尋根溯源：讓意義自然生長*
——以“小數除法”教學為例談數運算的一致性

李 軍

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：數學課程內容的一大特點就是整體性。對“整體性”的理解落實到小學“數與代數”內容領域，就要讓學生“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”。新課標里的這段話字數不多，但“知易行難”。如何更好地將新課標要求融入課堂教學呢？“小數除法”是小學數學四則運算教學的重要內容，教師應如何在其教學中引導學生真正理解并構建數運算的一致性呢？下面，筆者來談幾點思考。

一、尋根：構建數運算一致性的全局性理解

從當前的教材和教學來看，關于數的運算，加法、減法、乘法、除法有各自的算理，整數、分數、小數也有各自的算法，這些知識看似支離破碎，缺乏內在一致性，其實不然。以“小數除法”為例，我們可以從運算的意義、算理和算法等視角構建對數運算一致性的全局性理解，從而更好地實施基于數運算一致性的結構化教學。

1.縱向理解：小數除法與整數除法的一致性

從運算算理、算法上分析，除法運算的一致性體現在：計數單位與計數單位相除，計數單位上的數字與計數單位上的數字相除。以整數除法為例，被除數被分解成以不同計數單位為單位的若干個部分，這些部分分別參與運算，再將得數組合。如“480÷2=240”其實就是被除數“480”被分成“4 個百”和“8 個十”，分別除以2，得到“2 個百”和“4 個十”，也就是“240”。不管是整數除法還是小數除法，都要遵守一個統一的規則：逐步平分不同數位上計數單位的總數。如“11.5÷5=2.3”，其實就是“11.5”被分成了“10個一”與“15 個0.1”，分別除以5，得到“2 個一”和“3 個0.1”，也就是“2.3”。通過這樣的規則使得每一次的商總是小于或等于9 個計數單位，這就將除法運算還原成了乘法口訣表中的乘法運算，其背后其實是位值制和除法運算意義的一致性，我們可以把它看成一種縱向的一致性。

2.橫向理解：小數四則運算的一致性

從運算意義上分析，加法是運算意義的基礎，減法、乘法、除法都是在加法基礎上衍生而來的，那么，小數除法與小數的加法、減法、乘法之間也是有一致性的。小數加減運算就是將每一個數按照計數單位進行分解，然后相同計數單位上的數字相加減。如“1.26+4.1”，兩個加數分別分解成“1 個一，2 個0.1，6 個0.01”和“4個一，1 個0.1”，相同計數單位上的數字相加減后得到“5 個一，3 個0.1，6 個0.01”，即“5.36”。小數乘法運算也是計數單位與計數單位相乘，計數單位上的數字與計數單位上的數字相乘。在這個意義上，小數除法中體現出來的一致性是對“位值制”和“運算都是對計數單位進行操作”這兩個大概念再一次強有力的證明，帶領學生建立知識之間的聯系，體會知識的本源性、一致性和整體性。

基于上述分析，要構建對數運算一致性的全局性理解，就要帶領學生體驗計數單位的統領作用，縱向探索整數、分數、小數運算的一致性，橫向打通四則運算的一致性，促進他們逐步理解所有運算均基于計數單位，從而達到算理貫通、算法統整的目標（如圖1）。

（圖1）

二、扎根：踐行數運算一致性的關注點

要解決“小數除法”難以真正理解的問題，僅僅停留在對“小數除法”的研究是不夠的，需要系統思考、整體布局。

1.突破重難點，建立“數”與“運算”之間的聯系

數概念是數運算的基礎，數運算是對數概念的再應用，由此可見數概念的理解對數運算的重要性。具體到小數除法，小數意義的精準建構就是小數除法計算的一塊重要基石，直接影響到小數除法計算的學習效果。但是，小數意義的教學同樣是小學階段難啃的一塊硬骨頭，學生在小數意義理解方面主要存在以下兩個問題：一是學生對小數的數位意義缺乏足夠的理解，比如，學生能夠理解“1 可以轉化為10個0.1”，但將這種理解轉化成計算中的“滿十進一”并利用數位與位值進行表征時，就出現了不同的錯誤，這也說明學生并沒有將整數的十進位值計數與小數的十分位值計數統一上升至十進制思維；二是學生通常認為小數表示數量，不能從“整體—部分”的意義層面加以理解，比如，與盒餅干相比，0.25 盒餅干的意義更難被學生理解。顯然，學生并沒有很好地從整體視角上關聯整數、小數、分數。

關于小數意義的教學研究相當豐富，限于篇幅，本文僅基于以上分析提出兩點思考。

其一，在教學小數的意義時，樣例適當增加帶小數。在教學小數的意義時，常常需要結合面積模型、立體模型等不同模型理解小數“十分”的本質，此時教材中的樣例以純小數居多（如圖2）。在初學小數的意義時，這樣的安排有其合理性，沒有整數部分的干擾，分數與小數的聯系更容易凸顯。但考慮到在完成此類練習時學生僅憑三年級學習“小數的認識”“分數的認識”的經驗就可以準確填空，很容易忽略掉最關鍵的一步。沒有真正建立起小數和分數之間的聯系，小數概念的本質就不能很好地凸顯。因此，在后續練習鞏固時，要合理進行變式練習，尤其應當在樣例中適當增加形如“”“”的練習，幫助學生真正理解“小數是按照十等分和逢十進一的規則構造出來的，和整數一起構成完整的位值計數系統”，促進學生發展十進制思維，這才是小數教學的本質意義和核心所在。

（圖2）

其二，在理解“整體—部分”關系時，適當增加非十進率情境。學生在日常生活中常常能在超市等地見到小數，很容易讀懂表示價格的小數，但也只是從“形”上記住了小數，對小數意義的理解只停留在元、角、分等特定情境下。如學生在理解“1 元2 角3 分=（）元”時，依據是“元”對著個位，“角”對著十分位，“分”對著百分位，這種解釋沒有上升至對小數抽象概念的理解，不能很好地實現小數概念的數學化。因此，在教學中，不能忽視從“整體—部分”的層面理解小數的意義，爭取實現“在非十進率的單位情境下理解小數的含義”和“在無情境下能夠理解小數計數單位的意義”。如在學習小數的意義時，可以先有意識地增加“1 米3 厘米=（）米”“12 克=（）千克”等整百、整千進率的單位情境，再嘗試挑戰“0.4 分=（）秒”等六十進率的單位情境。這樣的設計符合學生學習小數概念的一般路徑，有助于學生在不同進率的單位情境中學習體驗，不斷深化思考，提煉出共性，從而達成對小數抽象意義的理解，形成對小數概念本質的深刻理解。

2.找準關鍵點，打通“運算”與“運算”之間的聯系

數學運算是一個統一體，但要真正打通運算與運算之間的聯系并不容易。“小數除法”主要包含“小數除以整數”“整數除以整數（商是小數）”“小數除以小數”等內容，實際上，小數除法可以簡單分為兩類——“除數是整數的小數除法”和“除數是小數的小數除法”。由于“一個數除以小數”可以通過商的變化規律轉化為“除數是整數的小數除法”來計算，其他知識都圍繞這兩種小數除法展開并逐步深入，所以事實上，“小數除法”教學的核心內容就是“除數是整數的小數除法”。

進一步分析，在“除數是整數的小數除法”中，多個版本的教材均以“小數除以整數”為第一課時，因而筆者以“小數除以整數”為研究對象開展了一次調查。隨機抽取四年級兩個班90 名同學，要求學生用自己的方法完成“買了5支鉛筆，用了11.5 元，每支鉛筆多少元？”這道題。調查結果出乎意料，87.8%的學生能夠根據情境正確列出除法算式并得到正確答案，學生是怎么做到的呢？

在回答正確的學生中，有79.7%的人遷移了整數除法的計算方法，列出如圖3 所示的豎式。筆者對這部分學生進行訪談發現，他們盡管是首次接觸小數除法，也沒有學習過小數乘法，但因其在之前的學習中體驗到了“小數加減法”與“整數加減法”的一致性，了解到“小數加減混合運算的法則與整數相同”，所以大膽猜測可以將“整數除法”的算法遷 移 到“ 小 數 除法”。需要注意的是，僅有5 個學生在豎式計算中“除到小數部分不保留小數點”，其余學生均保留了小數點，這說明多數學生沒有理解豎式的每一個步驟都是在記錄“計數單位數量的等分”。

（圖3）

針對上述問題，筆者從兩個方面提出教學建議。

其一，強化操作，重視過程。無論在整數除法還是小數除法的教學中，都要強化操作活動，重視讓學生經歷“分的過程”。在學習整數除法時，要舍得花時間，如提供如圖4所示的學具，讓學生充分經歷對“計數單位”的操作，并在操作完成后引導學生用語言描述“分的過程”。如此，操作、算式、語言在比較中互相轉化，豐富了“分”的表象，強化了“分”的感知，再放手讓學生獨立嘗試列豎式計算。即使如此，在學習小數除法時，依然不能忽視“分的過程”，小數點要不要下來，不能簡單一筆帶過，要借助“元、角、分”模型，讓學生從計數單位的角度來理解，通過具體操作明晰，在小數計算的過程中，始終都是在進行“計數單位數量的等分”，達成計數單位統領下的小數除法與整數除法的一致性。

（圖4）

其二，加強關聯，適度深化。在調查中，學生解決問題的方法多達十余種，比較典型的有拆分法和轉化法。教師可以先引導學生進行分類，梳理出不同方法之間的共性，得到拆分和轉化兩種方法，但分析不能僅僅停留在這一層面，還要去粗取精、由表及里。從本質上來說，轉化法就是縱向上的數運算的一致性，都是把小數除法轉化為整數除法后進行計算，只是轉化思路各有千秋。拆分法則是逐步平分不同數位上計數單位的總數，體現的是運算都是對計數單位進行的操作，可以從橫向上的數運算的一致性進行理解。站在這樣的高度賞析學生作品，既有助于激發學生的自豪感和自信心，也有助于他們形成數學的眼光、數學的思想和方法。

當然，引導學生體會數運算的一致性，不可急于求成，而要靜待花開。我們要從零敲碎打走向整體建構，在數的認識、數的運算的每一節課中尋根溯源、把握本質，在日積月累的堅持中期待復利效應凸顯，助力學生核心素養的培養和提升。