例談巧構直角三角形解題

馬溶薇

【摘??要】??數(shù)形結合思想是解決數(shù)學問題中常用的一種思想方法，許多代數(shù)問題都可以用幾何的方法解決，本文通過對幾道2022年高考題及改編的競賽題等的分析解答，體會直角三角形在數(shù)學解決中的重要作用.

【關鍵詞】 ?構造；直角三角形

1 ?引言

在中學數(shù)學課程中，三角形是一個居于核心地位的幾何圖形，是能夠充分體現(xiàn)“借助簡單對象闡釋深刻思想”的理想載體[1]. 直角三角形最主要的性質在于勾股定理，勾股定理作為聯(lián)系數(shù)學中數(shù)與形的第一定理，是世界上最偉大的定理之一. 勾股定理的重要價值之一在于其證明過程中涉及的數(shù)學思想方法，這些思想方法貫穿初中幾何乃至代數(shù)內(nèi)容的教學，并與平方差公式、完全平方公式、中位線定理、正弦定理、余弦定理、基本不等式等知識點有著直接的聯(lián)系，也與著名的費馬大定理和托勒密定理相關[2]. 在整個中學數(shù)學的學習中，幾何部分的內(nèi)容貫穿始終，三角形是平面幾何的基礎與重點. 初中階段注重學習直角三角形的性質，掌握基本的證明方法. 高中階段更注重直角三角形的相關定理的應用. 在高考題和競賽題的求解中經(jīng)常要用到直角三角形.

構造法是一種較為常見、富有特點的解題方法，其非常規(guī)性與創(chuàng)造性的思維特點受到一定的認同[3]．而構圖法作為構造法中的其中一種思想方法，具有一定的靈活性，構圖法也是數(shù)形結合法的一種具體應用，指構造與已知條件相對應的幾何圖形. 構圖法可以是從無到有，也可以是從有到全. 即根據(jù)題目已知條件，從沒有圖形到構造圖形，或者從有圖形到補全圖形.?高中數(shù)學中函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等板塊內(nèi)容都涉及到構圖的思想方法.下面舉例進行說明.

3 ?結語

通過對以上問題的求解，不難發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)學問題都可以通過構造直角三角形，利用其性質定理與其他知識點結合的方式進行求解. 但是，直角三角形的構造并不是隨意的，要注意相關性質及定理等與已知條件的關聯(lián)性. 運用數(shù)形結合的方法對此類問題進行分析，可以讓學生對直角三角形有新的認識與體會，讓學生感受到數(shù)學的美妙. 同時，運用構圖法解決數(shù)學問題有利于培養(yǎng)學生直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng). 教師在進行教學的過程中也可以合理、適度地對一些常規(guī)的習題進行改編，讓學生的思維得到更多的訓練.

【寧夏大學2022年研究生教育改革創(chuàng)新與實踐項目（項目編號：JXAL202205），蘇克義為本文通訊作者】

參考文獻：

章建躍. 研究三角形的數(shù)學思維方式[J]. 數(shù)學通報，2019， 58（04）： 1-10.

王海青，曹廣福. 從《原本》談中學平面幾何課題式教學研究[J]. 數(shù)學教育學報，2021， 30（05）： 39-46+91.

何憶捷，熊斌. 中學數(shù)學中構造法解題的思維模式及教育價值[J].?數(shù)學教育學報，2018， 27（02）：?50-53.