江麗梅 劉永東

[摘? 要] 文章以“角的平分線的性質”為例，基于對數學原理學習的再認識開展教學實踐，提出教師可依托教材設置的問題情境內涵，引領學生開展數學交流，以促進學生體悟數學思想，在深度的概念思辨中習得原理，并在拓展應用原理的過程中完善思維，積累遷移探究新問題的數學活動經驗.

[關鍵詞] 原理學習;角平分線;數學交流;教材情境

對原理學習的再認識

數學中的原理主要包括公式、法則、定理和性質. 數學原理學習實際上是學習一些概念之間的關系，它不是習得描述原理的言語信息，而是習得原理的心理意義，是一種有意義的學習，學習者學習后能指導自己的行為并解決遇到的新問題[1]. 在學習認知方式上，教師開展原理學習的一般教學方式可分三步：引入、證明和應用. 引入是教師通過創設情境讓學生經歷原理發現的過程;證明是對原理進行嚴密的推理和論證，使得學生原有的原理知識被再次激活，形成新知，完善原理網絡;應用是教師引導學生運用原理解決數學問題或實際問題，逐步認識數學的應用價值.

然而，在原理教學中，教師容易走進一些誤區. 如直接告知原理，沒有揭示原理產生的過程，導致學生未能真正理解原理. 又如原理證明后，不再引導學生通過閱讀教材來剖析原理，導致學生僅是習得描述原理的信息，停留在知其然而不知其所以然的狀態. 雖然，當前教師通過開展不同形式的探究活動來改進原理教學，但又有新問題出現. 如少用教材中的素材來引發學生思考，而用自創情境探索原理，但教師自創的情境有時會偏離數學問題的本質，導致學生很難理解原理.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對教材的編寫給出了明確的建議，其應體現科學性、整體性、可讀性，此外內容的呈現應體現過程性，內容的設計要有一定彈性，總的來說，要有利于教師創造性教學[2]. 不管是教師的創造性教學，還是學生的創造性學習，都離不開對教材的合理使用. 合理使用教材的前提是師生需具有一定的數學閱讀能力. 教師閱讀教材越深入，越能挖掘教材的編寫意圖，通過問題轉換和思辨交流來引導學生學習;學生閱讀教材越深入，越能習得描述原理的信息，并在教師的引導下對原理開展自我探究和深度思考，真正明其意、辨其理.

開展原理學習，需師生共同精讀教材，理解教材內涵，依托教材探究，其最終目的是引發學生深度交流，從中發現問題，完善和積累學習原理的經驗. 下面，文章將以“角的平分線的性質“原理學習（下文簡稱“性質”，源于人教版數學八年級上冊第12章）為例實踐這一認識.

對原理學習的再探索

（一）如何依托教材實現創造性教學

很多教師都非常認同“用教材教，而不是教教材”這一觀點，即教師在吃透教材的基礎上再創造、再設計，而教教材則是生搬硬套，照本宣科. 何為吃透？即深入了解編者的設計意圖和設計理念，深度挖掘和領悟教材內涵，達到用教材教的境界.

本課例也遵循著一定的“研究套路”，人教版教材對初中幾何圖形的“研究套路”是從定義到性質再到判定，其中研究性質的過程可以通過觀察測量、猜想證明等方式完成. 由于角平分線的性質學習是全等三角形知識的運用和延續，為學生學習線段垂直平分線的性質提供了探索經驗. 一般情況下，學生閱讀教材后，難以分辨是新性質學習還是全等三角形的知識應用. 除此之外，教材對如何探究原理都有明確指向性. 如在性質探究中指出要在角的平分線上任意取點，并向角的兩邊作垂線，然后測量所得垂線段長度從而猜想性質，學生只需按部就班操作即可獲得性質. 但教材沒有指出為什么向角的兩邊作垂線，如果作其他輔助線是否還存在其他性質，對這些問題學生并不清楚.

實際上，探索該性質的難點在于添加輔助線，需要借助幾何直觀，但又不是能直接通過觀察圖形而得到某種結論. 這與學生已學習的一些原理不同. 如三角形的內角和定理，能通過圖形直觀看到三個內角而直接猜想. 角的平分線圖形除了角相等，不存在線段相等的情形，如何讓學生基于圖形添加輔助線得到相等關系，是教學難點. 教師可以把解決問題的眼光聚焦到教材上，教材一開始給出分角器的素材（圖1）的作用是引導學生習得用尺規作角的平分線的方法，以及啟發學生添加輔助線. 然而學生無法通過獨立閱讀教材去理解其中隱含的思路，此時教師應依托教材情境增設疑問，引導學生發現和探究，體悟研究圖形的新思路.

（二）如何挖掘教材以達成善用

如何挖掘教材讓其轉化為課堂教學素材，如何在教學實踐中讓學生深度思辨，在充分的數學交流中轉化認知，以達成對教材的創造性使用？筆者對此再探索，結合課堂四個片段簡要解析.

1. 引入教學片段

上課后，教師帶領學生回顧全等三角形的性質和判定，明確全等三角形的原理學習為證明線段和角相等提供了方法，為以后研究幾何圖形的邊角關系增加了工具.

師：學完全等三角形的性質與判定方法后，我們接著學習什么？

生：全等三角形的應用.

師：為什么教材的編排卻是先研究角平分線的性質呢？

生：這個角平分線的性質的探索就是全等三角形的應用.

師：既然角平分線的性質研究是全等三角形的應用，那么通過這個圖形除了得到角的數量關系，還能得到線段的數量關系嗎？

學生陷入沉思……

師：我們能否利用全等三角形的知識，探索角的平分線的更多性質呢？

問題解析：這樣設疑是讓學生明確性質探索實質上是全等三角形的應用，掌握對幾何圖形認識研究的一般規律. 當學生暫且無法回答問題時，引導他們回顧三角形三條重要線段的作用：中線可平分線段，還可平分三角形面積;由高可得直角，還可求三角形面積;通過角的平分線得到角相等. 由此思考可添加輔助線去探索新性質.

2. 發現教學片段

教材中分角器是個好素材. 利用它可引導學生探索尺規作角的平分線的原理，還可啟發學生的探究思維. 觀察分角器（如圖1），射線AE平分∠DAB是建立在DE=BE，AD=AB的基礎上的，運用全等三角形判定定理和性質定理得到∠DAE與∠BAE相等，進而設置問題：基于角的平分線，在角的內部如何構造兩條相等線段？顯然，由于圖形中不存在線段，如何構造兩條線段是個難點，對此教師設置如下疑問引導學生自主探究.

師：線段是由點構成的，那么線段的第一個端點要在哪里選擇？為什么？

生：角的平分線上，因為研究對象是角平分線.

師：線段的另外一個端點落在哪里，如何確定？

生：在角的兩邊分別取點M，N，使得MP=NP.

師：這樣的構造能得到哪些線段相等呢？

生1：OM=ON.

生2：不一定. 以點P為圓心，PM為半徑畫圓，交角的兩邊共有四個點，分別為M，N，N′，M′，雖然PM=PN=PM′=PN′，但根據全等三角形的判定定理，由“SSA”無法證明這四個點與角的頂點O的距離相等（圖2），所以這樣取點不準確.

師：顯然，這樣的做法確實不夠準確. 換個角度，為避免出現這種情況，我們可以找最特殊的相等線段進行研究，也就是從點P到∠AOB的兩邊都只能畫出唯一確定的線段，結合所學知識，大家認為怎樣作輔助線更合適？

問題解析：原理學習要求學生能從已有知識中提出問題或解決問題，當學生不知道如何選點時，可引導學生回顧已有知識去思考問題，進而從特殊位置思考，即在相等的線段中，垂線段具備位置關系和數量關系的特殊性. 由此向角的兩邊作垂線段（圖2），當點P確定，PD和PE就是唯一確定的位置關系. 這里讓學生體悟一般到特殊的數學思想，體悟發現問題和解決問題的途徑，形成運用知識解決問題時的批判性思維.

3. 再發現教學片段

在學生完成性質探索和證明后，教師強調性質是通過探索特殊位置得到相等數量關系，明確探究未知問題時，特殊點、特殊位置、特殊值都是發現問題的起點，此時，不妨再追問.

師：如圖3，過點P作射線OC的垂線，交角的兩邊于點M，N，得到的MP與NP是否也相等呢？

生：MP=NP.

師：既然兩條線段相等，為什么它不能作為角的平分線性質呢？

問題解析：引導觀察，發現△MON是一個等腰三角形，且角的平分線OP不僅是△MON的頂角的平分線，還是底邊上的高和中線，該性質不作為角的平分線的獨特性質學習，而是留在等腰三角形中再深化學習，這樣便為后面學習等腰三角形三線合一的性質作鋪墊.

4. 原理應用教學設計

教材并沒有安排例題作為原理應用，由此，教師需要在教材中選擇習題來作為例題. 例如教材P56第12題（圖4），由已知AD平分∠BAC，求證S△ABD ∶ S△ACD =AB ∶ AC，此題能較好地體現原理的應用，起到承上啟下的效果，并且通過小結能讓學生加深添加輔助線得到相等關系的探索方法，從而習得原理學習的產生式，即當出現角的平分線條件時，產生向角的兩邊作垂線段的幾何思維. 同時教師可對角的平分線的性質進行拓展應用或課后思考，讓學生合作證明、類比學習，運用等高的三角形面積比解決四條線段之間存在的數量關系，即有如下拓展題.

拓展題：如圖5，已知OC平分∠AOB，過點P的直線MN若不垂直于OC，則MP與NP是否相等？若不相等，線段MP，NP和OM，ON的長度存在著怎樣的數量關系呢？

教學啟示

1. 原理系統化，促進知識生長延伸

學生需要明白角平分線的性質研究是全等三角形的應用，這是知識學習套路中的一步. 而在研究角平分線的性質時，是否存在相等線段，則是由全等三角形的性質學習而順其自然想到的. 通過類比三角形的另外兩條重要線段：中線和高除了各自固有功能，還和三角形的面積緊密相關，來聯想角平分線和三角形面積是否也有關聯. 這些問題是學生學習角平分線性質的內在需求，也是原理系統網絡化的體現，符合實踐課程標準中教學建議：“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中……[2]”

2. 閱讀多質疑，激發深度數學交流

從一些優秀課例發現，教師精心設置問題情境能讓學生經歷原理再發現和探索的過程. 如勾股定理的探索活動，精彩案例多不勝數. 教材從一幅地磚圖片引入，講述畢達哥拉斯從圖中發現定理，但學生能否看圖也能發現呢？顯然，學生不是數學家，但教材設置的情境能有效地刺激學生神經，若教師針對教材精準設問，引發學生深度思考，回歸教材深入研究素材，長此以往，學生則會帶著思考去閱讀教材，逐漸形成精讀教材、思辨教材的習慣，從而提升發現問題的能力.

3. 拓展合理化，提升數學思維能力

數學有著很強的結構性和系統性，任何一個數學原理都處在一定的系統和結構之中. 學生只有弄清原理之間的內在聯系，才能從整體的高度和全局的視野把握原理. 前述拓展應用內容在學生高中探究三角函數二倍角公式時有十分重要的意義，這充分體現中學數學知識間的聯系，也體現幾何與代數間的聯系. 教學拓展應用內容是為了完善學生的探索思維，使學生從特殊角出發來探索性質的一般規律，經歷“從特殊到一般”的思維過程，真正提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

結束語

原理的學習，關鍵在于教師依托教材，創設適當的情境讓學生再經歷探究的過程. 在此過程中，教師通過設置問題引發學生深度思考，并通過實質性的數學交流以提升學生發現問題、解決問題的能力，使學生逐漸養成用批判性思維學習原理的習慣，最終發展學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]何小亞，姚靜. 中學數學教學設計（第二版）[M]. 北京：科學出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.