類比歸納尋本質(zhì)　通性通法助解題

封海波

教師如何在平時(shí)教學(xué)中幫助學(xué)生開辟思維路徑，樹立模型意識(shí)，掌握解題的通性通法呢？對(duì)此，筆者認(rèn)為，教師關(guān)鍵要精選例題，然后進(jìn)行適當(dāng)變式、拓展（一題多變），展示數(shù)學(xué)問題表象的多樣性，凸顯問題本質(zhì)的一致性，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)可以由表及里、由此及彼，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，類比歸納通性通法，構(gòu)建思維路徑，從懂得一道題到掌握一類題，這才是基于數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的解題教學(xué)。

下面，筆者以蘇科版數(shù)學(xué)七（上）“數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題”為例，談一談解決動(dòng)點(diǎn)問題的相關(guān)教學(xué)策略。

一、例題呈現(xiàn)

引例 甲、乙兩船由相距200千米的兩地同時(shí)相向駛出，甲船每小時(shí)行駛50千米，乙船每小時(shí)行駛30千米，請(qǐng)問經(jīng)過多長時(shí)間兩船相遇？

這個(gè)問題，學(xué)生很容易解出。教師可以引導(dǎo)學(xué)生把生活中的問題抽象為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，通過把引例數(shù)值等比縮小，不斷變式例題，在動(dòng)點(diǎn)的變化中，找到不變的數(shù)學(xué)通法。

例1 如圖1，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B在A點(diǎn)左側(cè)，且AB=20。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左以每秒5個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒。

學(xué)生通過閱讀例1，初步得到一些基本信息。在接下來的教學(xué)中，教師通過4個(gè)問題，從易到難，逐步幫助學(xué)生歸納解題思路，類比解題方法，以啟發(fā)學(xué)生思維，引領(lǐng)能力的發(fā)展，幫助學(xué)生找到適合的解題通性通法，為后期學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

二、例題延伸

問題1 現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處向右勻速運(yùn)動(dòng)，速度是每秒3個(gè)單位長度，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，P、Q經(jīng)過多長時(shí)間相遇？

生1：我可以直接列出算式20÷（5+3）=2.5（秒）。

生2：我們還可以利用方程解決。設(shè)相遇時(shí)間為t秒，可列方程5t+3t=20，解得t=2.5。

生3：我們還可以用數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)來表示。其中，P點(diǎn)可表示為8-5t；Q點(diǎn)可表示為-12+3t。在數(shù)軸上，兩個(gè)點(diǎn)相遇，表示兩個(gè)點(diǎn)在同一位置，那么它們的坐標(biāo)就相同。因此，我們可列方程為-12+3t=8-5t，解得t=2.5。

［設(shè)計(jì)意圖］教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，用不同的方法去解決問題，激發(fā)學(xué)生思維。

問題2 與問題1條件相同，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)與點(diǎn)Q相距為2？

師：問題2有幾種可能？

生5：有兩種可能。一種是P、Q還沒相遇時(shí)，兩點(diǎn)相距為2；一種是P、Q兩點(diǎn)相遇后，兩點(diǎn)相距為2。

師：請(qǐng)你用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)來表示。

生6：P點(diǎn)可表示為8-5t；Q點(diǎn)可表示為-12+3t。當(dāng)P、Q還沒相遇時(shí)相距2，可列方程為8-5t-（-12+3t）=2，解得t=[9/4]；同理，當(dāng)P、Q相遇后相距2，解得t=[1/14]。

［設(shè)計(jì)意圖］通過類比，教師引導(dǎo)學(xué)生把動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后的位置用數(shù)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，然后把問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的距離來解決，讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)化的優(yōu)勢(shì)。

問題3 動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q？

生7：我可以直接列出算式：20÷（5-3）=10（秒）。

生8：可以列方程解決。設(shè)相遇時(shí)間為t，列方程為5t-3t=20，解得t=10。

生9：在坐標(biāo)軸中，P點(diǎn)可表示為-12-3t；Q點(diǎn)可表示為8-5t。P追上Q，即兩點(diǎn)坐標(biāo)相同，可列方程為-12-3t=8-5t，解得t=10。

［設(shè)計(jì)意圖］把相遇問題改為追擊問題，繼續(xù)讓學(xué)生進(jìn)行類比，體會(huì)三種解題方式的優(yōu)劣性，強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知。

問題4 若AP的中點(diǎn)為點(diǎn)M，PB的中點(diǎn)為點(diǎn)N。點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？并說明理由。

生10：此題依然有兩種情況，一種是點(diǎn)P在AB中間，一種是P點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)。解題思路如下……

［設(shè)計(jì)意圖］教師借助數(shù)軸把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用這種模型思想研究問題，可以使問題化難為易，化繁為簡。反過來，當(dāng)面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，我們同樣可以通過建立數(shù)軸模型來解決。

三、教學(xué)反思

動(dòng)點(diǎn)問題靜點(diǎn)化是本節(jié)課的主要思路。第一步，熟讀題目，畫出圖形；第二步，表示各點(diǎn)的坐標(biāo)，厘清動(dòng)點(diǎn)的速度、時(shí)間、路程；第三步，動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)用字母表示；第四步，借助數(shù)軸上線段長度、線段中點(diǎn)的代數(shù)表示方法，根據(jù)題目列出方程，并解方程。這樣就歸納出數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題的“通性通法”，從而幫助學(xué)生化難為易，化動(dòng)為靜，分類討論，抓住動(dòng)點(diǎn)，代數(shù)表示，以不變應(yīng)萬變，尋找破題點(diǎn)。

數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題是七年級(jí)一個(gè)難點(diǎn)，很多學(xué)生畏懼。在小學(xué)四年級(jí)時(shí)，學(xué)生開始學(xué)習(xí)相遇問題和追擊問題，教師通過引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖，利用數(shù)形結(jié)合思想歸納出相遇問題的數(shù)量關(guān)系式；到了五年級(jí)，學(xué)生開始學(xué)習(xí)方程，教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合，找到等量關(guān)系，再利用方程解決常見的相遇問題、追擊問題等，學(xué)生思維又一次飛躍；進(jìn)入初中后，教師將小學(xué)方程問題中的兩個(gè)形象人物“小明與小紅”抽象為“A點(diǎn)與B點(diǎn)”，再逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解并解決動(dòng)點(diǎn)問題。可見，數(shù)軸是學(xué)生進(jìn)入初中后有力的數(shù)形結(jié)合工具。

教師平時(shí)要多做題，整理和歸納同類型題，通過專題課型或者一題一課的形式，在課堂上循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的語言構(gòu)建模型，力求將解題后的反思?xì)w納形成解題經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，一套思維路徑，以形成解決一類問題的通法。

（作者單位：江蘇省南京市中華中學(xué)上新河初級(jí)中學(xué)）