變限積分函數若干問題的探討*

王玉磊 李彩娟 苑倩倩

（信陽學院數學與統計學院）

一、引言

在高等數學教材中涉及變限積分函數這一知識點的地方不是太多，如果教師不能及時拓寬知識面，那么學生對這方面內容的理解就僅局限于定義及其基本的求導公式的簡單應用[1-2]。在教學過程中，發現學生對這方面的知識了解的不夠，尤其是變限積分函數變化型的求導方法掌握欠佳，容易出錯。關于變限積分函數的導數問題的研究，文獻[3-7]已經從常見的變限積分函數及含參量積分函數兩個方面給出了一些相對較好的結果，這為學生能更好的掌握變限積分函數求導提供了相應保證，但是對于涉及變限積分函數在其它問題方面的應用卻不是很多，因此學生在遇到稍微綜合性的題目時，往往不能夠靈活應用，從容應對。本文結合具體問題歸納總結了變限積分函數在求分段函數的不定積分、積分換序及證明積分不等式等不同方面的應用，目的是幫助學生進一步理解變限積分函數的實質和內涵，為學生更好的掌握該知識點提供一定的參考。

二、概念與定理

在高等數學教材中，有如下的定義及定理：

定義1[1]設函數f(x) 是區間[a,b] 上的可積函數，則由

定義了一個以積分上限x為自變量的函數，稱為變上限的定積分，也稱變上限積分函數。

不難看出，變上限積分函數φ(x) 和變下限積分函數ψ(x) 是函數F(x) 取特殊值時的變限積分函數。

定理1[2]設f(x)為連續函數，u(x) 與v(x) 均為可導函數，且可實行復合f?u與f?v，則也可導，且

特別地，如果將F(x) 分別換成φ(x) 和ψ(x) ，也能得到類似的結果。定理2[3]設f(x,t)，在區間[a,b] 上連續，φ(x) ，ψ(x)在區間[a,b] 上可導，則函數在區間[a,b]上也可導，且

在該定理中，如果將被積函數的積分上限或者積分下限換成常數，也可以相應的結果。

三、應用舉例

（一）分段函數的不定積分問題

在學生學習該知識點的過程中，發現他們在求解分段函數的不定積分時，要么把要積分限變量與積分變量的取值范圍搞混淆，要么不知道該如何選擇被積函數相應的表達式，最終導致結果出現錯誤。通常在處理這種問題時，首先從積分限變量的取值入手，找到分段函數變量的分段點，然后將積分限變量的取值范圍分成若干區間，最后在每一個區間上分別做定積分。尤其要注意當積分限變量與積分變量的取值在同一范圍內或者積分限變量取值大于積分變量取值的最大值時，需要通過區間可加性將原積分再分成兩個積分。

例1 設函數

解 當0≤x≤1 時，

當1

因此，

注 積分變量的取值范圍及積分限變量的取值是解決這類問題的重點。該題型常出現在由密度函數求分布函數中。

（二）變限積分函數求導問題

變限積分函數的求導問題一直是教師在教學中的一個重要內容，當被積函數表達式變得復雜時，對它求導的難度也就隨之增大。變限積分函數在研究生入學考試及各類數學競賽中經常出現，對它進行求導也尤其重要，但是因其形式多變，不易求解，很多學生不能很好的掌握處理這類問題的方法。下面將對變限積分函數的求導問題分成三個方面，通過具體的實例求解進行方法探究。

1.直接求導

如果變限積分函數中的被積函數只是純粹關于積分變量的函數，那么直接借助定理1 進行求導即可，但是公式不要記錯，尤其是積分下限是一個函數時，一定要注意在積分下限函數代入被積函數再乘以積分下限函數之后，前面的符號應該是減號。這種類型往往比較簡單，只要細心便不會出錯，這里不再舉例。

2.換元后求導

如果變限積分函數的被積函數是關于積分限變量與積分變量的函數，我們就不能盲目的直接利用定理1 對其進行求導。這時需要先考查被積函數表達式的構造形式，若被積函數表達式是可以直接將積分限變量與積分變量分離的函數，則只需先將含有積分限變量的那一部分直接寫到積分號外面，然后根據乘積函數的求導法則直接進行求導即可；若被積函數表達式是不能直接將積分限變量與積分變量分離的函數，一般需要先通過換元法，將兩個變量分離，之后再利用乘積函數的求導法則進行求導。當然對于上述兩種類型也可以不用將被積函數表達式變量分離，直接利用定理2 的求導公式進行求導。

類型I 被積函數可直接變量分離

例2 設函數f(x)連續，求f)1( .

解 因為

又當x=1 時，

注 該題目也可以直接利用定理2，無需變量分離，直接對x求導后得到φ′(x) 的具體表達式。對于該類型，這兩種方法均可以快速求解，學生只需根據自身實際情況選擇一種方法即可。

類型II 被積函數不可直接變量分離

例3[4]設函數f(x)連續，且f(0 )≠0，

注 本例也可以利用定理2進行求解，具體可以參照文獻[4]的結果，但是文獻[4]在利用定理2 求導后，并不能最終避免變量替換的步驟，同樣還是需要利用換元法進一步轉換。相比之下，用上述先換元再求導的解法求解會更直接了當，更有利于學生掌握。

雖然上述兩個例題均可以利用定理1 和定理2 進行處理導數問題，但是不難發現，當變限積分函數的被積函數為具體函數時，兩種方法都可以，用利用定理2 進行求解也是很簡潔的；當變限積分函數的被積函數含有等 這些形式函數時，我們直接利用換元法求解會更方便一些。

3.拆分再求導

被積函數含有絕對值的積分問題是學生最容易出錯的一種類型，學生在處理這種問題時，往往無從下手，不知道用什么方式解決.其實這類問題的處理方法與求解分段函數的不定積分相似，抓住該問題的本質，首先要根據積分限變量與積分變量的取值范圍將積分變量的區間進行拆分，其次把所求積分成若干個積分(去絕對值)，再次利用變限積分的求導公式求函數的導數，最后利用極值的第二充要條件進行判定。

解

令I′(t)=0，

（三）變限積分換序問題

在求解一些定積分時，如果被積函數是一個關于變限積分函數的表達式，那么所求的定積分也可以看成是一種累次積分。當累次積分中里面一層不容易積分時，我們可采用交換積分次序來進行求解。

解

（四）用變限積分函數構造輔助函數的問題

在全國研究生數學考試中，對微分中值定理的考查經常是以證明題的形式出現，解決這種問題最大的難點就在于對輔助函數的構造，下面就給出一種可以構造變限積分函數為輔助函數的例子，用以說明該部分內容。

證 明： 在(0,)π內 至 少存 在 兩 個 不 同 的 點1ξ，2ξ，使

對h(x)在[0 ,]π上應用羅爾定理，可知存在η∈(0,)π，使 得從而g(η)=0.

在[ ]η,0 和[ ]πη, 上對g(x) 應用羅爾定理，

注 在一般情況下，對于判斷函數的零點問題，往往利用零點定理和函數的單調性就能解決，但是如果所給題目中只給出了“函數在某區間上連續”的條件或者在證明題當中的條件或結論涉及到的是定積分，那么我們可以優先考慮構造變限積分函數為輔助函數。

（五）構造變限積分函數證明積分不等式的問題

積分不等式的證明也是全國研究生數學考試中一個考查的知識點。處理這種問題時，常常需要較多的技巧，不易總結其規律，但是有一些積分不等式可以采取常數變量化的思想進行證明。一般分為三個步驟：首先利用變限積分函數構造合適的輔助函數，然后對變限積分函數進行求導，最后再通過函數單調性達到問題的證明。這種證明方法思路清晰，構造輔助函數的方法規律也較明顯，可以提高學生學習高等數學的能力。

證明 令

則

又F(a)=0，

注 欲證明這類問題，先要觀察不等式左右兩邊的上下限，根據變上限積分下限固定上限變化的特點，構造變限積分函數F(x)，再對其求導，通過單調性的判別法則可以得到函數F(x)的單調性，最后在所給區間上應用單調性的定義即證。可見，構造合適的變上限積分函數是證明這類題目的關鍵。

四、結語

分清積分限變量與積分變量是學習變限積分函數的基礎。理解變限積分函數的含義，掌握變限積分函數求導理論并熟練使用公式做題是教學上的一個重要任務。在講述這一知識點時，教師在課堂上可以借助幾何圖形，從定積分的幾何意義入手，通過對定積分的分析進而引導學生發現變限積分函數的規律，在課后也可以將與變限積分函數相關的知識進一步歸納整理,讓學生通過實戰練習逐步形成一種定勢思維，使學生能夠有效的運用所學知識解決這方面的難題,最終達到提高學生學習效果的目的。