聚焦知識本質(zhì)，建構(gòu)分數(shù)意義

【編者按】 在江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室組織的2022年江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革交流研討活動中，魏光明小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師工作室團隊展示了“小學(xué)數(shù)學(xué)起點型核心知識長程教學(xué)探索”的相關(guān)成果：由孔令春老師執(zhí)教的《認識二分之一》一課。本期《專題研究》欄目，呈現(xiàn)圍繞這節(jié)課的教學(xué)思考、評析以及沙龍研討。

摘要：分數(shù)的意義是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的核心知識。分數(shù)的初步認識，特別是二分之一這個分數(shù)的認識，對學(xué)生建構(gòu)分數(shù)的意義、理解分數(shù)的性質(zhì)具有奠基作用。教學(xué)時，可將教材中“分數(shù)的初步認識（一）”和“分數(shù)的初步認識（二）”的教學(xué)內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化重組，引導(dǎo)學(xué)生聚焦知識本質(zhì)，建構(gòu)分數(shù)意義。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；知識本質(zhì)；分數(shù)的意義；《認識二分之一》

分數(shù)是數(shù)概念的一次重要擴展，分數(shù)的意義是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的核心知識。為了不斷豐富和逐步加深學(xué)生對分數(shù)的理解，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材分三個階段有層次地組織分數(shù)的意義的教學(xué)：第一個階段安排在三年級上冊，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境初步理解把一個物體或圖形平均分成若干份，這樣的一份或幾份可以用分數(shù)表示；第二個階段安排在三年級下冊，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境經(jīng)歷把一些物體看作一個整體的過程，理解一個整體的幾分之一和幾分之幾；第三個階段安排在五年級下冊，引導(dǎo)學(xué)生認識單位“1”，并以此為基礎(chǔ)深化分數(shù)意義的理解，探究分數(shù)概念的外延。由此可見，分數(shù)的初步認識，特別是二分之一這個分數(shù)的認識，對學(xué)生建構(gòu)分數(shù)的意義、理解分數(shù)的性質(zhì)具有奠基作用。

在日常教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)：學(xué)生能正確地掌握平均分一個物體或圖形，但是遇到把若干個物體看作一個整體平均分時，常常受到具體數(shù)量的干擾，誤將“總數(shù)”等同于“平均分的份數(shù)”，把“每份的個數(shù)”當(dāng)作“表示的份數(shù)”。追根溯源，是在學(xué)習(xí)“分數(shù)的初步認識（一）”時，平均分的對象的總數(shù)是1，此時分數(shù)作為具體個數(shù)的“量”和表示部分與相應(yīng)整體關(guān)系的“率”是一致的，所以，學(xué)生常常忽視對兩者加以區(qū)分和辨析。這樣，學(xué)生就容易形成思維定式，從而在“分數(shù)的初步認識（二）”的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)認知錯誤。實際上，無論是從學(xué)生的認知順序還是知識的邏輯順序來看，把一個物體或圖形平均分與將一些物體或圖形平均分兩者之間是存在相同點的，作為無量綱的“率”的分數(shù)的意義也是一致的。

基于此，筆者將“分數(shù)的初步認識（一）”和“分數(shù)的初步認識（二）”的教學(xué)內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化重組，引導(dǎo)學(xué)生聚焦知識本質(zhì)，建構(gòu)分數(shù)意義。本節(jié)課的教學(xué)目標為：（1）結(jié)合具體情境初步認識二分之一，知道把一個物體或一些物體平均分成2份，每份是它的二分之一；能正確讀、寫二分之一，知道二分之一各部分的名稱。（2）經(jīng)歷二分之一意義建構(gòu)的過程，培養(yǎng)觀察、操作、抽象、概括和表達等能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)感、推理意識和創(chuàng)新意識。（3）感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。本課的教學(xué)環(huán)節(jié)如下：

一、解決問題，激活平均分物的經(jīng)驗

師（出示圖1）周末，小明和小紅在外野餐。仔細觀察，他們帶來了哪些食物？

生他們帶來了2瓶礦泉水、1個蛋糕和4個蘋果。

師你觀察得很仔細。把這些食物分給2人，怎樣分才公平？

生平均分。

師把4個蘋果平均分給2人，小明分得幾個？小紅呢？誰愿意上臺指一指、說一說？

生（邊指邊說）把4個蘋果平均分給2人，小明分得2個，小紅分得2個。

（教師相機板書“平均分”，并說明用虛線表示“平均分”，如圖2所示。）

師（出示圖3）接下來，把2瓶礦泉水、1個蛋糕平均分給2人，小明分得多少？小紅呢？先在作業(yè)單的圖上分一分、圈一圈，再填一填，完成后和同桌說一說。

（學(xué)生獨立嘗試、同桌交流后，教師組織交流，并根據(jù)學(xué)生發(fā)言畫出表示平均分的虛線，完善板書。）

師把2瓶礦泉水、1個蛋糕平均分給2人，誰來展示？

生（邊分邊說）把2瓶礦泉水平均分給2人，小明分得1瓶，小紅分得1瓶。

生（邊分邊說）把1個蛋糕平均分給2人，小明分得半個，小紅分得半個。

通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的平均分物情境，讓學(xué)生在分析和解決問題的過程中喚醒已有經(jīng)驗——平均分，為初步認識分數(shù)做好鋪墊。這里選擇了三種實物素材，既有一個物體，又有一些物體組成的一個整體。豐富的材料便于學(xué)生充分感知，進而從一個完整的視角建構(gòu)分數(shù)的意義。同時，引導(dǎo)學(xué)生把動作表征和數(shù)學(xué)表達相結(jié)合，為接下來建構(gòu)分數(shù)的意義預(yù)留通道。

二、引導(dǎo)比較，感悟二分之一的意義

師比較這幾次平均分，它們有哪些相同的地方？

生都是把食物平均分成2份。

師是的。我們都是把一個（圈出1個蛋糕）或一些（依次圈出2瓶礦泉水、4個蘋果）物體，平均分成2份（輔以手勢）。

師（板書：2份）小明分得這樣的幾份？小紅分得這樣的幾份？

生小明分得1份，小紅也分得1份。

師（板書：1份）你能把這些相同點連起來說一說嗎？先想一想，再和同桌說一說。

（學(xué)生同桌相互說后，教師指名幾位學(xué)生反饋。）

生把一個物體平均分成2份，小明分得1份，小紅分得1份。

生把一個或一些物體平均分成2份，小明分得1份，小紅分得1份。

師把物體平均分成了2份，小明分得1份，小紅也分得1份，我們還可以用12這個數(shù)表示。（板書：12）這個數(shù)讀作“二分之一”。（板書：二分之一）一起讀一讀這個數(shù)。

生（齊）二分之一。

師（指著“12”）“2”和“1”我們早就認識了，現(xiàn)在兩個數(shù)中間加上一條短橫線再合起來，這個數(shù)表示什么意思呢？先大膽地猜一猜，再把你的想法和同桌說一說。

生把物體平均分成2份，分得1份，可以用12表示。

生把一個或一些物體平均分成2份，取其中的1份，可以用12表示。

師你們真不簡單！把物體平均分成2份，表示這樣的1份就用12表示。這個數(shù)怎么寫呢？伸出小手，我們一起邊想邊寫。平均分可以用短橫線表示；“平均分成2份”的“2”，寫在短橫線下面；“表示這樣的1份”的“1”，寫在短橫線上面。這里的短橫線叫作“分數(shù)線”，“2”叫作“分母”，“1”叫作“分子”。這個數(shù)是一種新的數(shù)——分數(shù)。今天這節(jié)課，我們就一起認識12這個分數(shù)。

（相機板書：分數(shù)線、分母、分子、分數(shù)。）

通過比較幾次平均分物的過程，讓學(xué)生從相同點中感知分數(shù)概念的基本要素，即“平均分”“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”。如此一來，便在具體的平均分物體操作與抽象的分數(shù)意義之間建立起聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)的認識的飛躍。

三、結(jié)合實例，理解二分之一的意義

（教師用手勢再現(xiàn)平均分物的過程，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境表述12的意義。）

師把4個蘋果平均分成2份，小明分得的1份是它的12，那小紅分得的1份是它的幾分之幾？

生把4個蘋果平均分成2份，小紅分得的1份也是它的12。

師把4個蘋果平均分成2份，小明分得的1份是它的12，小紅分得的1份也是它的12。我們就可以說，把4個蘋果平均分成2份，每份是它的12。你能像這樣，和你的同桌說一說嗎？

（教師相機呈現(xiàn)表達支架，如圖4所示。學(xué)生同桌交流后，教師指名反饋。）

把（）平均分成（）份，

每份是（）的（）（）。

生把4個蘋果平均分成2份，每份是它的12。

師這里的“它”指的是什么？

生4個蘋果。

（教師相機圈出4個蘋果，并分別在每一份上標出12，如圖5所示。）

師現(xiàn)在你能說一說2瓶礦泉水、1個蛋糕的12分別是怎樣得到的嗎？先自己想一想，再和同桌指一指、說一說。

（在學(xué)生同桌交流的基礎(chǔ)上，教師組織集體反饋。學(xué)生邊指邊說，再在圖上相應(yīng)位置標出12。）

生把2瓶礦泉水平均分成2份，每份是它的12。

生把1個蛋糕平均分成2份，每份是它的12。

師“每份是它的12”，兩句話里的兩個“它”指的又是什么？

生第一個“它”指的是2瓶礦泉水，第二個“它”指的是1個蛋糕。

師把4個蘋果、2瓶礦泉水、1個蛋糕平均分成2份，每份是它的12。我們還可以把1塊巧克力、10支鉛筆……平均分。誰還能舉例說一說，可以把哪些物體平均分成2份，每份是它的12？

生把6塊橡皮平均分成2份，每份是它的12。

生把100張紙平均分成2份，每份是它的12。

生把50個口罩平均分成2份，每份是它的12。

……

師正如大家所說，無論是什么物體，只要把它平均分成2份，每份就是它的12。

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體情境理解12的意義。先從示范“把4個蘋果平均分成2份”入手，引導(dǎo)學(xué)生弄清楚小明分得的1份和小紅分得的1份分別是這些蘋果的12，從而理解“每份是它的12”，糾正僅把左邊第1份當(dāng)作“表示的1份”的認知偏差。接著，放手讓學(xué)生在“平均分2瓶礦泉水”和“平均分1個蛋糕”的情境中進一步認識12。最后，引導(dǎo)學(xué)生自己舉例可以把哪些物體平均分，體會被平均分對象的廣泛性，進一步感知12的意義。

四、辨析說理，澄清二分之一的意義

師（出示圖6）剛才我們認識了12，現(xiàn)在請你觀察下面三幅圖。哪幅圖中的涂色部分可以用12表示？先自己想一想，再和同桌說說理由。

（學(xué)生獨立思考、同桌討論后，教師組織學(xué)生交流。）

生第一幅圖中的涂色部分可以用12表示。把1個圓平均分成2份，涂色部分是這個圓的12。

生第二幅圖中的涂色部分能用12表示。把4個三角形平均分成2份，每份都是它的12。

生第三幅圖中的涂色部分不能用12表示。因為長方形雖然被分成2份，但不是平均分的。

師有道理。現(xiàn)在請同學(xué)們想一想：第一幅圖是1個圓，第二幅圖是4個三角形，平均分的物體個數(shù)不同，為什么都能用12表示？

生因為都是把物體平均分成2份，每份是它的12。

（其他學(xué)生紛紛點頭表示贊同。）

教師提供的正例和反例，讓學(xué)生在觀察、比較、交流中進一步理解12的意義，化解學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的迷思和錯誤。

五、多元表征，深化二分之一的意義

師想不想自己創(chuàng)造一個12？一起來讀一讀活動要求。

生（齊讀）選一選。

師信封里有4種材料：一張正方形紙、一張長方形紙、6個小方塊的集合圖和8個小方塊的集合圖。每人選擇一種材料。接著——

生（齊讀）分一分。

師你可以折一折、分一分。接下來——

生（齊讀）畫一畫。

師為了看得更加清楚，你可以用馬克筆和直尺給創(chuàng)造出的12畫上斜線。（相機給例題圖中的2個蘋果畫上斜線）最后——

生（齊讀）說一說。

師完成之后在小組內(nèi)輪流介紹你的作品。弄清楚要求之后，同學(xué)們就可以開始自己想辦法創(chuàng)造出一個12了。

（學(xué)生獨立操作、小組交流后，教師組織小組匯報。）

生（展示作品，見圖7）把一張正方形紙平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，見圖8）把一張長方形紙平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，見圖9）把6個小方塊平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，見圖10）把8個小方塊平均分成2份，每份是它的12。

生（展示作品，見圖11）我有不同的想法：我斜著把正方形紙平均分成2份，每份也是它的12。

生（展示作品，見圖12）我要補充：我把8個小方塊橫著平均分成2份，每份也是它的12。

師同學(xué)們畫的都能用12表示嗎？（指著圖7和圖11）先來看這兩幅圖，一幅圖中涂色部分是長方形，另一幅圖中涂色部分是三角形。涂色部分的形狀不同，為什么都可以用12表示？

生因為都是把正方形紙平均分成2份，涂色部分是1份，所以都能用12表示。

（其他學(xué)生點頭贊同。）

師（指著圖9和圖10）再來看這兩幅作品，一幅圖中涂色部分是3個小方塊，另一幅圖中涂色部分是4個小方塊。涂色部分的個數(shù)不同，為什么都能用12表示？

生只要把物體平均分成2份，每份就能用12表示。

師看來同學(xué)們已經(jīng)認識分數(shù)12了。

帶著知識走向?qū)W生，教學(xué)是枯燥單調(diào)的；而帶著學(xué)生走向知識，教學(xué)才會引發(fā)學(xué)生思考，促進其核心素養(yǎng)的發(fā)展。通過“創(chuàng)造一個12”的活動，引導(dǎo)學(xué)生在獨立思考、動手操作、多元表征、多向比較中深化對12意義的理解，突破分數(shù)的意義建構(gòu)的難點，同時培育創(chuàng)新意識。

六、拓展延伸，遷移其他分數(shù)的意義

師我們研究了一個物體、一個圖形的12，也研究了一些物體、一些圖形的12。這里還有3幅圖，（出示圖13）涂色部分可以用哪個分數(shù)表示呢？先想一想，再和你的同桌說一說。

生第一幅圖，我覺得可以用13表示。把一個大三角形平均分成3份，每份是它的13。

生第二幅圖是把4個圓形平均分成4份，涂色部分是這樣的1份，可以用14表示。

生最后一幅圖，我認為用210表示……

生我有不同意見。我認為應(yīng)該用15表示。因為這幅圖是把10個正方形平均分成5份，每份是它的15。

生我也認為用15表示。

生我也贊同用15表示。雖然正方形有10個，涂色的有2個，但是這里是把10個正方形平均分成5份，涂色的是1份，所以用15表示。

師同學(xué)們認為用哪個分數(shù)表示更好呢？

生（齊）15。

師同學(xué)們還能想到把哪些物體平均分成幾份，每份是它的幾分之幾呢？

生把1條線段平均分成2份，每份是它的12。

生把50塊橡皮平均分成5份，每份是它的15。

生把100顆糖平均分成10份，每份是它的110。

……

師同學(xué)們，今天我們一起認識了一個新朋友——12，知道了把一個或一些物體平均分成2份，每份是它的12。不僅如此，我們還認識了更多的“幾分之一”。其實，分數(shù)還有很多有趣又有用的知識，老師期待著與你們繼續(xù)探索與交流。

從12出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用已知的、一致的“理”——分數(shù)的意義，感悟幾分之一的意義，實現(xiàn)知識遷移，形成相應(yīng)的數(shù)感，發(fā)展推理意識。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識建構(gòu)的教學(xué)研究”（批準號：DHA200370）的階段性研究成果。