基于自適應(yīng)權(quán)重GPSR算法的ISAR成像

史潤佳，黃一飛，蔣忠進(jìn)

（東南大學(xué)毫米波國家重點實驗室，江蘇南京 210096）

0 引 言

逆合成孔徑雷達(dá)（ISAR）成像在軍事和民用領(lǐng)域得到大量研究和應(yīng)用，對ISAR 成像的精度與速度的要求也越來越高。壓縮感知理論自提出以來，在可壓縮信號處理方面體現(xiàn)出突出性能，得到了大量的關(guān)注和研究。在ISAR 成像中，雷達(dá)散射中心理論符合壓縮感知對于未知參數(shù)稀疏分布的要求，使得壓縮感知理論被成功應(yīng)用于ISAR 成像，同時降低了對數(shù)據(jù)采樣率的要求［1-3］。

壓縮感知理論主要包括3個部分：信號的稀疏表示、測量矩陣以及重構(gòu)算法。重構(gòu)算法作為模型參數(shù)估計的重要步驟，一直是壓縮感知理論的研究重點。根據(jù)重構(gòu)模型直接尋求l0范數(shù)最小化是一個NP 難問題，因此將l0范數(shù)的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)正則化最小二乘問題［4］。為解決此問題，已經(jīng)被提出的算法有基追蹤（BP）算法［5］、內(nèi)點法［6］、稀疏重構(gòu)（SpaRSA）算法［7］、閾值迭代（ISA）算法［8］、梯度投影稀疏重構(gòu)（GPSR,Gradient Projection Sparse Reconstruction）算法［9］等。

為改進(jìn)算法的性能，文獻(xiàn)［10］對SpaRSA 算法進(jìn)行了改進(jìn)，使用一種非單調(diào)策略來確定迭代步長以加快收斂速度。文獻(xiàn)［11］提出了迭代近似梯度投影（IAGP）算法，用近似的梯度來代替GPSR算法中的梯度模型，降低了計算量。文獻(xiàn)［12］在常規(guī)GPSR 算法的基礎(chǔ)上，通過Hessian 矩陣的近似得到迭代的二次近似模型，并結(jié)合延遲策略得出一種新的迭代步長，提高了算法的重構(gòu)效率。

基于正則化參數(shù)在凸優(yōu)化稀疏重構(gòu)算法中的重要性［13-16］，本文提出一種自適應(yīng)權(quán)重GPSR（AW GPSR）算法，并將其用于ISAR成像，此處的權(quán)重即為正則化參數(shù)。該快速算法中，在常規(guī)GPSR 算法的基礎(chǔ)上，給ISAR 圖像中每個散射點配以不同的正則化參數(shù)，并在迭代過程中自適應(yīng)調(diào)整此正則化參數(shù)，以提升ISAR成像的迭代效率。

1 ISAR成像模型

在很短的相干累積時間內(nèi)，ISAR 成像基本原理可等效為圖1所示的二維轉(zhuǎn)臺模型。由于目標(biāo)尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于目標(biāo)到雷達(dá)的距離，所以在對回波數(shù)據(jù)完成運動補償及相位校正以后，目標(biāo)上任一散射點p(a,b)到雷達(dá)的距離可近似為

圖1 ISAR成像二維轉(zhuǎn)臺模型

式中，a和b為散射點的坐標(biāo)，R0為雷達(dá)到目標(biāo)中心的距離，θ為目標(biāo)轉(zhuǎn)動的角度。

根據(jù)理想散射中心模型，目標(biāo)的譜域后向散射場可表示為

式中，f為入射頻率，xd為第d個散射點的散射幅度，d=1，2，…，D。其中exp(-j4πfR0/c)項不影響各個散射點之間的相位差，故在后續(xù)推導(dǎo)中將其忽略。

將雷達(dá)向目標(biāo)發(fā)射信號的方位角離散為M個角點，第m個角點為θm，m=1,…,M。每個角點發(fā)射N個頻率步進(jìn)的脈沖，第n個頻點為fn，n=1,…,N。由此，在第m個方位角的第n個頻點的散射場經(jīng)推導(dǎo)可得

將二維成像場景離散采樣P行Q列，在壓縮感知里，P通常取M的倍數(shù)，Q通常取N的倍數(shù)。為使散射中心不發(fā)生越距離單元徙動，雷達(dá)的相對轉(zhuǎn)動角度一般很小，因此可近似認(rèn)為sinθm≈θm，cosθm≈1。由于在ISAR 成像中，雷達(dá)脈沖帶寬相對于中心頻率非常小，則可以認(rèn)為在頻率變化時，波長近似不變。基于以上條件，通過推導(dǎo)可得散射場表達(dá)式：

將上式改寫為矩陣形式可得

式中Y∈CM×N為散射回波信號的觀測矩陣，X∈CP×Q為散射幅度矩陣，也是需要估計的未知參數(shù)。Φr∈CM×P與Φa∈CN×Q分別為距離向和方位向的信息矩陣，其具體表達(dá)式為

由于強散射點數(shù)量遠(yuǎn)小于散射幅度矩陣X的尺寸，所以矩陣X具有稀疏性，可以利用壓縮感知理論的重構(gòu)算法，基于觀測信號Y予以重構(gòu)。

為適應(yīng)梯度投影稀疏重構(gòu)（GPSR）算法的需要，將式（5）作矢量化處理，改為一維表達(dá)式：

式中y∈CMN×1、x∈CPQ×1分別為觀測矩陣Y、散射幅度矩陣X矢量化后的一維數(shù)組，Θ=Θa?ΘTr∈CMN×PQ為矢量化后的感知矩陣，符號?為Kronecker積。

2 GPSR參數(shù)重構(gòu)算法

2.1 常規(guī)GPSR算法

在壓縮感知參數(shù)重構(gòu)中，可基于l1范數(shù)最小化原則求解：

針對上式，可建立參數(shù)重構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)為

τ為正則化參數(shù)。為了將其轉(zhuǎn)化成一個二次問題，將x分為正負(fù)兩部分，引入置換式：

其中(x)+=max{0,x}，ui=(xi)+，vi=(-xi)+，i=1,2,3,…,I，I=PQ是向量x的長度。然后x的l1范數(shù)可表示為

1I=[1,1,…,1]T為長度為I的單位列向量。

然后可將式（10）改寫為下邊界受限的二次方程：

將上式再次改寫為

式中，

常規(guī)GPSR 算法利用梯度投影算法來求解式（14）［17］。在第k次迭代中，將參數(shù)估計值zk沿著負(fù)梯度-?F(z(k))方向進(jìn)行修正，修正公式如下：

式中，λ(k)∈[0,1]，α(k)需要確定。

然后定義函數(shù)g(jk)為

式中，j=1,2,…,J，J=2PQ也是矢量z的長度，且有g(shù)(k)={g(1k),g(2k),…,g(Jk)}。

確定第k次迭代中的初始迭代步長因子α(0k)：

常規(guī)GPSR算法步驟如下：

Step0：給定初始化的z(0)，選擇常數(shù)β∈(0,1),μ∈(0,1/2)，令k=0。

Step1：通過式（18）計算初始步長因子α(0k)。

Step2：通過回溯線搜索，選擇α(k)為序列α(0k),βα(0k),β2α(0k)…中第一個滿足下式的數(shù)字：

Step3：更新z值：z(k+1)=(z(k)-α(k)?F(z(k)))+。

Step4：測試z(k+1)是否滿足終止條件。如滿足條件則終止迭代；否則令k=k+1，并轉(zhuǎn)回Step1。

2.2 自適應(yīng)權(quán)重GPSR算法

自適應(yīng)權(quán)重GPSR（AW GPSR）算法中，對于x中不同幅值的元素賦予不同的正則化參數(shù)，以加快參數(shù)重構(gòu)的收斂速度。其參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

式中，wI∈RI為權(quán)重向量，表示為

式中，wi是對應(yīng)于參數(shù)x中的第i個元素的正則化參數(shù)。

得到參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

式中，wu為對應(yīng)于u的權(quán)重矢量，wv為對應(yīng)于v的權(quán)重矢量。將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步寫為

式中，

令w=表示對應(yīng)于z的權(quán)重矢量。

在AW GPSR算法里，也是利用梯度投影算法來求解未知參數(shù)z，其原理和常規(guī)GPSR算法相同。只是在迭代過程中，還存在一個加權(quán)系數(shù)w的更新問題。

為參數(shù)z加權(quán)以提高迭代效率的思想是，在迭代過程中，對于一個值很小的zi，可以為其添加一個較大的正則化參數(shù)wi，從而使它在后面的迭代中快速地收斂至0；對于一個值較大的zi，可以為其添加一個較小的正則化參數(shù)wi，以使其在下次的迭代中保持不變。

在該算法中，通過前一次迭代的z(k)和w(k)對正則化參數(shù)w進(jìn)行更新，得到w(k+1)。設(shè)z(k)的支撐集為Γ(k)，也就是z(k)中非零元素的下標(biāo)集合，則正則化參數(shù)w更新為

式中，η=，L=2PQ是待重構(gòu)參數(shù)z的長度。

AW GPSR算法步驟如下：

Step0：給定初始化的z(0)，w(0)，選擇常數(shù)β∈(0,1),μ∈(0,1/2)，令k=0。

Step2：通過式（18）計算初始迭代步長因子α(0k)。

Step3：通過回溯線搜索，選擇α(k)為序列α(0k),βα(0k),β2α(0k)…中第一個滿足下式的數(shù)字：

Step4：更新z(k+1)=(z(k)-α(k)?F(z(k)))+；根據(jù)式（24），更新wi(k+1)，得w(k+1)。

Step5：測試z(k+1)是否滿足終止條件。如滿足條件則終止迭代；否則令k=k+1并轉(zhuǎn)回Step1。

3 實驗結(jié)果及分析

本文對AW GPSR 算法進(jìn)行了Matlab 編程和ISAR 成像測試，使用仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)進(jìn)行ISAR 成像實驗，并與常規(guī)GPSR 算法、距離-多普勒（R-D）算法、ESPRIT 算法在計算時間與成像效果方面進(jìn)行了比較。

仿真實驗使用的目標(biāo)模型為Su27 戰(zhàn)機，其CAD 模型如圖2所示，電磁仿真的基本參數(shù)為：發(fā)射信號中心頻率為10 GHz，帶寬為0.5 GHz，步進(jìn)頻采樣，采樣頻點為64；俯仰角固定為85°；方位角范圍為［-1.432 4°，1.432 4°］，采樣64 個角點；所以仿真得到的回波二維譜矩陣的尺寸為64×64。對應(yīng)的徑向和橫向分辨率均為0.3 m。實驗環(huán)境為CPU 主頻3.20 Hz、64 位Windows10 操作系統(tǒng)、Matlab R2018a。

圖2 Su27飛機CAD模型

為證明AW GPSR 算法在目標(biāo)函數(shù)收斂速度方面的效果，本實驗記錄并給出了AW GPSR 算法與常規(guī)GPSR 算法的目標(biāo)函數(shù)迭代曲線對比圖，如圖3所示，其橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)代表目標(biāo)函數(shù)值，從圖中可以看出，AW GPSR 算法的目標(biāo)函數(shù)收斂速度優(yōu)于常規(guī)的GPSR算法。

圖3 目標(biāo)函數(shù)收斂趨勢比較

在對于仿真數(shù)據(jù)的成像效果方面，實驗比較了4種算法在信噪比分別為0，5，10 dB條件下進(jìn)行ISAR成像的結(jié)果，如圖4所示。

圖4 基于仿真數(shù)據(jù)的ISAR成像結(jié)果

從圖中可以看出，R-D 算法和ESPRIT 算法成像的尺寸與回波二維譜矩陣的尺寸相同，都為64×64。而常規(guī)GPSR 算法與AW GPSR 算法屬于壓縮感知類算法，散射幅度矩陣的尺寸可以大于回波二維譜矩陣，本實驗設(shè)定的散射幅度矩陣X的尺寸為128×128。從ISAR 成像效果來看，AW GPSR算法要好于R-D算法和ESPRIT算法，與常規(guī)GPSR算法相當(dāng)。

為更準(zhǔn)確地比較AW GPSR 算法與常規(guī)GPSR算法的ISAR成像效果，本文引入了ISAR圖像的重構(gòu)均方誤差指標(biāo)，即以常規(guī)GPSR 算法在無噪聲條件下所成ISAR圖像為參考圖像，計算每幅ISAR圖像相對于參考圖像的均方誤差。表1給出了兩種算法在不同信噪比條件下的重構(gòu)均方誤差，從表中可以看出，兩種算法在不同信噪比下的重構(gòu)均方誤差都十分接近，證明了AW GPSR 算法與常規(guī)GPSR成像效果相當(dāng)。

表1 兩種算法誤差對比

表2為4 種算法對于Su27 戰(zhàn)機仿真數(shù)據(jù)的ISAR 成像時間對比，其中R-D 算法成像時間最短，ESPRIT 算法成像時間最長；AW GPSR 算法成像時間要短于常規(guī)的GPSR 算法，在本次實驗中，AW GPSR 算法的成像時間相較于常規(guī)GPSR 算法大概減少了23%。

表2 4種算法成像時間對比

本實驗采用實測數(shù)據(jù)進(jìn)行了ISAR 成像，實測數(shù)據(jù)來自于Yak-42 飛機。發(fā)射信號的中心頻率為5.52 GHz，帶寬為0.4 GHz，脈沖重復(fù)頻率為400 Hz，徑向分辨率為0.375 m。上述4 種算法對于實測數(shù)據(jù)的ISAR成像結(jié)果如圖5所示。

圖5 ISAR成像實測數(shù)據(jù)

由圖5可知，AW GPSR 算法的ISAR 成像效果與常規(guī)GPSR 算法相當(dāng)，但明顯好于傳統(tǒng)的R-D 算法和ESPRIT算法。關(guān)于上述4種算法采用Yak-42飛機實測數(shù)據(jù)進(jìn)行ISAR 成像的計算時間對比，其情況與仿真數(shù)據(jù)類似，此處不再列出。

4 結(jié)束語

本文在GPSR 算法的基礎(chǔ)上，研究了正則化參數(shù)對算法迭代效率的影響，并提出一種AW GPSR算法，該算法針對ISAR 圖像中的不同散射點使用不同正則化參數(shù)，以提高ISAR 成像迭代效率。本文采用仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)，對比了AW GPSR 算法、常規(guī)GPSR 算法、傳統(tǒng)的R-D 算法以及ESPRIT算法的計算時間和ISAR 成像效果。相較于常規(guī)GPSR算法，AW GPSR算法的參數(shù)重構(gòu)迭代收斂更快，因此具有更短的ISAR 成像計算時間，其計算時間縮短了約23%。在ISAR 成像效果方面，AW GPSR 算法和常規(guī)GPSR 算法相當(dāng)，但明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的R-D算法和ESPRIT算法。