基于q-高斯過程下的帶紅利歐式期權定價

劉利敏,閆鈺蕾

(河南師范大學 數學與信息科學學院,河南 新鄉 453007)

在金融市場的發展進程中,期權既具有套期保值、規避風險等作用,又具有靈活性和多變性等特點,所以成為金融市場上最具潛力的金融衍生產品.1973年,BLACK等[1]導出了著名的Black-Scholes期權定價公式,MERTON[2]在B-S模型的基礎上引入Poisson跳過程來刻畫股票價格過程存在跳躍的情況,并考慮了股票以紅利率形式支付分紅的情況,導出了支付分紅的歐式期權定價公式,從而將分紅問題引入期權定價理論研究中.1975年,BLACK[3]又提出了離散分紅的情形,并指出標的股票的初始價格是其實際價格減去分紅現值.基于無套利條件,2002年,CHANCE[4]考慮了股票離散分紅的歐式期權定價問題,并假設存在標的資產為股票未來分紅的分紅遠期合約,從而構建投資組合.然而,只有在有分紅的情況下,這種分紅遠期合同才有意義,使得該研究方法具有局限性.基于CHANCE[4]的結論,MATOS等[5]改進了其投資組合策略構造了新的套期保值策略,該策略包括基本資產、無風險零息債券和股息條.由于市場上不會存在偶然構建的分紅遠期合約,所以,Matos的策略更為合理.

經典的期權定價研究中股票的價格都是布朗運動驅動的,無法刻畫價格的長相依性,因此很多學者改進了價格模型.文獻[6-8]都用分數布朗運動代替布朗運動刻畫長記憶性;文獻[9-12]用q-高斯過程代替布朗運動刻畫長記憶性.

1 基于q-高斯過程的帶紅利歐式期權定價

假設市場中有兩類資產,一類是無風險資產,如無風險債券,t時刻的價格為Bt,滿足dBt=rBtdt.另一類是風險資產,假設為股票,t時刻的股票價格為St,滿足

dSt=μStdt+σStdΩ(t).

(1)

其中Ω(t)遵循以下隨機過程

(2)

其中r為無風險利率,Wt為零均值高斯白噪聲,當q=1時,為標準布朗運動.P(Ω(t),t)的形式如下,

引理1[11]股票價格由q-高斯過程驅動的歐式看漲期權定價公式為

Ct=StMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

(3)

其中

(4)

理論上的分紅方式有兩種:一種是連續分紅,即每年按一定比例將股票或其他資產獲得的利潤支付給投資者,這個比例稱為紅利率,在本文用α表示;另一種分紅方式是離散分紅,可以是固定時刻固定分紅的分紅方式,也可以是離散隨機分紅,離散隨機分紅又分為分紅值隨機,或者隨機時刻產生固定分紅.

1.1 連續紅利的期權定價

定理1令紅利率為α,標的資產為持續分紅的股票,當敲定價格為K,到期日為T時的歐式看漲期權的價格為

Ct=e-α(T-t)StMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

(5)

這里Mq(γ1,γ2)和Nq(γ1,γ2)由式(4)給出.

證明為了得到連續分紅的期權定價,首先考慮一個不帶分紅情況的投資組合,假設h1是在t時對股票S的投資額,h2是在t時對期權C的投資額.然后,投資組合的總資產Q在時間t滿足

Q=h1+h2.

(6)

在時間t+dt,投資組合的回報是

(7)

這里dSt/St和dCt/Ct分別代表股票和期權在[t,t+dt]時間段內的收益.根據It公式

dCt=βCtdt+φCtdWt.

(8)

由式(1)、(2)和(8)有

(9)

適當的h1和h2使投資組合無風險,因此式(9)中dWt之前的系數應為0,即

(10)

(11)

令g1=h1/(h1+h2),g2=h2/(h1+h2),則

g1+g2=1.

(12)

通過分別替換β和φ的值,得到期權價格Ct滿足

(13)

式(13)即為股票價格由q-高斯過程驅動的Black-Scholes微分方程.

Ct=StMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

為微分方程(13)的解,其中參數值由式(4)給出.

下面給出在q-高斯過程下帶紅利率的歐式看漲期權的定價公式.根據式(10)和(11),有

(14)

設Dt為單位時間的分紅,在式(1)中μ為預期收益率,則分紅后的預期收益率為μ-Dt/St,假設分紅后的期權價格函數為C(St,t),根據It公式可得

由β和φ的定義,有

(15)

通過應用式(14)和(15),可以得到期權定價的帶紅利的隨機微分方程

(16)

MERTON[2]在帶分紅的股票價格由布朗運動驅動情況下的隨機微分方程為

(17)

當Dt=αSt時,所得到的在布朗運動下具有連續紅利率α的期權定價公式為

W=e-αTSN(d1)-Ke-rTN(d2).

根據文獻[2]得到的帶分紅的期權定價公式,結合式(3)類比推導出方程(16)的解為

Ct=e-αTStMq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

1.2 離散分紅的期權定價

由于采用連續紅利率的形式進行分紅屬于較為理想的分紅方式,所以大部分股票采用的都是在固定時間進行離散分紅.假設在時刻τ進行分紅.如果τ>T,則在周期[0,T]之內不存在分紅,所以如果想要獲得分紅則需τ

C=(St-Dt(τ))N(d1)-Ke-r(T-t)N(d2).

根據上式,可以推及股票價格由q-高斯過程驅動的帶離散分紅的歐式看漲期權定價公式.

定理2行權價格為K,到期日為T,帶離散分紅的歐式看漲期權在τ時間的價格為

Ct=(St-Dt(τ))Mq(γ1,γ2)-Ke-r(T-t)Nq(γ1,γ2).

(18)

文獻[5]改進了文獻[4]的投資組合策略,但是結果沒有改變.并且文獻[5]構建的投資組合已被證明是連續的,自融資的,而且可以復制到期時看漲期權的價值.所以采用與文獻[5]相同的投資策略,即可得到q-高斯過程下具有離散分紅的期權定價公式(18),在此不做過多闡述.

2 q-高斯過程的參數估計

將式(2)代入式(1)可得:

(19)

式(19)中含有3個待估參數,分別為μ,σ,q.由于同時對3個參數進行估計比較困難,所以將其分開來估計.

最后是波動率σ.根據伊藤公式,

將區間[0,T]進行劃分,令0=t0

(20)

2.1 期權定價的數值模擬

由于在實際中采用連續紅利率分紅的情況較少,所以本節不對連續紅利率的分紅方式進行模擬.只對離散分紅的進行模擬驗證.首先分析固定時間固定分紅值的期權價格情況.令股票的初始價格為S0=50,無風險利率為r=0.05,敲定價格K=45,q=1.3,T=1,σ=0.2.在計算期權價格理論值之前,需要計算出Mq(γ1,γ2),Nq(γ1,γ2).借助文獻[11]的方法,對式(4)中出現的參數d1(q),d2(q),d3(q),d4(q)利用用最小二乘法對其進行估計.通過計算得到當q=1.3時,d1(q)=0.169 2,d2(q)=0.008 0,d3(q)=0.049 8,d4(q)=0.742 2.

分別生成100,1 000,1 500,2 000條股票價格路徑,得到對應的模擬期權值,和由式(18)得到的理論值進行比較分析.表1給出了在第5個和第6個時間節點處分別進行D=1以及D=2分紅的期權價格.

表1 分紅時刻不同以及分紅值不同對應的期權價格

隨著模擬路徑條數的增多,理論值與模擬值之間的誤差越來越小,理論值越來越接近模擬值,這反映了所得到的期權定價公式(18)是合理有效的.此外,還可以發現分紅時刻的不同以及分紅值的大小都會影響期權價格,隨著分紅時刻的推遲,所對應的期權價格呈上升趨勢,且當分紅時刻不變時,固定分紅值越小,期權價格越高,這些情況都與實際的市場規律相符合.

下面研究當分紅時刻是隨機時,期權價格的變化情況.假設在隨機時間τ產生離散固定分紅D.當τ-t

選擇不同的λ各生成100個隨機數,代表每個股價路徑的分紅時間.由于到期日T=1,所以如果發現τ大于1時,就意味著在這條路徑上不存在分紅.通過對隨機數的觀察可以發現,當λ=0.3時,有3個值大于1;當λ=0.4時,有8個值大于1;當λ=0.8時,有38個值大于1.隨著λ的增加,不分紅股票的價格路徑逐漸增多.

下面比較當λ不同時,期權價格理論值與模擬價格之間的誤差.

從表2可以看出,λ不同時,理論值與模擬值之間的誤差都較小,表明雖然分紅時刻隨機,但根據期權定價公式算得的期權價格仍是合理的.并且發現隨著λ的增加,不分紅股票價格路徑逐漸增多,期權價格也隨之升高,因為在市場中標的資產產生的紅利將降低標的資產的價格,這也說明了公式(18)是符合實際的.

2.2 參數估計的模擬研究

令S0=50,T=1,q=1.3,μ=0.1,σ=0.2通過蒙特卡羅數值模擬生成1條股票價格路徑,假設路徑上有100個節點,每個節點代表一個股票價格.令初始設定值為H=0.588 2,q=1.3,μ=0.1,σ=0.2,利用第1部分的方法模擬得到對應的參數估計值分別為H=0.583 1,q=1.285 0,μ=0.099 2,σ=0.225 6.與設定值之間的誤差為ΔH=0.005 1,Δq=0.015 0,Δμ=0.000 8,Δσ=0.025 6,通過對數據的觀察可以發現模擬值與設定的參數值之間誤差效果較好.

下面驗證所得估計量的穩定性,分別生成并選取100條,500條,1 000條股票價格序列來對參數進行估計,得到的估計值由這些路徑模擬出來的數值的均值E來代替.并通過計算方差V進一步觀察估計量穩定的效果.模擬結果見表3.

表2 λ不同時對應的期權價格

表3 估計量的穩定性模擬

由表3可知q值的大小對參數μ,σ估計量的大小沒有產生大的波動,其中μ的估計值仍在0.1附近,σ的估計值仍在0.2附近,可見q的改變對其他兩個參數的估計值以及估計效果并沒有產生特別大的影響.隨著路徑條數的增加,估計量模擬值與設定值之間的誤差都越來越小,這說明估計值在設定值周圍的上下波動幅度越來越小,越來越趨于設定的參數值,并且在表3中可以看到各組方差的數值也較小,這都證明了估計量的穩定性,也反映出第2部分提出的估計方法較為合理.

3 實證分析

將8月9日看作期權起始日,將那天的股票價格作為初始價格S0,即S0=288.33,無風險利率r取美國一年期國債利率r=1.09%.MSFT股票的連續紅利率不是固定不變的,在不同的時期有不同的紅利率.在8月9日至9月24日這期間連續紅利率為α=0.75%,隨后將各參數值代入式(13)得到理論期權值.對于固定分紅,通過搜索數據可知2021年11月17日進行一次Dτ=0.62的分紅,根據Dt(τ)=E[Dτe-r(τ-t)|Ft]可知貼現到9月24日則有Dt(τ)=0.572 2,將Dt(τ)與各個參數值代入式(17)得到理論期權值.

通過對表4的分析可知,無論是帶連續紅利率的分紅還是在固定時刻的離散分紅,這兩種分紅方式所得到的理論值也都隨著敲定價格K的增大而減小,并且與真實值都較為接近,理論值與真實值之間誤差較小,這說明理論值符合實際市場情況,也反映了得到的帶分紅的期權定價公式合理有效.

表4 帶紅利率和固定分紅的不同敲定價K對應的期權值