尺規作圖應用專練

吳瓊

李嵐老師的這堂直播課，以尺規作圖的歷史引入，通過對五種基本尺規作圖之一的“作一條線段的垂直平分線”進行深入剖析，引發“為什么要這樣作圖”的思考，總結出尺規作圖的流程“草圖—分析—操作—驗證”，引導同學們根據作圖痕跡辨別作圖類型，根據題干要求進行作圖分析、逆向推理，從而把復雜尺規作圖問題分解為若干基本作圖問題.

作一個角等于已知角，是根據“SSS”證兩個三角形全等的方法而得的；過直線外一點作已知直線的平行線，是根據“同位角相等，兩直線平行”而得的. 下面從這兩個基本作圖出發，結合李嵐老師的方法進行變式訓練、實戰演練和分層作業.

變式訓練

例1 如圖1，在△ABC中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（ ）.

A. AF = BF? ? ? ? ? ? ? ? B. AE = [12]AC

C. ∠DBF + ∠DFB = 90° D. ∠BAF = ∠EBC

解析：結合角平分線的定義和垂直平分線的性質逐項分析，由圖1中尺規作圖痕跡可知，BE為∠ABC的平分線，DF為線段AB的垂直平分線.

由垂直平分線的性質可得AF = BF，故A選項不符合題意.

∵DF為線段AB的垂直平分線，∴∠BDF = 90°，

∴∠DBF + ∠DFB = 90°，故C選項不符合題意.

∵BE為∠ABC的平分線，∴∠ABF = ∠EBC.

∵AF = BF，∴∠ABF = ∠BAF，∴∠BAF = ∠EBC，

故D選項不符合題意.

根據已知條件不能得出AE = [12]AC，故應選B.

實戰演練

例2 在以下圖形中，根據尺規作圖痕跡，不能判斷射線AD平分∠BAC的是（ ）.

A. ① ? ? ? B. ② ? ? C. ③ ? ? D. ④

解析：根據角平分線的定義以及全等三角形的判定和性質一一判斷即可.

如圖2①，射線AD是角平分線.

如圖2②，根據“SAS”證明△ABN ≌ △ACM，可得∠ABD = ∠ACD；根據“AAS”證明△BDM ≌ △CDN，推出DM = DN，再根據“SSS”證明∠ADM ≌ △ADN，推出∠MAD = ∠NAD，推出射線AD是角平分線.

如圖2④，根據“HL”證明△DAF ≌ △DAE，推出∠DAF = ∠DAE，推出AD是角平分線.

如圖2③，無法證明AD是角平分線. 故應選C.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：2分鐘

1. 下列關于過直線l外一點P作直線l的平行線的尺規作圖錯誤的是（ ）.

A. [P][l]? ? B. [P][l] ? ? C. [P][l] ? ?D. [l][P]

2. 如圖3，用尺規作圖作∠OBF = ∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（ ）.

A. 以點B為圓心，以OD長為半徑的弧

B. 以點B為圓心，以DC長為半徑的弧

C. 以點E為圓心，以OD長為半徑的弧

D. 以點E為圓心，以DC長為半徑的弧

難度系數：★★★★★ 解題時間：3分鐘

3. 如圖4，△ABC中，若∠BAC = 80°，∠ACB = 70°，根據圖4中尺規作圖的痕跡推斷，以下結論錯誤的是（ ）.

A. ∠BAQ = 40° B. DE = [12]BD

C. AF = AC D. ∠EQF = 25°

（答案見第29頁）

（作者單位：大連市第三十七中學）