基于貝葉斯推斷的衛星螺栓連接結構動力學參數識別

路 森 浩, 顧 乃 建, 武 文 華*,3

(1.大連理工大學 工程力學系, 遼寧 大連 116024;2.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024;3.大連理工大學 寧波研究院, 浙江 寧波 315000)

0 引 言

目前,衛星等航天器結構逐漸趨向于大型化、復雜化、多功能化.大型衛星常由多個單元組合而成,各單元間通過連接結構相連.連接結構的存在導致衛星結構剛度損失、固有頻率變化,并同時伴隨著能量耗散[1-2].據不完全統計,連接結構造成衛星結構剛度損失達20%～45%,引起固有頻率下降10%～20%.在衛星連接結構中,螺栓連接結構占比最大.運行過程中,衛星會受到如太陽熱輻射引起的周期荷載、衛星結構內部的微振動等多種動荷載長期作用,一旦發生螺栓連接結構松動或連接失效,將直接影響衛星結構的服役性能.因此,建立精確的表征連接剛度和動力耗散行為的衛星螺栓連接結構動力學模型,開展螺栓連接結構動力學特性分析和參數辨識十分必要.

在動荷載的長期作用下,螺栓連接的接觸表面會產生滑移、黏著等行為[3-4],表現出不確定性和強非線性特征.目前,許多學者針對結構動力學分析開展了考慮結構阻尼、接觸剛度、滯回特性等的宏觀數學模型研究,建立出如Iwan模型[5-6]、Valanis模型[7]、Bouc-Wen模型[8-9]及雙線性模型[10]等描述結構不確定性行為的模型.其中,Bouc-Wen模型是最受認可且描述最為準確的模型,該模型描述了系統的恢復力和位移的滯回關系,通過改變其參數可以得到不同的滯回曲線,因而該模型可以描述實際工程中的各種非線性行為.基于Bouc-Wen模型,王維銳等[11]開展了磁流變減振器動力學試驗研究,獲取了減振器固有頻率、阻尼比等動力學參數,完成了對減振器的滯回特性分析.曾思霖等[12]通過Bouc-Wen模型有效描述了音圈電機的滯回現象,并分析了不同參數對模型的影響.Wang等[13]基于Bouc-Wen模型以線性化的方式描述了壓電陶瓷驅動器的滯回行為.鑒于Bouc-Wen模型參數較多,對特定的結構選用合理的參數識別方法獲得高可信度的模型參數尤為重要.目前,許多學者通過蟻群算法、神經網絡等智能方法對參數進行識別[14-16],但上述研究均未考慮Bouc-Wen模型參數的先驗信息及不確定性,導致模型的準確性及泛化能力不足.而貝葉斯推斷模型根據有關參數的實際經驗賦予其先驗分布,基于嚴格的公式推導給定結構的似然函數,結合先驗分布與似然函數得到參數的后驗分布,這樣就使參數辨識結果更加準確及可靠.

由于貝葉斯理論在處理數據與解決不確定性問題上的獨特優勢,其在國內外參數辨識方面得到了廣泛應用.劉佩等[17]基于貝葉斯理論對密肋復合墻體在低周往復荷載下形成的滯回曲線進行了參數辨識,將根據概率最大參數得到的滯回曲線與實測曲線進行了比較,表明貝葉斯理論對于恢復力模型參數辨識具有較好的效果.高艷濱[18]基于貝葉斯理論對某3層RC框架結構在多次振動作用下的物理參數進行了識別,并與基于模態參數的識別方法進行了比較分析,驗證了貝葉斯理論的可靠性.Teloli等[19]利用一種隨機Bouc-Wen模型描述螺栓連接結構的振動數據,并提出一種貝葉斯框架進行模型參數識別,用以考慮整個過程中參數的數據波動與不確定性,通過試驗數據表明貝葉斯理論可以很好地識別模型參數,但其未對結構進行分析,未對待識別參數進行分類,導致部分參數重復識別.

本文基于Bouc-Wen模型結合貝葉斯定理和相關試驗開展某衛星螺栓連接結構動力學建模和模型參數反演識別研究.首先,建立螺栓連接結構的Bouc-Wen模型,結合Bouc-Wen模型的滯回曲線,推導出模型方程新的等效形式,明確待識別的參數;然后,設計螺栓連接結構的兩種模態試驗(力錘激勵沖擊與激振器周期加載),通過采集試驗過程中結構所受荷載與響應數據,構建結構的頻響函數,計算結構的固有頻率與阻尼比;最后,基于試驗數據,結合貝葉斯定理完成Bouc-Wen模型參數識別,建立表征衛星螺栓連接結構的動力學模型,繪制結構在周期荷載下的滯回曲線,對比衛星螺栓連接結構在不同周期荷載下的實測與模型計算值,驗證本文所提出的貝葉斯參數識別方法對于螺栓連接結構含滯回效應動力學參數辨識的可行性.

1 衛星螺栓連接結構含滯回效應Bouc-Wen動力學模型

1.1 衛星螺栓連接結構的滯回效應

螺栓連接結構具有構造簡單、易操作和可靠性強等優點,已被廣泛應用于衛星不同結構間的連接.與傳統意義上的單搭接螺栓連接結構不同的是,衛星螺栓連接結構兩板之間呈一定角度,由五棱柱體配合兩螺栓進行連接.圖1給出了某衛星及其螺栓連接結構.這使得結構具有螺栓數量多、接觸面積小和連接部分間隙多等特性.當衛星螺栓連接結構遭受外在周期荷載作用時,板與連接結構之間相互接觸、分離,較小的接觸面積及較多的連接間隙使得相互作用更加明顯,從而造成強烈的能量耗散與滯回效應.圖2和圖3分別展示了某衛星螺栓連接結構受到的周期荷載P及其在此周期荷載下的恢復力Fr與位移曲線(滯回效應曲線).

(a)衛星模型

圖2 衛星螺栓連接結構承受的周期荷載

圖3 衛星螺栓連接結構的滯回效應

滯回效應是衛星螺栓連接結構的重要特性之一,其反映了結構在反復受力過程中的變形特征、剛度退化及能量耗散,因此建立衛星螺栓連接結構含滯回效應動力學方程對研究結構動力學行為至關重要.目前國內外已有學者對結構的滯回效應進行研究,其中Bouc-Wen模型具有特殊的結構形式,可直觀地描述結構滯回效應.

圖4給出了典型的Bouc-Wen模型結構示意圖.可以看出,Bouc-Wen模型是一種用于描述結構滯回性能的微分模型,該模型除包含彈簧-阻尼系統外,還含有滯回部分.通過滯回參數的變化可得到不同的滯回圈,因此基于Bouc-Wen模型可以直觀有效地建立衛星螺栓連接結構含滯回效應的動力學方程.

圖4 Bouc-Wen模型結構示意圖

1.2 衛星螺栓連接結構含滯回效應Bouc-Wen模型動力學方程及其等效形式

Bouc-Wen模型動力學方程如下:

(1)

(2)

當結構受到簡諧力|F(t)|=Acos(ωt)時(如圖5所示),會產生滯回效應,由Bouc-Wen模型可以繪出滯回曲線(圖6).

圖5 螺栓連接結構受簡諧力示意圖

圖6 基于Bouc-Wen模型的螺栓連接結構滯回曲線

由圖6可知,螺栓連接結構的滯回曲線可以分為4條不同的路徑,通過求解上述的微分方程結合泰勒展開可以得到滯回曲線不同路徑的具體表達式.

(1)ba段(加載段)

dZ1/dy=α-γZ1-δZ1

(3)

(4)

(2)ac段(卸載段)

dZ2/dy=α+γZ2-δZ2

(5)

(6)

(3)cd段(反向加載段)

dZ3/dy=α+γZ3+δZ3

(7)

(8)

(4)db段(反向卸載段)

dZ4/dy=α-γZ4+δZ4

(9)

(10)

泰勒展開雖能很好地擬合結構在加卸載時產生的滯回效應,但其形式復雜,難以直接應用于工程實際計算中,因此,本文基于Weierstrass逼近定理[20],使用有界函數F↑[y(t)]與F↓[y(t)]來描述結構的加卸載狀態.

(11)

(12)

式中:λ0、λ1、λ2、λ3為有界函數的系數,N/kg.

為確保有界函數能準確描述結構的滯回效應,需建立誤差函數,并使其最小,由于滯回曲線具有對稱性,因此對加載或者卸載過程建立誤差函數時結果是一致的,本文通過建立卸載過程中的誤差函數來構建有界函數參數與Bouc-Wen模型參數之間的聯系,誤差函數如下式所示:

(13)

為確保等效方程能準確描述結構的滯回效應,應使誤差函數最小.即對于i=0,1,2,3,使?E/?λi=0,求得各參數表達式如下:

(14)

λ1=α

(15)

8γy0-15δy0)

(16)

(17)

式中:Y=|ymin|=|ymax|,y0為閾值位移.基于上述求解方程,可以將式(1)等效為如下形式:

σ|y(t)|2+λ3|y(t)|3=F(t)

(18)

當螺栓連接結構處于卸載或加載時,σ分別取為λ2、-λ2.

通過上述公式的推導可以建立適用于衛星螺栓連接結構含滯回效應的動力學方程,但該方程包含兩部分未知參數:結構參數(固有頻率ωn、阻尼比ξ)、滯回參數(α、γ、δ).結構在設計、加工、裝配、試驗過程中的多種因素會造成待識別參數具有不確定性,采用參數識別方法中推導過程最嚴格、應用最廣泛的貝葉斯推斷方法進行未知參數的識別能較好地評估參數的不確定性.

2 基于貝葉斯推斷的Bouc-Wen模型參數識別

2.1 貝葉斯推斷方法

基于貝葉斯定理的參數識別與分析流程如下:

(1)將待識別的參數θ視為隨機變量,將系統觀測值D也視為隨機變量;

(2)根據工程實際與經驗給出θ的先驗概率密度函數;

(3)構建含待識別參數θ的模型M,給定一系列θ,計算模型預測數據DM(θ);

(4)根據DM(θ)與D之差為某一正態分布的假設構建參數的似然函數;

(5)根據一組實測數據,將參數的先驗分布轉換為后驗分布.

根據貝葉斯定理可以給定參數的后驗分布:

(19)

式中:π(θ|D)是給定系統觀測值D的更新后驗概率密度函數;π(D|θ)是似然函數;π(θ)是先驗概率密度函數;π(D)是一個歸一化常數,確保π(θ|D)是一個積分值為1的概率密度函數.

系統觀測值D可以表示為

D=DM(θ)+ε

(20)

(21)

待識別參數θ的取值為最大后驗概率(MAP):

θ=arg maxπ(θ|D)

(22)

式(19)～(22)統稱為貝葉斯推斷模型.

2.2 基于貝葉斯推斷的衛星螺栓連接結構Bouc-Wen模型參數識別流程

由上述已知,待識別參數分為結構參數與滯回參數.由于同時識別兩部分參數較為困難,且滯回效應是結構在周期荷載反復作用下產生的,因此本文分別設計了沖擊荷載作用下的螺栓連接結構參數試驗系統和周期荷載下螺栓連接結構的滯回參數試驗系統,參數識別流程分為如下3步.

(1)數據采集

本文采用DHADS系統進行加速度信號的采集,在動力學試驗過程中,施加了以下的輸入信號:力錘敲擊的沖擊信號,用以模擬衛星結構在運行過程中受到的沖擊荷載;激振器施加的正弦荷載,用以模擬衛星結構在運行過程中受到的周期荷載.

(2)基于沖擊荷載試驗的結構參數識別

首先忽略沖擊荷載作用下,螺栓連接結構的滯回效應.采用沖擊荷載試驗識別螺栓的結構參數ωn和ξ.在識別過程中,最重要的是確定貝葉斯推斷模型M.推斷模型M選取應遵循以下原則:推斷模型應包含待識別參數;除待識別參數外,其余參數均為已知量或可測量.在此運動狀態下,可選取一階頻響函數作為推斷模型M,其表達式如下式所示:

(23)

因此,此時參數的似然函數如下式所示:

π(D|(ωnξ)T)∝exp(-‖H1((ωnξ)T;ω)-

(24)

(25)

(3)基于周期荷載試驗的滯回參數識別

在周期荷載持續作用下,螺栓連接結構處于往復的非線性運動狀態,接觸面的相互作用使螺栓連接結構呈現出明顯的滯回效應和能量耗散,因此在結構參數已被識別的基礎上,分析結構在周期荷載下的響應可識別結構的滯回參數.在滯回曲線接近閉合(y0≈0)時,與滯回環路開關相關的系數為0,λ0=λ2=0.此時剩下的參數為

λ1=α

(26)

(27)

此時結構的等效方程式(18)可簡化為

λ3|y(t)|3=F(t)

(28)

由于式(28)中的非線性系統有三次方項,選取三階頻響函數作為推斷模型,其表達式如下式所示:

H3(ω1,ω2,ω3)=-H1(ω1)H1(ω2)H1(ω3)H1(ω1+

ω2+ω3)λ3

(29)

為簡化三階頻響函數的代數復雜性,只分析三階頻響函數的主對角線,使得ω1=ω2=ω3,式(29)可簡化為

H3(ω,ω,ω)=-H1(ω)H1(ω)H1(ω)H1(ω+

ω+ω)λ3?

H3(ω,ω,ω)≡H3(ω)=

(30)

(31)

式中:A為施加荷載的振幅.

因此,關于參數α、δ的似然函數如下:

π(D|(αδ)T)∝exp(-‖H3((αδ)T;ω)-

(32)

對另一參數γ的識別,本文基于螺栓連接結構在非線性運行下的試驗結果與Bouc-Wen模型的數值積分輸出進行,其似然函數如下式所示:

(33)

3 衛星螺栓連接結構含滯回效應動力學參數識別實例

3.1 試驗裝備與試驗過程

衛星螺栓連接結構由一塊五棱柱連接結構及兩塊鋁蜂窩板組合而成,長板的尺寸為300 mm×60 mm×20 mm,短板的尺寸為220 mm×60 mm×20 mm,兩板的材料屬性一致,均為鋁合金,其中蒙皮厚度為0.5 mm,蜂窩芯子厚度為19 mm,蜂窩芯子長度為4 mm,鋁合金的彈性模量為72 GPa,密度為2 700 kg/m3.在試驗件上等間距布置了14個點,各點間距為30 mm.其中3～11號為測點,如圖7所示.該衛星螺栓連接結構的含參含滯回效應的動力學方程可由式(28)表示.

圖7 衛星螺栓連接結構試驗件及測點布置

3.2 基于沖擊荷載試驗的結構參數辨識結果

利用力錘敲擊模擬沖擊荷載,對式(28)中的結構參數進行識別,識別過程如下:

(1)試驗設備的布置

將衛星螺栓連接結構上測點14及其左側進行固支,加速度傳感器布置于2號及7號測點處.

(2)試驗階段

利用力錘依次迅速敲擊3～11號測點(7號測點除外),每一測點敲擊3次,采集敲擊各測點時的激勵數據及響應數據.

(3)數據處理

對(2)中采集到的數據進行傅里葉變換,圖8、9為敲擊3號測點時激勵與響應的傅里葉變換圖像.響應的傅里葉變換與激勵的傅里葉變換之比為一階頻響函數,如圖10所示.基于圖10可以計算得到結構的固有頻率和阻尼比,一階頻響函數的峰值處即為固有頻率,利用半功率帶寬法(式(34))可以求得阻尼比.

圖8 激勵的傅里葉變換

圖9 響應的傅里葉變換

圖10 一階頻響函數

(34)

其中ω1、ω2為ωn曲線上峰值處的頻率值.

基于頻響函數計算各測點的固有頻率和阻尼比,結果如表1所示,其均值分別為254.9 Hz、2.91%,標準差分別為1.885 Hz、0.64%,變異系數分別為0.74%、22%,變異系數的定義為標準差除以均值,反映了試驗數據的離散程度.

表1 依次敲擊各測點時的固有頻率和阻尼比

(4)參數識別

固有頻率ωn的變異系數很小,即固有頻率的離散程度較小,因此在后續的參數識別中,將不再識別固有頻率.而阻尼比ξ的變異系數較大,因此后續進行阻尼比的參數識別.基于表1,設定π(ξ)=N(2.91%,0.64%)作為阻尼比的先驗分布.根據式(23)與式(24)結合貝葉斯推斷模型可以得到阻尼比的后驗分布,如圖11所示.

圖11 阻尼比的后驗分布

由圖11可以看出,阻尼比概率最大值取ξ=2.23%.

3.3 基于周期荷載試驗的滯回參數辨識結果

采用周期荷載試驗可以識別衛星螺栓連接結構的滯回參數.本文利用激振器進行周期荷載的模擬,實現滯回參數的識別.識別過程如下:

(1)試驗布置與過程

試驗裝置如圖12所示,激勵信息與采樣頻率如下:固支點,14號測點;激振器,電磁激振器;傳感器,加速度傳感器;傳感器位置,2、7號測點;激勵位置,11、12、13號測點;激勵幅值,1、3 V;激勵頻率,16.6、50 Hz;采集系統,DHADS.

圖12 激振器試驗裝置

(2)數據采集

基于上述信息進行試驗,獲取不同激勵振幅、激勵頻率下結構的加速度數據.

(3)數據處理

根據式(32)、(33)構建滯回參數的似然函數,參數的先驗分布為均勻分布.

(4)參數識別

基于參數的先驗分布與似然函數,結合貝葉斯推斷模型得到滯回參數的后驗分布如圖13所示,可得滯回參數的最大概率為α=775,δ=637,γ=6.88.

(a)參數α

3.4 結果分析

將上述識別出的結構參數及滯回參數代入式(28),求解微分方程,并將計算值與實測值進行對比,對比結果如圖14(a)所示,結果對比細部圖如圖14(b)所示.利用函數均方誤差來評估結果的合理性,均方誤差表達式如下所示:

(a)結果對比

(35)

將上述計算值與實測值代入式(35)中,得到均方誤差為0.018 5,表明參數識別準確.

如圖14所示,基于Bouc-Wen模型建立的衛星螺栓連接結構動力學模型能較好地反映結構在受到周期荷載時的響應.圖15展示了由動力學模型計算得到的衛星螺栓連接結構在受到振幅為1 V、頻率為50 Hz的正弦荷載時的滯回曲線,該曲線反映了結構的滯回效應與能量耗散.

圖15 螺栓連接結構周期荷載下的滯回曲線

為驗證已識別參數的準確性與動力學方程的適用性,對比了不同振幅及頻率周期荷載下結構加速度實測值與方程計算值,并計算其均方誤差,結果見表2.

表2 不同振幅及頻率周期荷載下的均方誤差

由表2可知,在受到不同振幅及頻率的周期荷載時,計算與實測加速度之間誤差較小,表明基于貝葉斯推斷的衛星螺栓連接結構含滯回效應動力學參數可準確地描述結構的動力學響應.

4 結 論

(1)基于Bouc-Wen模型建立了衛星螺栓連接結構含滯回效應的動力學方程,推導出方程新的滯回等效列式,提取出了待識別的結構參數(固有頻率ωn、阻尼比ξ)和滯回參數(α、γ、δ).

(2)基于工程經驗結合試驗分析給定待求參數的先驗分布,利用一階及三階頻響函數推導了不同參數的似然函數,基于似然函數更新了參數的先驗分布,構建了可推導出參數后驗分布的貝葉斯推斷模型.

(3)通過分析衛星螺栓的結構特性與滯回特征,設計并開展了基于沖擊荷載試驗對結構參數進行識別;設計并開展了基于周期荷載試驗對滯回參數進行識別.通過計算不同振幅不同頻率的周期荷載計算值與實測值之間的均方誤差,驗證了方程的準確性,進而說明了本文所提出的基于貝葉斯推斷的參數識別方法的可行性.

(4)本文所進行研究的試驗件雖是基于易控試驗進行操作的,但本文使用的貝葉斯推斷模型及Bouc-Wen模型構建的是不確定性結構的動力學模型,分析能量耗散行為具有重要意義.