哥氏耦合系統(tǒng)中的自發(fā)對稱破缺

周 鑫,孫曉鵬,肖定邦,吳學忠

（國防科技大學智能科學學院,長沙 410073）

0 引言

耦合動力學是當前微納機電系統(tǒng)的研究前沿,其在新型微納傳感器研制、現(xiàn)有微納器件性能調控方面具有重要的價值。以往的研究通常關注耦合系統(tǒng)的本征特性,即系統(tǒng)在激勵停止之后本身在耦合條件下的固有輸出。主要研究方法是在時域衰減信號中提取有用信息,典型的研究是在耦合本征態(tài)中研究經典絕熱或非絕熱相變[1]、相干調控[2-3]、動力學操控[4-5]、幾何相位以及拓撲特性[6-7]等。耦合系統(tǒng)對外界激勵的響應中也蘊含了豐富而有趣的信息,然而當前人們對耦合響應的研究僅限于在幅頻響應中的反交叉效應[5],對相頻響應的認識仍然不夠。另外,在考慮幅值和相位的復平面內,不動點對應的狀態(tài)被預測為將會存在著與耗散相關的對稱性破缺或經典相變,然而該現(xiàn)象目前尚未被觀測到。

本文以一種典型的微機電系統(tǒng)為對象,重點研究了該耦合系統(tǒng)中與相位相關的穩(wěn)態(tài)響應。該微機電系統(tǒng)通過哥氏效應來實現(xiàn)近似簡并模態(tài)之間的可控耦合,同時通過靜電負剛度效應實現(xiàn)固有頻率以及簡并條件的調控。哥氏耦合是一種特殊的聲學耦合特性,它是固體振動陀螺的工作基礎。如果轉換到行波系,哥氏耦合等效為旋轉Doppler 效應[8],或者是一種Zeeman 效應在聲學領域的等效[9],因為它通常可以引起本征頻率的偏移。在本研究中,通過轉速來調節(jié)哥氏耦合強度,可以在一種相位鎖定的穩(wěn)態(tài)中觀測到自發(fā)對稱性破缺現(xiàn)象以及對應的二階相變。發(fā)生相變的臨界點,正是強弱耦合的分界點。

1 哥氏耦合系統(tǒng)動力學建模分析

1.1 嵌套環(huán)式微系統(tǒng)結構及模態(tài)特性

本文的研究對象為如圖1所示的微機電嵌套環(huán)式諧振器,圖1（a）為結構顯微鏡照片,圖1（b） 和圖1（c）分別為諧振結構示意和結構剖面圖。根據(jù)線彈性理論,該諧振器中會存在一系列本征聲學模態(tài),對應的本征值給出了一系列固有頻率。本文重點關注如圖1（d）所示的波數(shù)（n）為2 的簡并模態(tài),可將圖1（d） 中左側的模態(tài)定義為主動模態(tài),該模態(tài)受到一個交變驅動力,圖中的X軸為主動模態(tài)的波腹軸,其波腹位移定義為x;右側的模態(tài)定義為被動模態(tài),該模態(tài)上沒有外界施加的驅動力,圖中的Y軸為被動模態(tài)的波腹軸,其波腹位移定義為y。

圖1 微機電嵌套環(huán)式諧振器示意圖Fig.1 Diagram of MEMS nested ring resonator

1.2 嵌套環(huán)式微系統(tǒng)耦合動力學特性

如圖1（b）所示,當在諧振器上施加面外角速度Ω時,二階簡并模態(tài)之間會因為哥氏效應實現(xiàn)耦合,一個模態(tài)的動力學方程中會出現(xiàn)另一個模態(tài)的運動速率項。當不考慮諧振結構的結構誤差時,該耦合系統(tǒng)的動力學方程可表示為[10]

式（1）中,γ1和γ2分別為兩模態(tài)的阻尼率,ω1和ω2分別為兩模態(tài)的諧振角頻率,F和ωd分別為沿X軸方向施加驅動力的幅值和角頻率,k為哥氏耦合系數(shù)。振動陀螺是一個經典的二能級（Two-level System）系統(tǒng),旋波近似方法[11]非常適合于解決類似的耦合二能級動力學方程組,該方法將動力學方程放在以頻率為-ωd旋轉的框架中,即方程左右兩邊同時乘以e-iωdt,然后忽略動力學方程中的快速交變項（頻率絕對值不小于2ωd）來得到近似解。首先,假設式（1）的解為如下形式

式（2）中,A和B為復數(shù)振幅,c.c.指代前面的共軛項。當忽略復數(shù)振幅對時間的二階導數(shù)時,可以推導出近似解x和y對時間的一階和二階導數(shù)

將式（2）、式（3）代入式（1）中,在旋轉框架中,即方程左右兩邊同時乘以e-iωdt,并消除兩邊的快速交變項,可得近似解為

下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)頻率響應: 在穩(wěn)態(tài)情況下,所有的狀態(tài)變量幾乎沒有變化,此時==0,將該穩(wěn)態(tài)條件帶入式（4）中,可以得到復數(shù)振幅的穩(wěn)態(tài)解為

式（5）中,

由式（2）可以得到

主動軸與被動軸的相位響應為

在本文研究中,通過對主動軸的相位鎖定來保證其始終處在諧振狀態(tài),被動軸位移信號通過主動軸的位移信號來解調。在不考慮各種制造誤差影響的情況下,研究主動軸的相位鎖定狀態(tài),即通過調節(jié)驅動頻率來保證主動軸的相位?1始終鎖定在-90°。由式（13）可知,此時a1c+a2d=0,代入式（6）～式（10）中的a1、a2、c和d,可得

式（14）中,

這是一個關于ω2d的一元三次方程,一般情況下并不能通過因式分解來降冪。本文采用卡當公式法求ω2d的一般解,首先可將式（14） 化為如下形式

式（18）的解為

式（21）中,實數(shù)解就決定了相位鎖定后驅動頻率隨外界角速度輸入的變化軌跡,由Xi（i=1,2,3）可以求得

在模態(tài)匹配時,不妨令ω0=ω1=ω2,式（14）可以通過因式分解化簡為

此時,方程的解為

式（23） 中,判別式Δ=（2ω20-γ22+4k2Ω2）2-4ω40。當Δ>0 即時,解ω2d2和ω2d3為實數(shù)解,否則是沒有實際意義的復數(shù)解。因此,當時,只有ωd1能夠使得主動軸相位保持在-90°;而當時,ωd1、ωd2和ωd3都能使主動軸相位保持在-90°,不過在ωd1處會出現(xiàn)反諧振（Antiresonance）,因此諧振器驅動頻率只會鎖定在ωd2和ωd3中的一個。

2 自發(fā)對稱破缺現(xiàn)象仿真與實驗結果分析

2.1 耦合系統(tǒng)模態(tài)匹配時結果分析

對于一個模態(tài)匹配諧振器的開環(huán)工作狀態(tài),當主動模態(tài)和被動模態(tài)頻率均為3942.35Hz,即頻差為零,阻尼率γ1和γ2均取0.74,哥氏耦合系數(shù)k為0.85,則主動軸的輸出響應受角速度輸入的影響如圖2所示。

圖2（a）和圖2（b）分別為不同轉速下諧振器主動軸方向幅頻響應與相頻響應的仿真結果,其中的黑色虛線是由式（23） 得到的主動軸相位鎖定在-90°后可能的軌線。當外界角速度由0 逐漸增大但小于臨界值時,驅動頻率保持定值ωd=ω1=ω2。當角速度進一步增大并超過時,諧振頻率將出現(xiàn)“草叉” 分叉,形成三個分支。由于中間支的原諧振頻率（圖中白色虛線部分）處會出現(xiàn)反諧振,故理論上諧振器的驅動頻率會鎖定在兩側的某一個分支上,驅動頻率也將隨著外界轉速的增大而減?。ㄗ蠓种В?或增大（右分支）,產生自發(fā)性對稱破缺。

圖2（c）和圖2（d）分別為不同轉速下諧振器主動軸方向幅頻響應與相頻響應的實驗結果,利用靜電負剛度效應可以實現(xiàn)兩個模態(tài)的頻率匹配。可以看出在掃頻過程中,隨著轉速增大,諧振器的諧振頻率在臨界值處出現(xiàn)分叉,中間支反諧振狀態(tài)下雖然達到了相位鎖定條件,但其幅值并未響應,兩側分支的變化軌跡與仿真結果一致。

圖2 模態(tài)完全匹配時諧振器主動軸響應圖Fig.2 Response diagram of the resonator on the driving shaft during modal matching

圖3所示為另一個模態(tài)匹配的微諧振器中觀測到的鎖相頻率在不同外界轉速下的變化規(guī)律。圖中的實線為理論變化結果,在外界轉速低于臨界值時鎖相頻率保持不變（橙線部分）,轉速達到臨界值后鎖相頻率將以狀態(tài)1 逐漸增大或以狀態(tài)2 逐漸減小。圖中的綠色數(shù)據(jù)點為實驗測得鎖相頻率,當轉速達到臨界值后,耦合系統(tǒng)的某種對稱性被破壞,諧振頻率沿著狀態(tài)1 中的軌跡而逐漸增大,即出現(xiàn)了自發(fā)性對稱破缺。對應于耦合系統(tǒng)本身,該現(xiàn)象預示著在臨界值處的某種振動狀態(tài)的變化（二階相變）,然而該相變的序參量觀測仍然有待進一步研究。

圖3 模態(tài)匹配諧振器在不同轉速下鎖相頻率的變化規(guī)律Fig.3 Variation of phase-locked frequency for modal matching resonator at different rotating rates

2.2 耦合系統(tǒng)模態(tài)不匹配時結果分析

進一步考慮諧振器兩模態(tài)間存在一定頻差（大小等于其帶寬Bw=0.12Hz）的情況,保持被動模態(tài)諧振頻率ω2=3942.35Hz,將主動模態(tài)諧振頻率調節(jié)為ω1=3942.23Hz,使得ω1-ω2=-Bw。通過代入求解式（18）可以得到不同轉速下諧振器主動軸方向幅頻響應與相頻響應的仿真結果,如圖4（a）和圖4（b）所示,主動軸相位鎖定在-90°時,鎖相頻率仍將產生分支,但此時的分岔失去平衡。此時,雖然圖4（a）中白色虛線軌跡l1仍處于反諧振狀態(tài),實際工作中不被鎖定,軌跡l2上的相位雖然也能達到-90°,但該部分與諧振器初始狀態(tài)（角速度輸入為0 時的狀態(tài)）脫離,也不被鎖定,實際中驅動頻率按照圖中黑色虛線的軌跡逐漸減小,此時將不再產生如圖3所示的對稱性破缺現(xiàn)象。圖4（c）和圖4（d）分別為不同轉速下諧振器主動軸方向幅頻響應與相頻響應的實驗結果,與仿真結論相符。

相應地,當調整諧振器主動模態(tài)諧振頻率ω1=3942.35Hz、被動模態(tài)諧振頻率ω2=3942.23Hz即ω1-ω2=Bw時,不同轉速下諧振器主動軸方向幅頻響應與相頻響應的仿真結果如圖5（a）和圖5（b）所示,對應的實驗測試結果如圖5（c）和圖5（d）所示?？梢钥闯?此時的驅動頻率變化軌跡沿圖中黑色虛線的軌跡逐漸增大,與圖4中所示ω1-ω2=-Bw時的軌跡相反?？梢娫陂_環(huán)模式下,諧振器的模態(tài)匹配是鎖相頻率出現(xiàn)自發(fā)對稱破缺的必要條件。

圖4 存在小頻差（ω1-ω2=-Bw）時諧振器主動軸響應圖Fig.4 Response diagram of the resonator on the driving shaft with small frequency difference when ω1-ω2=-Bw

圖5 存在小頻差（ω1-ω2=Bw）時諧振器主動軸響應圖Fig.5 Response diagram of the resonator on the driving shaft with small frequency difference when ω1-ω2=Bw

3 結論

本文通過建立哥氏耦合系統(tǒng)的動力學解析模型,仿真分析并實驗驗證了通過改變外界轉速進而調控哥氏耦合強度,可以實現(xiàn)諧振器在模態(tài)匹配時鎖相頻率的自發(fā)對稱破缺,其發(fā)生的臨界點也是系統(tǒng)耦合強弱的分界點,與諧振器自身結構（阻尼率和哥氏耦合系數(shù)等）有關。本文研究預示著在該系統(tǒng)中可能存在一階相變（非連續(xù)相變）、奇異點（Singularity）效應以及突變（Catastrophe）效應,這些現(xiàn)象對微機電諧振器性能及工作模式等的潛在影響值得后續(xù)進行更深入的探討。