巧用圓規解決一次函數與折疊問題

姜瑩

圖形的折疊，實質上就是全等變換，即折疊前后的圖形全等. 針對對應點不確定的折疊問題，在抓住折疊形成的等線段和等角，并綜合運用圖形的性質和勾股定理等相關知識的基礎上，若能巧妙地使用圓規，利用半徑相等，則可以快速鎖定對應點的位置.

例題精析

如圖1，直線[y=43x+4]與[x]軸、[y]軸分別交于點[A]，[B]，[M]是[y]軸上一點，若將△ABM沿[AM]折疊，點[B]恰好落在[x]軸上，則點[M]的坐標為 ．

分析：從“若將△ABM沿[AM]折疊，點B恰好落在[x]軸上”分析得到，[x]軸是一條直線，點[B]可能在[x]軸的正半軸，也可能在[x]軸的負半軸，這樣必然產生兩個點[M]. 解這類題時，若想不丟解，可借助圓規，利用如下小妙招.

小妙招：折疊屬于全等變換之軸對稱，對應線段相等.在圖2中，以定點[A]為圓心、線段[AB]的長為半徑作弧，與x軸的交點B'和B[″]即為[B]在[x]軸上的對應點，根據“對應點連線被對稱軸垂直平分”，可分別作BB'和[BB][″]的中垂線，兩條中垂線與y軸的兩個交點即為所求的點[M].

解：設點B落在x軸的B'點處，如圖2①所示，點M在y軸的正半軸上，

∵直線y? =? [43] x + 4與x軸、y軸分別交于點A，B，∴A（-3，0），B（0，4）．

∵將△ABM沿AM折疊，∴[AB'=AB]．

∵OA = 3，OB = 4，∴[AB=5=AB']，∴[B'O=AB'-OA=2]．

設點M的坐標為（0，m），則[B'M=BM=4-m]，

[在Rt△B'OM中，∠MOB'=90°]，由勾股定理，得 [B'M2=B'O2+OM2]，

∴m = [32]，即M [0，32]，

如圖2②所示，點M在y軸的負半軸上，設點M的坐標為（0，n），

由折疊知，AB[″] = AB = 5，B[″]M = BM， ∴B[″]O = 8，B[″]M = 4 - n．

[在Rt△B″OM中，∠MOB″=90°]，根據勾股定理可得[B″M2=B″O2+OM2]，

∴[4-n2=82+-n2]，∴n = - 6，即M（0，-6）．

綜上所述，點M的坐標為[0，32]或（0，-6）．

鞏固訓練

如圖3，直線[y=-125x+12]與x軸、y軸分別交于點A，B，M是y軸上一點，若將△ABM沿AM折疊，點B恰好落在x軸上，則點M的坐標為 ．（答案見本頁）

方法遷移

如圖4，點E為長方形ABCD的邊AB的中點，連接CE，作射線DE，若點F為長方形ABCD邊上任意一點，沿EF將矩形折疊，使點A恰好落在射線DE上，已知AD = 2，CD = 4，則DF = ．（答案見本頁）

（作者單位：遼寧省實驗中學分校）