探疑解惑，培養無理數的數感

陳晨　李婧

一線數學教師普遍有這樣的感覺，無理數的概念（無限不循環小數叫作無理數）很簡單，但學生理解起來卻很不輕松，有時甚至囫圇吞棗；無理數概念的教學淺表化現象普遍存在，導致初中生對無理數的認識大都比較狹隘。為了嘗試改變這一尷尬現狀，筆者認為，教師在教學過程中，應該從知識細節入手，讓學生提出關于無理數的疑惑，然后和學生一起解決，在解決問題的過程中，培養學生的無理數的數感，這樣更利于找到高效的無理數教學路徑，使學生真正理解和運用無理數。

談及數感，貌似給人一種神秘的感覺，其實它屬于人類對數及其運算的常規理解與感受，它能夠幫助我們處理煩瑣的問題并提出有效的措施。但是初中生對無理數的數感普遍不如對自然數和有理數的數感，究其原因，自然數是“數”出來的，有理數是“量”出來的，而無理數則是用數學的方式“想”出來的。能“數”能“量”的事物往往有具象性，但“想”出來的數則往往是形而上的，如果缺少直觀或經驗的支持，就會非常抽象、難以理解。

近日，筆者在一次公開教學活動中，嘗試和學生一起探究了幾個關于無理數的問題，以幫助學生解決無理數學習過程的疑惑，體驗探究無理數的快樂，更好地培養無理數數感。

一、無理數的由來

據記載，無理數最早由畢達哥拉斯學派的希伯索斯首先提出：邊長為1的正方形，它的對角線長是多少呢？借助勾股定理，不難發現，對角線的長度可以表示為[2]。無理數[2]的發現引發了數學史上的第一次危機，對以后2000多年的數學發展產生了深遠影響。那么，[2]到底有多大呢？根據宋代數學家劉徽的做法，只能“求其微數”。

其實，我們可以嘗試用二分法，無限逼近 [2]來說明它的大小。∵12<（[2]）2<22，∴1<[2]<2。∵12<（[2]）2<1.52，∴1<[2]<1.5。∵1.252<（[2]）2<1.52，∴1.25<[2]<1.5……類似的，我們可以一直計算下去，最終發現[2]是一個無限不循環的小數。但這種數學驗證是不夠嚴謹的，因為借助逼近法不能最終確定[2]的值，所以它的無限不循環性就無法驗證。

如何用更加嚴謹的數學說理來證明[2]是無理數呢？還有一種方法，那就是反證法。即假設[2]不是無理數，則[2]是有理數，令[2]=[pq] （p、q為互質的兩個整數，且pq≠0），可以證明出p、q都是偶數，這與p、q為互質的兩個整數矛盾，從而證明假設不成立。

二、常見的無理數

初中無理數的教學源于求平方根（立方根等），源于勾股定理與三角形斜邊的計算、黃金比例與審美、圓周率與精確度的提高等問題情境。教師在教學過程中，可以給學生介紹一些常見的無理數，以加深學生對無理數的認識。

比如，（1）開方開不盡的數。在計算平方根（或多次方根）、利用勾股定理進行計算時，有時會得到開方開不盡的數。借助阿基米德螺線的數學之美，我們還可以得到像[2]、[43]、[84]、[2]+1等數。我們可以類比證明[2]是無理數的方法，證明這些數是無理數。這類數可以充分體現無理數是通過數學方式“想”出來的。（2）含[π]的一類數。[π]源于圓周率與精確度，所以[π]是一個確實存在的數。在小學階段，學生已經對它非常熟悉了。據記載，[π]是通過割圓術、閏周算法計算出來的，現在用超級計算機已經可以計算到62.8萬億位，這點充分說明[π]是一個無限不循環的小數。但關于[π]是無理數的證明涉及微積分的知識，初中階段暫時不需要掌握。（3）構造數。人們根據無理數的定義構造出了一些數，如3.101101110…（兩個0之間依次增加一個1）、0.129034880…（小數點后的數字是計算機隨機產生的0-9中的某一數字）。很顯然，對于這些構造出來的數，雖然在生活中很難找到對應的事或物與之匹配，但這些構造數無一例外都符合無限不循環的小數這一定義，所以這些構造數也都是無理數。（4）其他數。特殊三角函數值如sin45[°]、cos30[°]、tan60[°]和黃金分割比[5-12]都是利用初中特殊的數學知識計算得到的無理數，利用一個等腰直角三角形、有一個內角為30°的直角三角形和一個正五邊形，可以輕松得到這些無理數。

三、關于無理數的其他研究

1. 無理數與有理數之間的關系。“有理數”與“無理數”的英文分別是rational number和irrational number。翻譯過來就是“可比數”和“不可比數”，即有理數可以寫成兩個整數的比值，而無理數則不能。這種差別可以使得學生快速辨別有理數和無理數，這樣對數的研究也會更加高效。

2. 無理數的個數。我們知道，非零有理數乘無理數結果是無理數；無理數加無理數結果是無理數或有理數；有理數加無理數結果是無理數，考慮到有理數有無數個，所以對應的無理數肯定也是無數個。無理數的這種無限性可以幫助學生更好地認識初中階段對數系擴充的必要性和可行性，為進一步研究數的運算等做好鋪墊。

3. 無理數的相關運算。根據規定，無理數和有理數統稱為實數，所以對無理數的研究可以引導學生類比有理數進行，主要可以研究它的運算等。此外，還有一些重要的數學知識與無理數有關：比如圓周率、黃金分割、勾股定理、平方根（立方根）運算、二次根式計算等。

總而言之，無理數的教學內容應當是多重的、有層次的，不僅僅包括無理數的概念，還應該包括無理數概念創生背后的數學學科思維、方法和價值。在教學過程中，教師可以轉換個人角色，讓學生先自行預習，再提出自己的疑惑，教師則是課堂的參與者，與學生一起答疑，這樣的教學會更有針對性，也會更加高效。

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）

本文系江蘇省教育學會“十四五”教育科研規劃課題“基于初中視角下初高中數學銜接知識點的深度教學”（編號：21A06SXSZ173）階段性研究成果。