廣義分位數(shù)的漸近性質(zhì)①

楊茜， 彭作祥

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

H(0)=0H(1)=1H′+(0)=0

文獻(xiàn)[1]定義X的廣義分位數(shù)

(1)

定理2在定理1的條件下,有

在證明定理1之前,先引入3個(gè)引理.

證參見文獻(xiàn)[1]引理3.

證記

(2)

其中

(3)

由文獻(xiàn)[14]的命題0.7(b)可知H′∈RVα-1.根據(jù)文獻(xiàn)[14]的命題0.5,控制收斂定理及正規(guī)變化函數(shù)的局部一致收斂性,有

(4)

(5)

因此,由(3)-(5)式可得

(6)

對(duì)Δ2(τ),同樣由文獻(xiàn)[15]的定理B.2.18可知,對(duì)任意>0,0<δ<γ-1-b(α-1),存在(,δ)使得對(duì)有

因此,

注意到

(7)

由(2),(6)與(7)式可知結(jié)論成立,引理證畢.

定理1的證明由引理1可知

等價(jià)于

(8)

由引理3,令b=1有

(9)

記

對(duì)第三項(xiàng)A3(τ),有

(10)

由文獻(xiàn)[14]的命題0.7(b)可得H′∈RVα-1,類似引理3的證明有

(11)

(12)

由(10),(11)與(12)式可得A3(τ)收斂到1.因此,

(13)

聯(lián)合(8),(9)與(13)式可得定理得證.