2023年高考數學全國乙卷理科第12題的深度探究

孫淑琴

【摘要】深度研究高考試題，有助于提升一線教師的專業素養與業務能力，從而更好地把握高考的動向與教學的側重點.尤其是在高三的備考復習中，深度研究高考試題非常重要.2023年高考數學全國乙卷理科第12題，是以直線與圓相切為背景，考查向量數量積的最值問題，是一道具有區分度的經典好題.文章從試題分析、一題多解、一題多思、課本溯源與試題推廣等角度對該題進行深度探究，希望給一線教師提供深度研究高考試題的思路與方法.

【關鍵詞】2023年全國乙卷；圓；向量；圓冪定理；深度探究

2023年高考數學全國乙卷理科充分發揮了基礎學科的作用，突出素養與能力的考查.同時出現了較多的“反套路”和“反機械刷題”的試題，這些試題突出數學本質，注重通性通法，淡化解題技巧，重點考查學生的思維過程，其中的第12題作為選擇題的壓軸題，就是一道“反套路”和“反機械刷題”的試題.

一、真題再現

四、一題多思

以上解法實際上反映了解決向量數量積問題的四種基本思路：定義法、坐標法、數量積的幾何意義和基向量法.其中基向量法在解決此題時最終也要轉化為定義法，而且過程顯得更為復雜，于是省去了此種解法.其中定義法（解法1、解法2、和解法3），重點體現了數學核心素養中的數學運算素養和邏輯推理素養；坐標法（解法4），主要體現了數學核心素養中的數學運算素養；數量積的幾何意義（解法5），主要體現了數學核心素養中的直觀想象素養.然而，這幾種不同的解題思路卻都體現著一個共同的數學思想———轉化與化歸的數學思想，都需要將要求最值的表達式中的兩個變量轉化為一個變量，進而用求函數最值的方法解決向量數量積的最值問題.

試題解法多樣，不同的選擇體現了考生不同的思維水平.考生可以通過解析幾何的方法把直線與圓的方程聯立，根據韋達定理得出點D坐標，進而利用函數思想得到最大值（解法6）；也可以通過平面幾何的方法確定點D的軌跡為圓的一部分，再通過數形結合的方法得出最大值（解法5）.當然考生還可以用兩個向量的夾角作為自變量，通過向量投影得到答案.總之，試題對考生的思維有一定要求，需要考生思維的創新性，強調多想少算，數形結合.

結 語

高考試題是命題專家智慧的結晶，身在教學一線的教師理應對高考試題進行深度研究，尤其是要深度研究一些非常經典的高考試題.這樣，不僅可以提升自己的專業能力，而且可以把握高考的命題趨勢與動向，從而更好地服務于教學，提高教學質量.

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