相依時序逐日盯市條件尾期望的經驗估計①

陳皓鈺， 彭作祥

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

近年來,風險度量在金融市場中變得愈加重要.記投資組合收益為隨機變量X,其累積分布函數為FX(x).給定顯著性水平α∈(0,1),在險價值

VaRX(α)=-sup{x:FX(x)≤α}

給出了投資組合以α的概率所遭受的最小損失值.文獻[1-2]分別刻畫、研究了對沖基金的風險特征與資本充足率,及住宅市場的下行風險.文獻[3]將在險價值與醫院金融風險管理相結合,以達增強醫院資產流動的目的.但VaR因不滿足次可加性,故不是一致性風險度量[4].作為本文的研究對象,條件尾期望

CTEX(α)=-E(X|X≤-VaRX(α))

刻畫了投資組合在損失超過閾值VaRX(α)時所遭受的期望損失值,且當FX(x)為連續函數時,其滿足一致性風險度量的所有理想性質[4-5].關于條件尾期望估計量及條件尾期望在銀行、金融服務與保險等領域的廣泛應用,見文獻[6-12].

盡管在險價值與條件尾期望有著簡單且易于理解的表達式,但其是根據持有期結束時的投資組合收益變化計算的.故當金融機構出現投資組合在其持有期內有多次結算時,在險價值與條件尾期望很難適用于該金融機構內部風險的評估.同時為緩解在險價值對資產市場風險的低估,基于投資組合在每一個連續交易日的收益時序{X1,X2,…},文獻[13]提出了逐日盯市在險價值

的α分位數.基于逐日盯市在險價值,本文提出逐日盯市條件尾期望:

為保證逐日盯市條件尾期望滿足風險度量一致性公理,且為便于后續理論推導,本文針對Y1的累積分布函數FY,作如下假設:

(i)FY在定義域內連續;

(iii)F′Y(ξα)=:f(ξα)>0.

其經驗估計量定義為

本文主要結論如下:

(1)

幾乎處處成立.

(2)

類似地,有

(3)

則由Borel-Cantelli引理可知(1)式幾乎處處成立.定理證畢.

如下定理2給出了逐日盯市在險價值經驗估計量的漸近分布.

記Hn=Y(kn),則

(4)

證因為

(5)

(6)

(7)

綜合(6),(7)式可知(4)式成立.定理證畢.

證若證得

(8)

(9)

(8)式的左邊部分可拆分為

(10)

(11)

(12)

與

(13)

定理4假設定理1的條件成立,則對任一給定的α∈(0,1),

證首先計算如下積分:

(14)

基于類似的計算步驟,可得

(15)

接著計算如下等式:

其中基于(14)與(15)式可得

由此可知RY,n(α)的界為