立足教材，把握教材習題編寫方向

戴應超

【摘要】平面幾何是連接代數與幾何的重要橋梁，文章教材中平面向量在平面幾何中的應用展開探究，重點是討論平面向量在具體問題中的具體應用，如三角形“四心”問題，平面內兩線夾角問題，平面內線段比例長度問題，以及結合正余弦定理的應用，通過對課后習題的探究，展現平面向量這一工具在解決平面幾何問題中的重要作用，希望能給其他的數學教師提供一些參考價值.

【關鍵詞】平面幾何；平面向量；習題

引 言

在普通高中教科書數學必修第二冊人教A版中，第六章的6.4節是“平面向量的應用”.本章節有一個重要的數學探究：用向量法研究三角形的性質.這一探究非常有意義，體現出一個重要的研究思想：通過用向量方法解決具體幾何問題來總結一般方法，并在一般方法指導下解決其他問題，下文就教材中平面向量在平面向量中的應用展開探究.

一、平面向量在三角形“四心”問題中的應用

三角形四心為重心、外心、內心、垂心.重心為三條中線的交點，外心為三條邊的中垂線的交點，內心為三條角平分線的交點，垂心為三條高線的交點.這些平面圖形問題，可以通過向量的代數運算展示出來.教材在習題6.4和復習參考題6中編排了用平面向量推導四心的習題.本節中先分析教材習題，再提供幾個練習供參考.

總結 用向量法解決四心問題，首先要熟知三角形的四心，外心是三角形三邊中垂線的交點，是三角形外接圓的圓心；內心是角平分線的交點，是三角形內切圓的圓心；重心是三角形三條中線的交點，重心分中線比為2∶1；垂心是三條高線的交點.其次，熟悉這四心對應的向量形式.外心到三個頂點的距離相等，所以有三個模長相等的形式；內心是在角平分線上，由向量加法的平行四邊形法則，當兩個模長相等且不共線的向量相加時，構成的平行四邊形為菱形，對角線即角平分線；重心是在中線上，也是在構成平行四邊形的其中一條對角線上，同時有比例要求，所以會有向量加法方程；垂心是在高線上，有向量垂直，所以會有數量積為零的推導.

二、平面向量在求平面圖形內兩線夾角的問題中的應用

平面幾何經常涉及角度問題，而平面向量的運算，如數量積，主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此可以用向量方法解決線線夾角問題，以后還可以推廣到空間向量求夾角.教材習題中有兩處直接求平面圖形中線線夾角的問題，充分體現了向量作為工具解決平面幾何的優越性，也是幾何問題代數化的一個典型.

評注 將向量法證正余弦定理的方法應用到此題中.先找到三角形的向量形式方程，然后取相關向量與向量方程兩邊做數量積.此方法可以推廣到解三角形里所有邊角關系.

總結 用向量方法解決平面幾何問題的三步驟：

（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；

（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系.

結 語

向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是體現“形”和“數”融合的重要載體.文中向量方法解決幾何問題，是將問題進行系統化、簡單化處理了.向量法在解決某些幾何問題上簡捷得多，例如，利用“三角形回路”和數量積，能夠非常快捷地得到了三角形內邊角的關系.所以向量是一個了不起的數學工具.通過對教材習題的研究，學生能整體地掌握向量在三角形中的應用，能有效地提升解決問題的能力，從而獲得“四基”，增強“四能”.教師研讀新教材中平面向量在三角形中的應用，有助于更好地理解新教材的編寫目標，根據其內完善教學方法和策略，從而是更好地培養學生的數學核心素養，且為接下來的選擇性必修課程“空間向量”打下了堅實的基礎.

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