探究正整數解 讀懂方案設計

王鋒

我們知道任何一個二元一次方程有無數組解，但其整數解卻是有限的，而根據正整數解的組數我們可以解決許多實際生活中的方案設計問題.

例 周末，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用30元錢（兩種物品都買），求小明的購買方案有幾種.

解析：設購買口罩[x]包，酒精濕巾[y]包，由題意得[3x+2y=30]，[∴x=10-23y]. 觀察上式可知y必須是3的倍數. [∵x]，[y]均為正整數，∴y值可取3，6，9，12，∴二元一次方程[3x+2y=30]的整數解為[x=8，y=3]或[x=6，y=6]或[x=4，y=9]或[x=2，y=12.]故小明共有4種購買方案：購買8包口罩、3包酒精濕巾；購買6包口罩、6包酒精濕巾；購買4包口罩、9包酒精濕巾；購買2包口罩、12包酒精濕巾.

反思：解決此類問題的步驟通常為：列二元一次方程，將其變形為用一個未知數表示另一個未知數的形式，分離出整數部分，利用枚舉法求出二元一次方程的所有整數解，從而得出不同的設計方案. 若將題中“兩種物品都買”的條件去掉，又可增加2個方案：只購買10包口罩或只購買15包酒精濕巾.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：4分鐘

1. （2022·黑龍江）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動. 某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元. 其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（ ）（答案見第29頁）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

2. （2022·黑龍江·綏化）某班為獎勵在數學競賽中成績優異的同學，花費48元錢購買了甲、乙兩種獎品，每種獎品至少購買1件，其中甲種獎品每件4元，乙種獎品每件3元，則有 種購買方案. （答案見第29頁）

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）