建議把曲線的方程盡量表示成一個方程

【摘 要】 文章由教材的定義及具體實例闡明了以下觀點：建議把曲線的方程盡量表示成一個方程，這樣更規范、更準確.

【關鍵詞】 曲線的方程；規范；準確

1 建議把曲線的方程盡量表示成一個方程

普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-1·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《選修2-1》）第34-35頁給出了“曲線的方程”及“方程的曲線”的定義：

一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個（著重號為筆者所加，下同）二元方程f（x，y）=0的實數解建立了如下的關系：

（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

由此定義可知，曲線的方程（有時也叫做軌跡方程）是“一個二元方程f（x，y）=0”.

但筆者發現，不少權威資料（教科書、高考題等）并沒有注意這一點，茲舉幾例說明如下.

題1 （《選修2-1》第35頁例1，即文［1］例3）證明：與兩條坐標軸的距離的積是常數k（k>0）的點的軌跡方程是xy=±k.

證明 （1）如圖1，設M（x0，y0）是軌跡上的任意一點.因為點M與x軸的距離為y0，與y軸的距離為x0，所以x0·y0=k，即（x0，y0）是方程xy=±k的解.

（2）設點M1的坐標（x1，y1）是方程xy=±k的解，則x1y1=±k，即x1·y1=k.

而x1，y1正是點M1到縱軸、橫軸的距離，因此點M1到這兩條直線的距離的積是常數k，點M1是曲線上的點.

由（1）（2）可知，xy=±k是與兩條坐標軸的距離的積是常數k（k>0）的點的軌跡方程.

注 因為“xy=±k”即“xy=k或xy=－k”，它在形式上不是“一個二元方程f（x，y）=0”，所以筆者認為題末的表述“軌跡方程是xy=±k”不妥.

另外，證明中的表述“（x0，y0）是方程xy=±k的解”及“（x1，y1）是方程xy=±k的解”也均不妥.

理由也是“xy=±k”在形式上不是“一個二元方程f（x，y）=0”.

因而，筆者建議把題1及其證明中的三處“xy=±k”均改為“xy=k”，把“x1y1=±k”改為“x1y1=k”；或者把三處“xy=±k”均改為“x2y2=k2”，把“x1y1=±k”改為“x12y12=k2”.

題2 （《選修2-1》第37頁習題2.1的A組第2題，即文［1］例4）求和點O（0，0），A（c，0）距離的平方差為常數c的點的軌跡方程.

答案 與《選修2-1》配套使用的《教師教學用書》（人民教育出版社，2007年第3版）（下簡稱《教師用書2-1》）第40頁給出的答案是“當c≠0時，軌跡方程為x=c±12；當c=0時，軌跡為整個坐標平面”.

注 “軌跡方程為x=c±12”的表述不妥（建議改為2x－c=1或改為4x2－4cx+c2－1=0）；“當c=0時，軌跡為整個坐標平面”與題目“求軌跡方程”不符，建議把答案“當c=0時，軌跡為整個坐標平面”改為“當c=0時，軌跡方程為0x=0”.

更重要的是，答案“當c≠0時，軌跡方程為x=c±12”不對，應將其改為“當c≠0時，軌跡方程為x=c+12”.若把題設中的“平方差”改為“平方差的絕對值”，則當c≠0時的答案為“2x－c=1”.

2 把曲線的方程表示成一個方程時不可弄巧成拙

雖說題1中的表述“軌跡方程是xy=±k”不妥，但也不是錯誤，理由有二：

（1）軌跡方程是“xy=k或xy=－k”中的“或”表示取并集（所有的對象都要取到）［1］，此時可把它等價轉化為軌跡方程是“x2y2=k2”或等價轉化為軌跡方程是“xy=k”.

一般地，若“f（x，y）=0或g（x，y）=0”中的“或”表示取并集（所有的對象都要取到）［1］，則可把它改成“f（x，y）·g（x，y）=0”.

（2）通常把雙曲線的兩支合在一起看成一條曲線（所以有“一條雙曲線”的說法），因而把“xy=k或xy=－k”（即xy=±k）看成一個方程也不是不可以.

但數學不僅要求真、科學、規范，還應追求簡潔，因而本節的文題是“建議把軌跡方程盡量表示成一個方程但不可弄巧成拙”.

題3 （文［1］例5）已知動點P到定點F（1，0）的距離與到定直線x=3的距離之和為4，則動點P的軌跡方程是?? .

答案 y2=4x（x≤3）或y2=48－12x（x>3）.

注 該答案求真、科學、規范；若還追求形式上的簡潔，則可把它改為“y2=4x，0≤x≤3，

48－12x，3<x≤4”.

題4 （文［1］例6）若動點P到定點F（1，0）的距離比它到y軸距離大1，則動點P的軌跡方程

是?? .

答案 y2=4x（x≥0）或y=0（x<0）.

注 若追求形式上的簡潔，則可把該答案改為“yy2－4x=0”.但這種“追求簡潔”難度不小，甚至是可遇不可求的，因而筆者認為沒必要花大力氣來完成這種“追求簡潔”.何況我們還可認為前者更清楚明白也更簡潔，后者只是形式上的簡潔而已.

把“曲線x+y－1=0（2x2－2x－3>0）或x2+y2=4”簡化成“曲線（x+y－1）x2+y2－4=0”，也只是追求形式上的簡潔.

把“曲線y=x－2或y=1－xx>32”簡化成“曲線（x+y－1）x－y－2=0”，也只是追求形式上的簡潔.由此可知，有時把方程“f（x，y）=0或g（x，y）=0”表示成形式上的“一個簡潔的二元方程”不太容易.

題5 （文［1］例7）已知動圓M與兩圓C1：（x+4）2+y2=2及C2：（x－4）2+y2=2都相切，則動圓圓心M的軌跡方程是?? .

答案 x=0或x22－y214=1.

注 若追求形式上的簡潔，可把該答案改為“7x3－xy2－14x=0”，但有“弄巧成拙”之嫌.

3 若“f（x，y）=0或g（x，y）=0”中的“或”表示“只能選其一”，則一般不能把它改成“f（x，y）·g（x，y）=0”（除非f（x，y）=0與g（x，y）=0表示同一條曲線）

題6 （參見文［1］例14）《選修2-1》第57頁最后一段話中寫道：雙曲線x2－y2=a2的“漸近線方程為y=±x”.

注 不能由y=±xx2－y2=0，把“漸近線方程為y=±x”改為“漸近線方程為x2－y2=0”.因為漸近線是一條直線，而x2－y2=0表示二次曲線.

實際上，“漸近線方程為y=x或y=－x”中的“或”表示只能取其一（不能取其二）［1］，因而不能把它改成“漸近線方程為x2－y2=0”.

同理，不能把“所求直線方程是x=－1或x=0或x=1”改成“所求直線方程是x（x+1）（x－1）=0”，因為“所求直線方程是x=－1或x=0或x=1”中的“或”表示只能取其一（不能取其二，更不能取其三）［1］.

題7 （1）（文［2］第11頁第12題，即文［1］例11）若一個圓經過橢圓x216+y24=1的三個頂點，且圓心在x軸上，則這個圓的標準方程為?? ；

（2）（文［2］第26頁第5題，即文［1］例12（1））若拋物線過點（－1，3），則該拋物線的標準方程為??? ；

（3）（《選修2-1》第80頁第8題，即文［1］例10）斜率為2的直線l與雙曲線x23－y22=1交于A，B兩點，且AB=4，求直線l的方程；

（4）（《選修2-1》第73頁第4（1）題，即文［1］例12（2））根據條件“頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6”，求拋物線的標準方程，并畫出圖形.

答案 （1）x±322+y2=254；（2）y2=－9x或x2=13y；（3）y=2x±2103；（4）y2=24x，y2=－24x（圖略）.

題8 （2013年高考新課標全國卷Ⅱ文科第10題，即文［1］例13）設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|＝3|BF|，則l的方程為（?? ）.

A．y＝x－1或y＝－x＋1

B．y＝33（x－1）或y＝－33（x－1）

C．y＝3（x－1）或y＝－3（x－1）

D．y＝

22（x－1）或y＝－22（x－1）

答案 C．

注 題7各小題答案中用“或”表示的兩個方程均不能改成一個方程，題8各選項中用“或”表示的兩個方程均不能改成一個方程，理由也是其中的“或”表示只能取其一（不能取其二）［1］.

參考文獻

［1］ 甘志國.理解“或”的含義要區別對待［J］.數理化解題研究，2021（01）：4-7.

［2］ 精品課堂同步檢測三級跳編寫組.同步檢測三級跳·高中數學選擇性必修課程主題——幾何與代數主線［Z］.北京：北京出版社，2019.

作者簡介 甘志國（1971—），男，湖北竹溪人，研究生學歷;中學正高級教師，特級教師，湖北名師;主要研究解題、高考和初等數學.