一種腔室可調的Helmholtz型聲子晶體的帶隙研究

劉 紅,趙靜波,姚 宏,韓東海,張曉生,王 晨,張廣軍

(空軍工程大學基礎部,西安 710051)

0 引 言

隨著我國國防建設的持續推進,一大批高精尖裝備陸續裝配部隊,比如大型飛機、艦艇等。然而密閉艙室內劇烈的噪聲不僅會嚴重影響飛機的使用,還會對內部工作人員的身體健康造成極大危害,從而影響戰斗力的有效發揮[1-2]。因此,密閉艙室內的噪聲問題亟待解決。目前,解決噪聲問題的傳統方法主要是在結構中填充吸/隔聲材料[3]、敷設阻尼材料[4]等。這些方法能夠很好地抑制較高頻的噪聲,但對于低頻噪聲的抑制效果并不明顯。因此,如何抑制密閉艙室內的低頻噪聲成為降噪領域研究的難題之一。

近年來,聲學超材料的發展與應用為實現大型飛機的低頻噪聲控制提供了新的途徑[5-9]。聲學超材料的發展源于局域共振型聲子晶體的研究,聲子晶體是一種新穎的具有彈性波帶隙的人工周期材料或結構[10]。彈性波在晶體結構中傳播時,由于受到內部結構的作用會形成特殊的色散關系,這些色散曲線之間的頻段稱為帶隙,位于該頻段內的彈性波在結構中傳播時會受到抑制而無法傳播[11-12]。彈性波帶隙一般有兩種機制——Bragg散射機制與局域共振機制[13-14]。局域共振型聲子晶體在進行彈性波的調控時具有小尺寸控制大波長的效果,使其在低頻噪聲控制領域具有十分重要的應用價值。另外,局域共振型聲子晶體表現出負的等效模量、負的等效質量密度等奇異特性[15-16]。Helmholtz型聲子晶體是一種典型的局域共振型聲子晶體,該聲子晶體由多個Helmholtz共鳴腔作為元胞進行周期排列而成,具有輕質和低頻的優勢,因此得到了眾多學者的認可[17-19]。陳鑫等[20]將Helmholtz共鳴腔與彈性振子結構進行了耦合設計,并分析了帶隙隔聲特性,研究發現,該結構具有優異的低頻隔聲效果。Gao等[21-23]研究了含周期性自相似夾雜結構、分形結構以及兩個諧振腔的二維聲子晶體的帶隙特性,結果表明,所設計的結構都具有較寬的低頻帶隙。Duan等[24]提出通過在六角形蜂窩Helmholtz共鳴腔中引入橡膠涂層來構建一種輕質可調諧聲學超材料,實現從100 Hz到300 Hz的可調完美吸收。Rajendran等[25]提出了嵌入式頸部和螺旋式諧振腔,既節省空間,又能實現完美的吸聲,提高了整個吸聲面板的吸收性能。

目前,在Helmholtz型聲子晶體的結構設計中,其帶隙頻率范圍往往是固定不變的,無法根據噪聲頻率進行精準調控,且低頻隔聲性能較差。其原因主要有兩個方面:一是Helmholtz型聲子晶體的結構、腔體布局及開口長度不能改變,導致帶隙頻率不能根據噪聲頻率進行調節;二是在該類型的結構中,Helmholtz腔的通道長度有限,無法進一步降低帶隙頻率。因此,本文從增加開口長度和可調性腔體結構兩方面對Helmholtz周期結構進行了優化設計,構建了一種腔體結構可調的Helmholtz型聲子晶體。首先,該結構單元采用雙開口設計方式,同時在開口處采用弓字形開口通道設計,能夠在不增加腔體體積的條件下使開口長度有效增加;其次,通過伸縮螺桿來調整上下兩腔的體積,改變帶隙頻段的位置,從而實現低頻帶隙頻段的可調。為探究低頻帶隙的形成機理,本文建立了該結構的“彈簧-振子”等效力學模型,并與有限元法進行對比分析。建立該力學模型,不僅可以大幅降低結構設計的難度,而且可以定量分析出結構帶隙隨結構參數的變化規律,進一步揭示結構參數對低頻帶隙的影響。

1 聲子晶體結構設計及能帶分析

1.1 結構設計

本文所設計的腔體可調節Helmholtz周期結構采用弓字形開口的可調節雙腔結構,其元胞橫截面如圖1所示,該結構內腔被活動伸縮螺桿連接的隔板分為上腔和下腔兩部分,兩腔分別通過弓字形開口的通道與外腔相通。在該結構中,采用弓字形開口通道的設計,增加了空氣通道的長度,大幅延長聲波在該結構中的傳播距離,有效降低了低頻帶隙的下限。同時,通過調整伸縮螺桿的伸縮長度可以調整兩腔的大小,從而改變結構構型,以期達到帶隙可調的目的,實現對低頻噪聲的主動控制。該結構的各項參數如下:正方形框架結構的邊長為l,結構管壁和隔板的厚度均為d,開口通道的寬度為s,長度為l1,伸縮螺桿伸出長度為b,上腔、下腔以及外腔的體積分別為V1、V2和V3,晶格常數為a。

圖1 元胞橫截面示意圖Fig.1 Schematic diagram of cell cross section

1.2 周期結構能帶分析

本文通過有限元法對該聲子晶體的能帶結構進行了分析和計算,在Comsol Multiphysics軟件平臺上構建該模型。由于該模型包含兩個區域——空氣域與固體域,因此在該軟件平臺上選用壓力聲學模塊和固體力學模塊。本結構中構成Helmholtz共振器結構的材料為鋼,其聲阻抗遠大于空氣的聲阻抗,從而產生阻抗不匹配現象。當聲波由空氣向結構內傳播時,僅有非常微小的聲能量會穿過兩者的界面進入結構內部,而大部分聲能量會從兩者的界面反射回空氣中,故設定兩者邊界為剛性邊界。因此,在仿真計算中將該結構視為剛體,僅對空氣域進行計算,從而簡化仿真計算模型。同時,在結構的上下左右邊界處設置周期性邊界條件,模擬無限周期結構。根據Bloch理論,采用Bloch-Floquet邊界,其表達式如下:

p(r+a)=p(r)eika

(1)

式中:r是位置矢量;a為聲子晶體晶格的格矢;參數k為波矢。為了分析該聲子晶體的能帶結構和共振模態,結構的尺寸參數如表1所示。

表1 結構尺寸參數Table 1 Structural dimension parameters /mm

通過Comsol Multiphysics平臺對該結構進行仿真計算。經過計算,該結構的帶隙圖如圖2所示。為了驗證能帶結構計算的正確性,用有限周期結構的隔聲曲線圖來進行對比,隔聲量如圖3所示。

圖2 結構帶隙圖Fig.2 Structural bandgap diagram

圖3 隔聲曲線Fig.3 Sound insulation curve

由圖2可以看出,該聲子晶體結構在0～500 Hz的頻段范圍內共有6條完整帶隙(圖2中深灰色部分),其帶隙范圍分別為31.34～51.79 Hz、79.02～126.53 Hz、210.26～229.18 Hz、250.62～296.21 Hz、412.88～425.78 Hz和439.42～478.39 Hz。同時,該結構將第一低頻的帶隙下限降至31.34 Hz,有效降低了傳統聲子晶體的低頻帶隙下限。由圖3可以看出,該結構在500 Hz以下頻段范圍內共出現6個隔聲峰,帶隙頻段內的聲波受到了抑制,隔聲效果較好,且聲波的抑制范圍與帶隙頻段吻合度較高,證明了帶隙計算的正確性。

2 低頻帶隙形成機理建模分析

2.1 帶隙機理研究

為進一步揭示該結構(結構尺寸參數如表1所示)帶隙產生機理,探究其低頻隔聲特性,針對該結構的第一、二帶隙上下限的聲壓場進行分析,如圖4所示。

由圖4(a)可知,聲壓幾乎全部局限在下腔,上腔和外腔聲壓場幾乎沒有壓力。此外,在下腔開口通道內的聲壓呈現梯度變化,由內向外逐漸減小。該現象說明此處出現局域態,聲波的振動局限在下腔中。因此,聲波無法繼續傳播,此時第一條帶隙被打開。

由圖4(b)可知,第一帶隙的上限聲壓場與下限聲壓場有較大不同。從圖中可以看出,聲壓在結構內腔和外腔均有分布,上腔的聲壓高于下腔聲壓,且上下腔聲壓相位相反。表明結構不能隔絕聲波的傳播,第一帶隙截止。

采用相同分析方法,如圖4(c)所示,第二帶隙下限處的聲壓場與第一帶隙下限處聲壓場相似,呈現出局域共振態。但與第一帶隙不同的是,此時下腔和外腔處聲壓場壓力接近于0,聲波被局限在上腔中。并且,在上腔的開口通道內,聲壓場呈現出梯度變化規律,由內向外逐漸減小。表明第二帶隙下限處出現與第一帶隙下限處相似的模態,此時第二條帶隙被打開。

圖4 帶隙上、下限聲壓場Fig.4 Upper and lower limit sound pressure fields of the first and second bandgaps

如圖4(d)所示,第二帶隙上限處聲壓分布于結構的內腔和外腔,下腔與上腔聲壓相位相同,且上腔聲壓高于下腔聲壓。表明聲波能夠在結構外部與內部正常傳播,此時第二條帶隙截止。

通過上述分析,可以得出如下結論:該結構由于內外腔共振可以打開多條帶隙,將聲波局域于結構內部,阻止聲波傳播;帶隙的打開與內腔具有高度聯系,第一帶隙起始頻率主要是下腔共振的結果,而第二帶隙起始頻率則是上腔作用的結果;當外腔空氣層與內部結構共同作用時,帶隙截止。

2.2 等效模型的建立

為了進一步揭示帶隙產生機理,建立該結構在帶隙上下限處的“彈簧-振子”等效模型,通過等效模型對該結構的帶隙上下限進行計算。

為了建立該結構的等效模型,將元胞結構劃分為5部分,分別為外腔、下腔、下腔通道、上腔,及上腔通道,并對該Helmholtz腔作如下假設:

1)弓字形通道體積遠遠小于上下腔的體積;

2)該元胞結構的線度遠遠小于低頻聲波的波長;

3)腔壁為剛性腔壁,在內腔中空氣壓縮和膨脹時,不發生形變。

對于弓字形通道中的空氣,由于弓字形通道的體積遠小于腔體的體積,故可認為開口通道中的各部分空氣在振動時是相同的,該部分的空氣可以看作在開口通道內振動的振子,上腔通道和下腔通道兩部分空氣等效振子的質量分別為m1和m2,其表達式為:

m1=m2=ρal1s

(2)

式中:ρa為空氣密度;l1為上腔通道或下腔通道的長度;s為上腔通道或下腔通道的寬度。

對于上腔、下腔和外腔中的空氣部分,當上腔通道和下腔通道中的空氣在通道內發生振動時,由于腔壁不發生形變,因此上腔、下腔和外腔中的聲壓會隨著通道內空氣的振動而發生壓縮和膨脹,此時各腔內的空氣可看作空氣彈簧。其等效剛度分別為k1(上腔)、k2(下腔)和k3(外腔),其表達式分別為:

(3)

(4)

(5)

式中:V1、V2和V3分別為上腔、下腔和外腔的體積;c為空氣中聲速。

結合第一、二帶隙上下限處各點的聲壓場,對各點處的振動模態進行分析,并建立對應的等效模型。對帶隙下限處的聲壓場分析可知,第一、二帶隙下限處的振動模態相似。如圖4(a)所示,第一帶隙下限處外腔、上腔和上腔通道的聲壓場幾乎為0,因此可忽略外腔、上腔和上腔通道中空氣的作用,只考慮下腔、下腔通道兩個區域。根據聲力類比原理,狹長通道可以等效為振子,而下腔的空氣可等效為空氣彈簧,其構成的“彈簧-振子”模型如圖5(a)所示。同理,如圖4(c)所示,第二帶隙下限處外腔、下腔和下腔通道的聲壓場為0,因此可忽略外腔、下腔和下腔通道中空氣作用,故此時構成的“彈簧-振子”模型如圖5(b)所示。

圖5 帶隙下限等效模型Fig.5 Equivalent model of lower bandgap

在上述等效模型中,第一、二帶隙下限fdown1和fdown2的表達式分別為:

(6)

(7)

對于帶隙上限處的振動模態,如圖4(b)、(d)所示,外腔、下腔、下腔通道、上腔和上腔通道五個區域都具有聲壓分布,因此在對帶隙上限處進行模型等效時,外腔、上腔和下腔空氣等效為空氣彈簧,而上腔通道和下腔通道中的空氣等效為振子,因此其構成的“彈簧-振子”模型如圖6所示。

圖6 第一、二帶隙上限等效模型Fig.6 Equivalent model of the first and the second bandgaps upper limit

根據上述模型,構建其剛度矩陣表達式為:

(8)

振子的質量矩陣為:

(9)

根據多自由度系統的振動理論,第一、二帶隙的上限fup1和fup2表達式為:

(10)

通過等效模型的方法推導出該結構帶隙的計算公式,其計算結果與仿真實驗計算結果誤差較小,證明了計算公式的正確性。同時,通過兩種方法計算得到的結果之間的誤差主要來源如下:在仿真實驗中,當伸縮桿伸出長度b為25 mm時,上腔的體積較小,因此,開口通道不再是體積遠小于內腔的細管道,使得Helmholtz腔“聲力類比”的假設條件弱化,從而導致出現誤差。

3 低頻帶隙影響因素分析

通過對結構的低頻帶隙形成機理進行分析,注意到其低頻帶隙起始頻率主要受上下腔布局的影響。當調整上腔、下腔的大小,即調整伸縮桿長度時,其結構將發生改變,從而改變協同共振區域,影響帶隙結構。而帶隙的截止頻率與外部空氣層有關,即結構排列空隙間隔。因此對伸縮桿長度、結構排列空隙間隔這兩個因素進行分析,研究其對低頻帶隙結構的影響。

3.1 腔體結構對帶隙影響

在分析雙腔可調局域共振結構的伸縮桿長度對低頻帶隙的影響時,取結構參數a=61 mm,l=60 mm,s=0.5 mm,l1=847.5 mm不變,伸縮桿長度b由25 mm減小到0 mm,計算出其帶隙結構變化如圖7所示。

圖7 內腔不同構型情況下帶隙結構圖Fig.7 Bandgap structure diagram with different configurations of inner cavity

從帶隙產生的機理可知,第一帶隙主要是下腔與其開口通道局域共振的結果,而第二帶隙則是上腔與其開口通道局域共振的結果。通過對圖7伸縮桿的不同伸縮長度的能帶圖分析可知,當伸縮桿從25 mm減小到0 mm時,上腔體積不斷增大,下腔體積不斷減小,上腔的增大使第二帶隙不斷下移,下腔減小使得第一帶隙緩慢上移。當伸縮桿伸縮長度為0 mm時,兩腔體積相等,第一帶隙和第二帶隙合并為一個帶隙。從總體上看,第一帶隙在伸縮桿變化過程中小幅度變化,但第二帶隙在伸縮桿長度不斷減小的情況下,帶隙不斷下移,覆蓋了較大低頻段。在工程應用中,該結論對于噪聲波峰進行特定消除具有良好的適應性。

為進一步研究這種結構的適應范圍,本文分析了在可調板變化后,結構的第一、第二帶隙變化情況,如圖8所示。伸縮桿長度從25 mm到0 mm的變化過程中,內腔結構發生變化,導致帶隙結構發生變化。由圖8可以看出,隨著伸縮桿長度的減小,第一帶隙的寬度逐漸減小,同時第一帶隙的下限值在不斷增大。相反,對于第二帶隙來說,其寬度在不斷增大,并且第二帶隙的下限值在不斷減小,從整體上看,兩條帶隙在可調板移動的過程中不斷趨近,最終合為同一條帶隙。

3.2 結構單元間隔對帶隙的影響

本文分析了雙腔可調局域共振單元結構排列間隔對低頻帶隙的影響,取結構參數b=25 mm,l=60 mm,s=0.5 mm,d=0.5 mm,l1=847.5 mm不變,晶格常數a由61 mm增加到70 mm。通過分析計算,得到周期排列間隔對帶隙結構的影響如圖9所示。

圖9 晶格常數對帶隙的影響Fig.9 Impact of the lattice constant on bandgap

圖9結果表明,針對本文所設計的結構,當其他參數不變,只改變晶格常數時,第一帶隙和第二帶隙的下限基本不受影響,而帶隙的上限隨晶格常數的增加而減小(第一帶隙上限由51.78 Hz變為43.33 Hz,第二帶隙上限由126.53 Hz變為91.95 Hz)。對于帶隙上限的減小,其原因在于當正方形框架結構的邊長不變時,隨著晶格常數的增加,外腔的等效剛度k3減小,從而導致帶隙的上限下移。因此,第一帶隙和第二帶隙的寬度都大幅減小。由以上分析可以得出,保持較小的排列間隔是增加該結構低頻帶隙寬度的一種有效方法。

4 結 論

本文利用影響Helmholtz周期結構帶隙和隔聲特性最重要的兩個因素——開口深度和腔體結構,設計了雙開口通道的腔體可調節的Helmholtz周期結構。通過仿真計算、理論推導等方式進行了相互驗證,結果表明,該結構具有良好的低頻隔聲特性,并可以根據噪聲環境調節結構達到特定頻段的隔聲效果。同時,討論了該結構的結構參數對低頻帶隙特性的影響,研究表明經過合理設計的兩個腔體,能夠得到多條低頻帶隙,并且通過調整腔體布局、大小等方式可以將多條共振帶隙相連而拓寬帶隙。另外,在Helmholtz結構周期排列設計中,采用較小的單元間隔,合理利用局域共振雙耦合機制,也可以大幅提高帶隙的范圍,能夠達到在較大頻率范圍內隔聲的目的。