因此，去括號計算實際上是一種化簡運算. 學生在之前的計算學習中已經具備了不少的符號化簡的經驗，如+（-5），-（-5），--3，7-（-3），（+4）×（-5）等代數式的符號化簡. 本課學習的去括號計算是有關括號計算的進一步學習，是數學符號學習的一次補充和拓展，因此教師要在教學中給學生滲透括號事實上是一種綜合性數學符號的思想，在數學計算中具備調整運算順序的作用，而根據運算法則和算理要將括號看作一個整體. 學生理解了數學符號的實質對于如何進行符號化簡就有了更深的理解，為學習如何進行去括號的運算打下了基礎. 在教學設計時突出教學主體，發展學生的符號意識，是提升學生綜合素養的有效途徑，可以提高學生的運算能力，落實學科素養的要求.

2. 探究類比有效促進數學學習的生長點

從學生最初學習的數字運算到代數式的運算，是運算對象的推廣和拓展，代數式的運算可以說是一種特殊的數字運算，因此兩者是可以進行轉換的. 代數式的計算是建立在數字計算基礎上的學習，是數字運算的抽象表達，其中涉及的符號運算更加抽象和復雜，有利于提高學生的運算能力和抽象概括能力. 學生運算能力的提高是一個長期的過程，需要在數學知識的不斷豐富中逐漸形成. 數學概念的學習、數學技能的運用都是為數學計算的學習助力. 而計算能力的形成一般都需要經歷從具體到抽象、從常量到變量、從單向思維到多向思維的發展過程. 改進后的教學設計主要是從數的計算進行探究，符合學生的認知規律和認知習慣，圍繞學生運算能力慢生成的特點，運用類比思想，由具體到抽象，由法則到數理，逐漸深化，理解數學本質，促進了數學知識的生長[3].

3. 符號學習促成數學智慧的生成

課堂教學的核心是學生如何學，因此教學設計不僅要關注教的內容更要關注學習者的學情. 本課在探究活動中從研究學情出發，通過類比的方法由數的運算類比符號的運算，便于學生自然地理解去括號的運算法則和算理. 去括號的計算實際上就是符號計算的一種化簡，因此在教學中要著重引導學生理解符號運算的實質，使學生能夠通過運算方法自然理解運算算理和法則.

綜上所述，在教學設計中應從學生的理解出發，圍繞去括號計算的主題，以學生的最近發展區為基礎，選擇合適的內容，引導學生類比思考，促進學生思維的生長.

參考文獻：

[1]馮愛銀. 借圖式之力 促教學之效——基于圖式理論的數學教學探討[J].中學數學教學參考，2015（22）：22-24.

[2]潘忠. 初中數學教學中“變式訓練”的幾個案例[J]. 科學大眾（科學教育），2011（10）：9.

[3]常磊，鮑建生. 情境視角下的數學核心素養[J]. 數學教育學報，2017，26（02）：24-28.