導引頭伺服系統預定回路滑模控制律設計

趙明翰，張艷，趙桂軍，周魯，包旭馨

（1.上海無線電設備研究所，上海 201109；2.海軍裝備部駐上海地區第六軍事代表室，上海 201109）

0 引言

隨著信息化與控制技術的快速發展，現代化武器對于導引頭精度提出了更高的要求［1-2］。對于現代化導彈而言，其精度除了受到制導律及其固有結構特性的影響外，很大程度上受到導引頭視線角指向精度的影響。傳統的導引頭伺服系統控制律設計大多采用線性方法，其優點在于設計簡單，調試方便，但由于在設計線性控制器的過程中對于模型進行了一定程度的簡化，所以在實際應用的過程中按照傳統線性方法設計的控制律并不能獲得理想的控制效果。因此，需要考慮使用其他方法設計控制律來滿足導引頭系統的高精度控制需求。

在導引頭工作的過程中，主要存在3 個工作狀態：預定回路、穩定回路和跟蹤回路［3-4］。對于預定回路而言，其主要任務是完成導引頭天線的一個固定指向，使導彈在發射后能夠快速捕獲目標回波信號，減小搜索目標時間。基于此，在設計控制律的過程中需要滿足快速性以及穩態誤差的要求，盡可能保證系統快速到達且穩態誤差越小越好。傳統的設計方法大多采用線性超前滯后的方法或者是PID 方法進行設計，這種方法設計的控制律在實際系統中由于各種非線性環節的存在導致效果并不理想。針對這些問題，文獻［5］使用自抗擾算法抑制非線性環節對于系統的影響，文獻［6-7］使用單神經元對相關控制算法優化了預定回路的過渡過程，文獻［8-10］使用自適應模糊PID算法來進行優化，均取得了一定的效果。除了優化控制算法外，針對永磁電機的控制，文獻［11-13］進行了相關的優化設計，也從一定程度上優化了整體系統的性能。

滑模控制理論是由蘇聯學者在20 世紀50 年代提出的變結構控制理論，通過系統狀態偏離切換面的不同情況來切換控制器的結構實現控制任務，通過切換不同的控制器來實現快速性與小穩態誤差并存的控制效果。

1 系統建模

對于導引頭系統預定回路而言，其基本工作原理框圖如圖1 所示。圖中：θ˙為角速度；θ為角速度積分后得到的角度。

圖1 預定回路原理框Fig.1 Schematic diagram of predetermined loop

由圖1 可知，前置放大環節由一個比例環節加一個飽和非線性環節組成，功率放大部分由一個飽和非線性環節和一個比例環節構成，被控對象部分由電機和負載組成，其動力學方程為

式中：J為被控對象部分的轉動慣量；TM為電機的輸出轉矩；Tc為系統中的干擾力矩。

由于系統中的電機選用的是直流電機，對于直流電機而言，式（2）中的方程是描述其動態特性的基本方程：

式中：Tem為電磁轉矩；Kt為轉矩系數；Ia為電樞電流，A；Ea為電樞反電勢；Ke為反電勢系數；ω為電機轉子的角速度；Ua為電樞兩端輸入電壓；La為電樞電感；Ra為電樞電阻。

對式（2）中的時域方程進行零初始條件的拉普拉斯變換，可以得到：

式中：s為拉普拉斯算子；Ω為電機角速度。

對于式（3），其中的干擾力矩Tc主要由摩擦、死區、間隙等典型非線性環節導致，在處理的過程中，將這部分干擾力矩單獨提出，作為整體傳遞函數中的非線性環節。將剩余的環節線性化后可以得到以角速度為輸出量，電壓為輸入量的直流電動機傳遞函數：

由于選用的直流電動機電磁時間常數遠小于機械時間常數，所以可以對式（4）進行適當的簡化，簡化后的傳遞函數為

由于被控對象中的非線性主要由死區特性導致，其他非線性環節影響有限，可以忽略，所以，最終得到的被控對象部分由一個死區非線性環節和一個慣性環節組成。

對于角位置傳感器和角速度傳感器，由于其存在的時間滯后系數較小，因此可以近似為一個比例環節進行處理。綜上所述，參照實際元器件參數得到的框圖如圖2 所示。圖中：Gain 為比例增益環節；K為慣性環節傳遞函數增益；T為慣性環節傳遞函數時常數；為角速度；θ為角速度積分后得到的角度。

圖2 控制回路實際框Fig.2 Actual block diagram of the control loop

最終得到的系統前向通道線性部分的傳遞函數為

2 滑模控制律設計

針對式（6）中得到的前向通道線性傳遞函數，可以設計基于趨近律的滑模魯棒控制器。滑模函數設計為［14］

其中，c＞0滿足Hurwitz條件。誤差及誤差的導數為

式中：θd(t)為理想角位置信號；(t)為當前角位置信號。

則有：

采用指數趨近律，有：

式中：ε為指數趨近律中等速趨近部分的系數（ε越小，趨近速度越慢；ε越大，趨近速度越快，到達切換面時的速度也越快，引起的抖振也越大）；k為數趨近律中指數趨近部分的系數（k越大，速度衰減越快；k越小，速度衰減越慢）。

因此，在選擇指數趨近律系數的過程中，為了在保證系統誤差快速收斂的同時減小系統在切換面附近的抖振問題，需要適當選擇ε和k的值。通過式（9）和式（10），得：

則滑模控制律為

式中：c為一個系數，用于產生由于角速度偏差生成的控制量。

對于設計好的滑模控制律式（12），繪制系統線性部分的Bode 圖，如圖3 所示。通過Bode 圖可以看出，對于系統的線性部分而言，系統的相角裕度約為75.3°，具有較好的穩定裕度，但由于未考慮系統中的非線性部分，所以對于整體包含非線性環節的系統的穩定性尚不確定，需要進一步研究。

圖3 滑模控制系統的Bode圖Fig.3 Bode diagram of the sliding mode control system

3 系統穩定性分析

將系統方程寫為如下形式：

式中：δ(t，x，u)為由死區非線性環節和飽和非線性環節共同組成的綜合非線性環節。

由于系統中存在的飽和、死區非線性環節以及設計的滑模控制器中存在的符號函數，常規的分析方法并不能較好地分析此類系統的穩定性，因而結合如下定理對整體系統的穩定性進行分析。定理［15］考慮系統為

定義的正不變集Ωε，此外，如果假設全局成立，V(η)徑向無界，則上述結論對于任意初始狀態都成立。參照上述定理，對于式（13）定義的系統，有：

由上所述，δ對t分段連續，且對于(x，u)充分光滑。由于飽和非線性環節的存在，δ(t，x，u)必有界，則滿足式（15）定義的條件；取Lyapunov 函數

又由于只需存在Φ(η)，使得：

所以必能找到符合條件的Φ(η)，使式（18）定義的條件成立。綜上所述，可以判斷整體系統可以穩定到達滑模面。

4 仿真驗證與比較

針對上文設計的基于趨近律的滑模控制律進行仿真驗證。利用Matlab 中的Simulink 搭建模塊進行仿真，選擇仿真步長為0.001 s，按照第2 部分給出的參數整定原則進行參數整定，最終確定的參數為：ε=685，k=80，c=80。當輸入信號為1 rad階躍信號時，使用滑模控制器得到效果如圖4所示。

圖4 滑模控制器控制回路角位置輸出結果Fig.4 Output results of the control loop angular position of the sliding mode controller

通過圖4 可以看出，當控制回路使用滑模控制器時，上升時間（2%）為0.065 1 s，角位置在0.15 s 時達到預定值，系統無超調。針對滑模控制器常見的穩態抖振問題，選擇0.270～0.273 s 進行局部放大觀察。可以發現，此時系統的穩態抖振遠遠小于預定值，可以認為此抖振不影響系統整體性能。為了研究比較滑模控制器對于飽和、死區等非線性環節的抑制效果，分別使用不包含飽和、死區等非線性部分的線性模型與非線性模型進行仿真，比較結果如圖5所示。

通過圖5 的結果可以看出，由于線性模型中不包含飽和、死區非線性環節，所以當系統模型是線性模型時，控制效果更好。對于非線性模型而言，雖然控制效果相較于線性模型略有降低，但降低的程度不大，可以認為滑模控制器對于抑制飽和、死區等非線性環節具有一定的效果。

圖5 非線性模型與線性模型滑模控制效果比較Fig.5 Comparison of the control effects of the nonlinear and linear sliding modes

為了比較驗證滑模控制器對于系統中非線性環節的抑制效果，針對前文中得到的模型按照傳統線性超前滯后方法設計相應的控制器，作用于同樣的系統，比較滑模控制器與線性超前滯后控制器的性能區別。按照傳統的超前滯后方法設計出的控制器傳遞函數為［16］

首先選擇不存在飽和、死區等非線性環節的模型進行仿真，比較滑模控制器與傳統線性控制器性能，如圖6 所示。

圖6 線性模型滑模控制器與線性控制器性能比較Fig.6 Performance comparison between the linear sliding mode controller and the linear controller

通過圖6 的結果可以看出，在被控對象不存在飽和、死區等非線性環節時，無論是線性控制器還是滑模控制器都能完成控制回路的預定功能。不同的是，滑模控制器有著更好的動態性能，能夠更快地、無超調地達到預定值，線性控制器如果要繼續減小調整時間，勢必要增大控制器增益，而控制器增益的增大又會導致系統出現超調。因此，從快速性與超調的角度來看，滑模控制器的性能優于線性超前滯后控制器。

比較驗證當系統模型中存在飽和、死區非線性時，線性超前滯后控制器與滑模控制器的控制性能。在不改變參數的情況下，線性控制器與滑模控制器得到的控制曲線如圖7 所示。

圖7 非線性模型滑模控制器與線性控制器性能比較Fig.7 Performance comparison between the nonlinear sliding mode controller and the linear controller

可以看出，當模型中出現非線性環節時，滑模控制器仍能無差地快速達到預定值，但對于線性控制器而言，如果不調整增益，會出現較大的穩態誤差，并且初始上升速度過慢。要消除這些問題，需要調整控制器增益，通過多次調整，要想保證線性控制器控制回路無穩態誤差，需要將控制器增益提高到52.5。從參數整定的角度來看，當被控對象中含有非線性環節時，線性控制器需要重新大幅度調整控制器增益，而滑模控制器不調整參數也可以獲得較為理想的控制效果，所以可以認為滑模控制器比線性超前滯后控制器有更好的抑制非線性的能力。

綜合前面的結果可以得出如下結論，首先，滑模控制器可以完成控制回路的控制任務，能夠快速、無差、無超調地實現導引頭伺服系統角度預定功能。其次，當被控對象模型為不含飽和、死區等非線性環節的線性模型時，傳統的線性超前滯后控制器與滑模控制器都能夠較好地完成控制回路的功能，但是從過渡過程的角度來看，滑模控制器的過渡過程優于線性超前滯后控制器的過渡過程。另外，通過仿真分析可以發現，滑模控制器對于系統中的非線性環節并不十分敏感，有無非線性環節對于滑模控制器的控制效果影響有限，而傳統的線性超前滯后控制器對于系統中的非線性環節還是較為敏感的，系統中的非線性環節會明顯影響到整個回路的控制效果，雖然非線性環節造成的影響可以通過調整控制器增益來進行彌補抵消，但是這種方式無疑會增加現場調試過程的任務量，而對于滑模控制器而言，即使系統中存在一定未建模非線性環節，對于整體控制回路的控制性能影響也相對有限，所以對于大多數情況即使不重新調整控制參數也可以獲得較為理想的控制效果。

5 結束語

本文針對導引頭伺服控制系統預定回路設計了一個基于趨近律的滑模控制器，并結合具體的經過工程實踐檢驗的模型進行了相關的仿真驗證。通過仿真驗證證明，滑模控制器能夠獲得較好的預定回路控制效果，且對于非線性環節具有較好的抑制能力，為進一步的工程實踐奠定了理論基礎。